2024届四川省成都市经开区实验中学高一数学第二学期期末质量检测试题含解析

2024届四川省成都市经开区实验中学高一数学第二学期期末质量检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．两个正实数满足，则满足，恒成立的取值范围（）A． B． C． D．2．已知，，那么是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知数列中，,则（）A． B． C． D．4．若不等式的解集是，则的值为（）A．12 B． C． D．105．函数的图像（）A．关于点对称 B．关于点对称C．关于直线对称 D．关于直线对称6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．7．已知向量，向量，则（）A． B． C． D．8．已知，且，把底数相同的指数函数与对数函数图象的公共点称为（或）的“亮点”．当时，在下列四点，，，中，能成为的“亮点”有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个9．已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（）A． B．C． D．或10．设长方体的长、宽、高分别为2，1，1，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．如图，一栋建筑物AB高（30-10）m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD．在它们之间的地面M点（B、M、D三点共线）测得对楼顶A、塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得对塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为______m．12．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足：a2＝2a1，且Sn＝+1（n≥2），则数列{an}的通项公式为_______．13．若，则________.14．若是等比数列，，，且公比为整数，则______.15．已知函数是定义域为的偶函数．当时，，关于的方程，有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围是_____．16．过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，则________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知集合，或.（1）若，求；（2）若，求的取值范围.18．已知函数，（1）求函数的最小正周期；（2）设的内角的对边分别为，且，，，求的面积．19．已知函数.（1）求函数图象的对称轴方程;（2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围.20．已知平面向量，且（1）若是与共线的单位向量，求的坐标；（2）若，且，设向量与的夹角为，求．21．在平面直角坐标系下，已知圆O：，直线l：（）与圆O相交于A，B两点，且.（1）求直线l的方程；（2）若点E，F分别是圆O与x轴的左、右两个交点，点D满足，点M是圆O上任意一点，点N在线段上，且存在常数使得，求点N到直线l距离的最小值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

由基本不等式和“1”的代换，可得的最小值，再由不等式恒成立思想可得小于等于的最小值，解不等式即得m的范围。【题目详解】由，，可得，当且仅当上式取得等号，若恒成立，则有，解得.故选：B【题目点拨】本题考查利用基本不等式求恒成立问题中的参数取值范围，是常考题型。2、C【解题分析】

根据,,可判断所在象限.【题目详解】,在三四象限.,在一三象限，故在第三象限答案为C【题目点拨】本题考查了三角函数在每个象限的正负，属于基础题型.3、B【解题分析】

由数列的递推关系，可得数列的周期性，再求解即可.【题目详解】解:因为,①则,②①+②有:,即,则,即数列的周期为6,又,得，,则,故选:D.【题目点拨】本题考查了数列的递推关系，重点考查了数列周期性的应用，属基础题.4、B【解题分析】

将不等式解集转化为对应方程的根，然后根据韦达定理求出方程中的参数，从而求出所求．【题目详解】解：不等式的解集为，为方程的两个根，根据韦达定理：解得，故选：B。【题目点拨】本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及韦达定理的运用和一元二次不等式解集与所对应一元二次方程根的关系，属于中档题．5、B【解题分析】

根据关于点对称,关于直线对称来解题.【题目详解】解：令,得,所以对称点为.当,为,故B正确；令,则对称轴为,因此直线和均不是函数的对称轴.故选：B【题目点拨】本题主要考查正弦函数的对称性问题.正弦函数根据关于点对称,关于直线对称.6、D【解题分析】

由几何体的三视图得该几何体是一个底面半径，高的扣在平面上的半圆柱，由此能求出该几何体的体积【题目详解】由几何体的三视图得：

该几何体是一个底面半径，高的放在平面上的半圆柱，如图，

故该几何体的体积为：故选：D【题目点拨】本题考查几何体的体积的求法，考查几何体的三视图等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．7、C【解题分析】

设，根据系数对应关系即可求解【题目详解】设，即，故选：C【题目点拨】本题考查向量共线的基本运算，属于基础题8、C【解题分析】

利用“亮点”的定义对每一个点逐一分析得解.【题目详解】由题得，，由于，所以点不在函数f(x)的图像上，所以点不是“亮点”；由于，所以点不在函数f(x)的图像上，所以点不是“亮点”；由于，所以点在函数f(x)和g(x)的图像上，所以点是“亮点”；由于，所以点在函数f(x)和g(x)的图像上，所以点是“亮点”.故选C【题目点拨】本题主要考查指数和对数的运算，考查指数和对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.9、D【解题分析】

作出示意图，再结合两点间的斜率公式，即可求得答案.【题目详解】，，又直线过点且与线段相交，作图如下：则由图可知，直线的斜率的取值范围是：或．故选：D【题目点拨】本题借直线与线段的交点问题，考查两点间的斜率公式，考查理解辨析能力，属于中档题.10、B【解题分析】

先求出长方体的对角线的长度，即得外接球的直径，再求球的表面积得解.【题目详解】由题得长方体外接球的直径.故选：B【题目点拨】本题主要考查长方体的外接球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、60【解题分析】

由已知可以求出、、的大小，在中，利用锐角三角函数，可以求出.在中，运用正弦定理，可以求出.在中，利用锐角三角函数，求出.【题目详解】由题意可知：，，由三角形内角和定理可知.在中，.在中，由正弦定理可知：，在中，.【题目点拨】本题考查了锐角三角函数、正弦定理，考查了数学运算能力.12、【解题分析】

推导出a1＝1，a2＝2×1＝2，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，即，由此利用累乘法能求出数列{an}的通项公式．【题目详解】∵数列{an}的前n项和为Sn，满足：a2＝2a1，且Sn1（n≥2），∴a2＝S2﹣S1＝a2+1﹣a1，解得a1＝1，a2＝2×1＝2，∴，解得a3＝4，，解得a4＝6，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，即，∴n≥2时，22n﹣2，∴数列{an}的通项公式为．故答案为：．【题目点拨】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的通项公式与前n项和公式的关系，考查运算求解能力，分类讨论是本题的易错点，是基础题．13、【解题分析】

观察式子特征，直接写出，即可求出。【题目详解】观察的式子特征，明确各项关系，以及首末两项，即可写出，所以，相比，增加了后两项，少了第一项，故。【题目点拨】本题主要考查学生的数学抽象能力，正确弄清式子特征是解题关键。14、512【解题分析】

由题设条件知和是方程的两个实数根，解方程并由公比q为整数，知，，由此能够求出公比，从而得到.【题目详解】是等比数列，

，，

，，

和是方程的两个实数根，

解方程，

得，，

公比q为整数，

，，

，解得，

.故答案为：512【题目点拨】本题考查等比数列的通项公式的求法，利用了等比数列下标和的性质，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化.15、.【解题分析】

令，则原方程为，根据原方程有且仅有5个不同实数根，则有5个不同的解，结合图像特征，求出的值或范围，即为方程解的值或范围，转化为范围，即可求解.【题目详解】令，则原方程为，当时，，且为偶函数，做出图像，如下图所示：当时，有一个解；当或，有两个解；当时，有四个解；当或时，无解.，有且仅有5个不同实数根，关于的方程有一个解为，，另一个解为，在区间上，所以，实数的取值范围是.故答案为:.【题目点拨】本题考查复合方程根的个数求参数范围，考查了分段函数的应用，利用换元法结合的函数的奇偶性的对称性，利用数形结合是解题的关键，属于难题.16、【解题分析】

讨论斜率不存在和斜率存在两种情况，分别计算得到答案.【题目详解】抛物线的焦点F为，当斜率不存在时，易知，故；当斜率存在时，设，故，即，故，.综上所述：.故答案为：.【题目点拨】本题考查了抛物线中线段长度问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）A∩B＝{x|﹣1＜x≤﹣1}（2）（1，1]．【解题分析】

（1）首先确定A、B，然后根据交集定义求出即可；（2）由A∪B＝R，得，得1＜a≤1．【题目详解】B＝{x|x≤﹣1或x＞5}，（1）若a＝1，则A＝{x|﹣1＜x＜5}，∴A∩B＝{x|﹣1＜x≤﹣1}；（2）∵A∪B＝R，∴，∴1＜a≤1，∴实数a的取值范围为（1，1]．【题目点拨】本题考查了交集及其运算，考查了并集运算的应用，是基础题．18、（1）；（2）．【解题分析】

（1）利用二倍角和辅助角公式可将函数整理为，利用求得结果；（2）由，结合的范围可求得；利用两角和差正弦公式和二倍角公式化简已知等式，可求得；分别在和两种情况下求解出各边长，从而求得三角形面积.【题目详解】（1）的最小正周期：（2）由得：，即：，，解得：，由得：即：若，即时，则：若，则由正弦定理可得：由余弦定理得：解得：综上所述，的面积为：【题目点拨】本题考查正弦型函数的最小正周期、三角形面积的求解，涉及到正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、两角和差正弦公式、二倍角公式、辅助角公式的应用，考查学生对于三角函数、三角恒等变换和解三角形知识的掌握.19、（1）（2）【解题分析】

(1)通过三角恒等变形，化简为的形式，方便我们去研究与其相关的任何问题；（2）恒成立，可转化，我们只需要求出最大值从而完成本题.【题目详解】（1）令得，所以的对称轴为（2）当时，，，因为，即恒成立故，解得【题目点拨】在研究三角函数相关的性质（值域、对称中心、对称轴、单调性……）我们都是将其化为（或者余弦、正切相对应）的形式，利用整体思想，我们能比较方便的去研究他们相关性质.20、或【解题分析】分析：（1）由与共线，可设，又由为单位向量，根据，列出方程即可求得向量的坐标；（2）根据向量的夹角公式，即可求解向量与的夹角．详解：与共线，又，则，为单位向量，，或，则的坐标为或，，．点睛：对于平面向量的运算问题，通常用到：1、平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：；2、由向量的数量积的性质有，，，因此利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题；3、本题主要利用向量的模与向量运算的灵活转换，应用平面向量的夹角公式，建立的方程.21、（1）；（2）.【解题分析】

（1）等价于圆心O到直线l的距离，再由点到直线的距离公式求解即可；（2）先设点，再结合题意可得点N在以为圆心，半径为的圆R