初中数学3.2用频率估计概率（教案）2023-2024学年度北师大版数学九年级上册

2用频率估计概率教学目标：1.知道通过大量的重复试验,可以用频率来估计概率.2.了解替代模拟试验的可行性.教学重难点：重点:理解频率估计概率的知识,并能应用在解题中.难点:会利用频率估计概率.教学方法：讲授法、练习法教学课时：1教学过程：课堂导入普查:为了一定的目的,而对考察对象进行全面的调查,称为普查.总体:所要考察对象的全体,称为总体.个体:而组成总体的每一个考察对象称为个体.抽样调查:从总体中抽取部分个体进行调查,这种调查称为抽样调查.样本:从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本.频数:在试验中,每个对象出现的次数称为频数.频率:所考察对象出现的次数与试验的总次数的比叫做频率.频率=频数总数概率:事件发生的可能性,也称为事件发生的概率.P(A)=mn→A可能发生的情况→讲授新知问题一:思考下面问题:400个同学中,一定有2个同学的生日相同(可以不同年)吗?解:一年最多366天,400个同学中一定会出现至少2人出生在同月同日.[点拨]抽屉原理:把m个物品任意放进几个空抽屉里(m>n),那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物品.思考下面几个问题:1.300个同学中,一定有两个同学的生日相同吗?解:不一定.2.“我认为咱们班50个同学中很可能就有2个同学的生日相同”,你相信吗?解:不相信.概率具有随机性,50个同学中有2个同学的生日相同,并不能说明50个同学中2个同学生日相同的概率是1;而50个同学中没有2个同学生日相同,也不能说明其相应的概率为0.为了证明上述的说法是否正确,我们可以通过大量重复试验,用“50个人中有2个人的生日相同”的频率来估计这一事件的概率.请你设计试验方案.[做一做](1)每个同学课外调查10个人的生日.(2)从全班的调查结果中随机选择50个被调查人的生日,记录其中有无2个人的生日相同。每选取50个被调查人的生日为一次试验,重复尽可能多次试验,并将数据记录在表格中.试验总次数50100150200250…“有2个人的生日相同”的次数“有2个人的生日相同”的频率“几个人中至少有两人生日相同”的概率大小表nPnpnpnp200.4114290.6810380.8641470.9548210.4437300.7105390.8781480.9606220.4757310.7305400.8912490.9658230.5073320.7533410.9032500.9704240.5383330.7750420.9140510.9744250.5687340.7953430.9239520.9780260.5982350.8144440.9329530.9811270.6269360.8322450.9410540.9839280.6545370.8487460.9483……通过观察上面的表格你能发现什么?解:人们往往觉得两人生日相同是一种可能性不大的事情,通过观察上面的表格能发现:如果人数不少于23人,这种可能性就达到50%.当人数是50人时,“有2个人的生日相同”的频率高达97.04%.[归纳]用频率估计概率①试验得出的频率只是概率的估计值;②对一个随机事件A,用频率估计的概率P(A)不可能小于0,也不可能大于1;③概率是针对大量重复试验而言的,大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生.问题二1.一个口袋中有5个红球,9个白球,这些球除颜色外都相同,从口袋中随机摸出一个球,这个球是红球的概率是多少?解:这个球是红球的概率为5142.一个口袋中有红球、白球共25个,这些球除颜色外都相同,如果不将球倒出来数,那么你能设计一个试验方案,估计其中红球与白球的比例吗?每次随机摸出一个球并记录颜色,然后将球放回,搅匀,当次数越多,试验频率将越稳定于理论概率.想一想:频率与概率有什么区别与联系?解:所谓频率,是在相同条件下进行重复试验时事件发生的次数与试验总次数的比值,其本身是随机的,在试验前不能够确定,且随着试验的不同而发生改变.而一个随机事件发生的概率是确定的常数,是客观存在的,与试验次数无关.[归纳](1)一般地,当试验的可能结果有有限个且各种可能结果发生的可能性相同时,用列举法,利用概率公式P(A)=mn求出概率(2)当试验的所有可能结果不是有限个,或各种可能结果发生的可能性不相同时,常常是通过统计频率来估计概率.即用在同样条件下,大量重复试验所得到的随机事件发生的频率的稳定值来估计这个事件发生的概率.从以上角度讲,频率与概率是有区别的,但在大量的重复试验中,随机事件发生的频率会呈现出明显的规律性:随着试验次数的增加,频率将会越来越集中在一个常数附近,具有稳定性,即试验频率稳定于其理论概率.课堂训练1.在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个,这些球除颜色外都相同.小明通过多次试验发现,摸出红球的频率稳定在0.25左右,则袋子中红球的数量最有可能是(A)A.5 B.10 C.12 D.152.下列说法合理的是(D)A.小明在10次抛图钉的试验中发现3次钉尖朝上,由此他说钉尖朝上的概率是30%B.掷一枚普通的正六面体骰子,出现6点朝上的概率的意思是每掷6次就有1次掷得6点朝上C.某彩票的中奖机会是2%,那么买100张彩票一定会有2张中奖D.在一次课堂进行的试验中,甲、乙两组同学估计硬币落地后,正面朝上的概率分别为0.48和0.513.表格中记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况:移植的棵数n200500800200012000成活的棵数m187446730179010836成活的频率m0.9350.8920.9130.8950.903由此估计这种苹果树苗移植成活的概率为0.9.(精确到0.1)

4.一个不透明袋子中装有1个白球和若干个红球,这些球除颜色外都相同.某课外学习小组做摸球试验:将球搅匀后从中任意摸出1个球,记下颜色后放回、搅匀,不断重复这个过程,获得数据如下:摸球的次数200300400100016002000摸到白球的频数7293130334532667摸到白球的频率0.36000.31000.32500.33400.33250.3335(1)该学习小组发现,摸到白球的频率在一个常数附近摆动,这个常数是(精确到0.01),由此估计出红球有个;

(2)现从该袋中一次摸出2个球,请用画树状图法列出所有等可能的结果,并求恰好摸到1个白球、1个红球的概率.解:(1)0.332(2)画树状图列出所有可能出现的结果:由树状图可知,共有6种等可能的结果,其中恰好摸到1个白球,1个红球的结果有4种,所以从该袋中一次摸出2个球,恰好摸到1个白球,1个红球的概率为235.在四个完全相同的小球上分别写上1,2,3,4四个数字,然后装入一个不透明的口袋内搅匀,从口袋内任取一个球记下数字后作为点P的横坐标x,放回袋中搅匀,然后再从袋中取出一个球记下数字后作为点P的纵坐标y,则点P(x,y)落在直线y=x上的概率是多少?解:表格列出所有可能出现的结果:yx12341(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)因为以上共有16个结果,每种结果出现的可能性都相同,其中满足条件的点有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),4种结果,所以点P(x,y)落在直线y=x上的概率是416=16.A,B,C三人玩篮球传球游戏,游戏规则是:第一次传球由A将球随机地传给B,C两人中的某一人,以后的每一次传球都是由上次的接球者将球随机地传给其他两人中的某一人.(1)求两次传球后,球恰在B手中的概率;(2)求三次传球后,球恰在A手中的概率.解:(1)画树状图列出所有可能出现的结果:由树状图可知,共有4种等可能的结果,两次传球后,球恰在B手中的只有1种情况,所以两次传球后,球恰在B手中的概率为14(2)画树状图列出所有可能出现的结果:由树状图可知,共有8种等可能的结果,三次传球后,球恰在A手中的有2种情况,所以三次传球后,球恰在A手中的概率为14课堂小结1.用试验频率来估计一些随机事件的概率.2.当试验次数较多,试验频率稳定于理论概率.板书设计2用频率估计概率1.用频率