历届高考数学真题汇编5-三角函数-理

【2017年高考试题】

一、选择题

1.[2017高考真题重庆理5】设tana,tan尸是方程f-3x+2-0的两个根，则tan(c+£)的

值为

(A)-3(B)-1(C)1(D)3

【答案】A

【解析】因为tanc：tan尸是方程X，-3x+2=0的两个根，所以tana+tan4=3,

tanatari尸=2,所以tan(a+^ut^a+t311』：]=—3,选A.

1-tanatan/?1-2

2.12017高考真题浙江理4]把函数y=cos2x+l的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍

(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是

【答案】A

【解析】根据题设条件得到变化后的函数为y=COS(x+l),结合函数图象可知选项A符合要

求。故选A.

TTTT

3.12017高考真题新课标理9]已知。＞0,函数/(x)=sin(3X+生)在(生,万)上单调递减.

42

则。的取值范围是()

(A)d2](B)C(C)(0,ij(D)(0,2]

24242

【答案】A

【解析】函数/(x)=sin(eax+：)的导数为f'(x)=©cos(皿+：),要使函数

/(x)=sin(皈+2)在(土；T)上单调递减，则有/,(x)=<ycos(<yx+—)<0恒成立,

2

77TT3万7T57r

贝ij—+2k^<Ct)x+—<—+2kn:,即—+2k^<ax<—+2k^,所以

24244

定2k九71IkjT._TT5TTd71*i、i

——+-----<x<——+------,keZ,当k=0时，——<x<——，X—<x<^r>所以

4a)a4(yo41y4。2

TTrr47r1515

有二Sil.二2%,解得©2士，©4二，即士二，选A.

4(y24a)2424

4.12017高考真题四川理4】如图，正方形ABCD的边长为1,延长84至E,使AE=1,

D

连接EC、E。则sin/CE£)=

【答案】B

【解析】EB=E.-l+AB=2,

EC=^EBZ+BCZ=>/4+I=V5

3a

乙EDC=NEDA+/ADC=-+-

42T

sin乙CEDDC

由正弦定理得

sinAEDC~~CE~7/5~~5

所以sinZCED=-^-gsin乙EDC=^-^in—=—

5-5^410

5.[2017高考真题陕西理9】在A4BC中，角A,8,C所对边长分别为"c,若^=色

则cosC的最小值为()

【答案】C.

【解析】由余弦定理知cosC="+"一'?=♦~2+b)=n型=_L

2ablab4ab4ab2

故选C.

6.12017高考真题山东理7】若。e—,sin28=----，则sin6=

2J8

34

(A)-(B)-(C)—(D)-

5544

【答案】D

jTTT

【解析】因为［二《］，所以281不㈤，cos26<0,所以

4..

cos10=-V1_sin216=--,又cos26=l-2sin*=-1，所以血’8=2,

8816

3

sin8=—,选D.

4

7.【2017高考真题辽宁理7］已知sina-cosa=血，ae(0,n),则tana二

(A)—1(B)一^~(C)(D)1

22

【答案】A

【解析一】sine—cos。=V2,y/2sin(a——)=V2,sin(a——)=1

44

34

aG(0,7v\:.a---tana=-l,故选A

4

【解析二】sina-cosa-V2,/.(sina-cosa)2=2,/.sin2a=-l,

3兀3zr

aG(0,»),.•.2aG(0,2^),.'.2a=--a---,/.tana=-1,故选A

24

8.【2017高考真题江西理4］若tan6+」一=4,则sin2(9=

tan。

A.-B.-C.一D.一

5432

【答案】D

【命题立意】本题考查三角函数的倍角公式以及同角的三角函数的基本关系式。

22

【解析】由tan6+—1—=4得,singcosBsin+cos/

----+-----=-------------=4,即—二4,

tan。cos。sin。sinOcos。

—sin20

2

所以sin26=L,选D.

2

TT

9.12017高考真题湖南理6】函数f(x)=sinx-cos(x+—)的值域为

6

A.[-2,2]B.[-V3,A/3]C.[-1,1]D.1也，乌

22

【答案】B

【解析】f(x)=sinx-cos(x+3=sinx-•^•cosx+!$in*=抬sin(x一2)，

6226

vsin(x-^)e[-Ll],二/(x)值域为[-JJ,6].w

[2017高考真题上海理16】在AABC中，若sin?A+sin?BVS/C,则AA8C的形状是

()

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定

【答案】C

【解析】根据正弦定理可知由血：a+sin23<sin：C,可知在三角形中

cosC="fY<0,所以C.为钝角，三角形为钝角三角形，选C.

lab

11.12017高考真题天津理2】设eeR,则“e=0”是“/(x)=cosa+°)(xeR)为偶函

数”的

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件(D)既不充分与不必要条件

【答案】A

【解析】函数/(x)=cosX+°)若为偶函数，则有。=A7T«GZ,所以“夕=0"是

“/(x)=cosQ+e)为偶函数”的充分不必要条件，选A.

12.【2017高考真题天津理6】在MfiC中，内角A,B,C所对的边分别是已知8b=5c,

C=2B,则cosC=

【答案】A

ch

【解析】因为C=23,所以sinC=sin(2B)=2sin3cos民根据正弦定理有「一=,

sinCsinB

所以£=哄9=号，所以cos5=SG=，x9=3。又。=磔28)=202B-l,

hsinB52sinB255

所以cosC=2cos28-l=2x"一1=二，选A.

2525

-V3

13.12017局考真题全国卷理7】已知。为第二象限角，sina+cosa=——,则cos2a=

3

(A)--(B)—(C)—(D)—

3993

【答案】A

1解析】因为sina+cosa=—所以两边平方得l+2sinacosa=」，所以

2sinacosa=--<0,因为已知a为第二象限角，所以sina>0：cosa<0,

cos2a=cos*a-sin*cz=(cosa-sina)(cosa+sina)=-x-----,选A.er

333

二、填空题

14.12017高考真题湖南理15】函数f(x)=sin(5+夕)的导函数y=/'(x)的部分图像如

图4所示，其中，P为图像与y轴的交点，A,C为图像与x轴的两个交点，B为图像的最低点.

(1)若夕=工，点P的坐标为(0,—),则①=；

(2)若在曲线段ABC与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在4ABC内的概率

为

【答案】⑴3；（2）-

4

【解析】（1）y=f'（x）=G>cos（tyx+（p>）,当0=:，点P的坐标为（0,二上）时

62

6)COS-=^..-.6)=3；

62'

2兀

（2）由图知4。=1=旦=三，S.^=-ACa=-,设乩8的横坐标分别为a1.

220--22

设曲线段近。与X轴所围成的区域的面积为S则

［卜|/(x)|;,|=|sin(tya+夕)-sin(o6+砌=2,由几何概型知该点在△ABC

S-

71

内的概率为尸=邑1=2=2.

S24

15.【2017高考真题湖正理11】设△A8C的内角A,B,C所对的边分别为a,〃，c

若(a+人一c)(a+b+c)=ab,则角C=

【答案】

【解析】—

3

由(a+b-c)(a+b-c)=ab,得到。?+Z?2-c2=-a/?

/工序2

根据余弦定理cos八一-ab故NC=2〃

2ab23

16.【2017高考真题北京理11】在△ABC中，若a=2,b+c=7,cosB=--,则b=

4

【答案】4

.,_.,-rim-t)>,门a~+c?—b~14+(c+b)(c—h)

【解析】在△ABC中，利用余弦定理cosB------------n——----------------

2ac44c

c=3

,化简得：8c—78+4=0,与题目条件8+c=7联立，可解得＜

4+7Q"）.b=4.

4c

Q=2

17.12017高考真题安徽理15】设AABC的内角A,3,C所对的边为”,瓦c；则下列命题正确

的是______

TT

①若外＞。2；则C（工②若a+Z?>2c；则。<七

33

jr

③若/+k=。3；则C〈工④若(a+b)cv2ab；则

2

7C

⑤若（/+加）。2＜24加；则。>—

3

【答案】①②③

【解析】正确的是

a2+bz-c22ab-ab171

①ab>c，ncosC=--------=—=>C<—

lab2ab23

GSL、c才+6。-c，4(〃-+匕)一(a+6)-1c71

@a+6>2c=>cosC=---------->—---------------->-=>C<—

labZab23

③当时，cz>a2=c3>a2c^b2c>+厅与优+厅=c：矛盾

2

7T

⑷取a=6=2：c=1满足(a+6)c<2々6得：

⑤取a=b=2.c=1满足<2ab-得：C<—

18.12017高考真题福建理13】已知AABC得三边长成公比为女的等比数列，则其最大角的

余弦值为

【答案】-注

4

【解析】设最小边长为a，则另两边为五a,2a.

a2+2a2-4/V2

所以最大角余弦COSC

2a-41aV

3

19.【2017高考真题重庆理13】设AABC的内角A,8,C的对边分别为a,"c,且cosA=y,

cosB=9，/?=3则c=

13----------------

【答案】《

3A412

【解析】因为cosK=二,cos3=二,所以sin-4=—,sinB=—,

513513

而。=51:1(4+3)=3*上+匕*:=老，根据正弦定理」=上得3=2，初

51313565sin5sinC建>6

1365

得c=〃.

5

20.【2017高考真题上海理4］若7=(-2,1)是直线/的一个法向量，贝”的倾斜角的大小

为(结果用反三角函数值表示)。

【答案】arctan2

【解析】设倾斜角为a,由题意可知，直线的一个方向向量为(1,2),则tana=2,

a=arctan2。

21.12017高考真题全国卷理14】当函数，、n\、、c。、\2小取得最大值时,

【答案】x=—

6

【解析】函数为y=sinx-gcosx=2sin(x-W),当0Wx＜2乃时:

jrjr

由三角函数图象可知，当x—上=上,即彳=不时取得最大值，所以x=3生.

3266

22.(2017高考江苏111(5分)设a为锐角，若cos(a+二］=±,则sin(2a+―)的值为▲.

【答案】口/。

50

【解析】为锐角，即0＜。＜巳，.♦.工＜a+军＜乙+2=生。

266263

I6)5I6)5

7171c3424

sin2a+—=2sina+—cosa—2————

3665525

cos2a十二7

I325

:.sin(2a4—)=sin(2a4-----)=sin2a4——cos----cos2a+—sin—

123413)4I3j4

_24V27V2_17r-

=---------——7A0

25225250

三、解答题

23.[2017高考真题新课标理17](本小题满分12分)

已知4,〃,c分别为AABC三个内角A,B.C的对边，acosC+y/3asinC-/?-c=0

(1)求A(2)若a=2,AABC的面积为百；求"c.

【答案】(1)由正弦定理得：

acosC+WasinC-6-c=0<^>sinAcosC-^3sinJsinC=sin5-FsinC

=sinAcosC4-5/3sinsinC=sin(a+Q4-sinC

=WsinA-cosA=1<=>sin(J-30)=，

=X-30：=30'=X=60：

(2)S=^bcsinA=后=6c=4

cT=匕+L-IbccQsA=6+c=4

24.12017高考真题湖北理17】(本小题满分12分)

已知向量。=(cazsr-叛hn3,b=(-coscox-sincox,2gcosox),设函数

=+(X£R)的图象关于直线％=汽对称，其中0,4为常数,且口£(J,1).

(I)求函数/(元)的最小正周期；

(II)若y=f(x)的图象经过点(工,0),求函数/(X)在区间[0,史]上的取值范围.

45

【答案】(I)因为/(幻=sin2sx-cos2Gx+2GsinGx-cos5+4

=-cos2cox+V3sin2cox+4=2s\n(2a)x--)+2.

由直线x=7T是丁=/(x)图象的一条对称轴，可得sin(2即-马=±1,

k1.〜、

所以2GK--=/ai+—(Z:eZ),即〃>=—+-(zKeZ).

6223

又G£(L1)，k^Z,所以々=1,故&=**

6

所以/*)的最小正周期是学.

(II)由丁=/(x)的图象过点00),得吗)=0,

即幺=-24口(［~看)=-2sin:=—5y?9即E=-.

故/(xlsingx-fS

30

S0<x<—,^-I<2x--<—,

56366

所以一1WWn(三X-£)41,^-1-72<2sin(-x-£)-V2<2-5/2,

23636

故函数/(x)在血上的取值范围为［-1-72.2-^?］.

5

25.【2017高考真题安徽理16］)(本小题满分12分)

设函数/(x)=^^cos(2x+5)+sin2x。

(I)求函数/(x)的最小正周期；

JT1T

(II)设函数g(x)对任意xeH,有g(x+,)=g(/，且当时，

g(x)=g-/(x),求函数g(x)在［一］,0］上的解析式。

【答案】本题考查两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、三角函数的周期等性质、分段

函数解析式等基础知识，考查分类讨论思想和运算求解能力。

【解析】/(X)=-^y-cos(2x+^-)+sin2x=gcos2x-gsin2x+g(l-cos2x)

=-----sm2x,

22

(1)函数y(x)的最小正周期丁=2苓7r=》

7T11

(2)当工£［0,万］时，^(x)=--/(x)=~S^n

TTJTTTTTIJT\

当5,0]时'(X+7)£[0,»]g(x)=g(x+—)=—sin2(x+—)=-

JIJI11

当XG[—肛一万)时,(x+^)e[0,—)g(x)=^(X+TT)=—sin2(x+/r)=—sin2x

I兀

——sin2x(----<x<0)

得函数g（x）在［-肛0］上的解析式为g（x）=<22

—sin2x(-^-<x<—)

22

26.12017高考真题四川理18］（本小题满分12分）

函数/（X）=6cos?竽+GCOS5—3（。>0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象

的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且AABC为正三角形。

（I）求0的值及函数/（幻的值域；

（II）若f（-\））—~~~>且X。€（---,一）>求/（/+1）的值。

【答案】本题主要考查三角函数的图像与性质、同角三角函数的关系、两角和差公式，倍角

公式等基础知识，考查基本运算能力，以及数形结合思想，化归与转化思想.

(I)曲巳知可得.4士)■3coM1rt+6*uwx=2C*ic(g*♦y)-

又正三角形ABC的病为2万,从而AC=4•

所以函数/⑺的闺期一4x2・8.叩子・8.a・予

阑效的仇域为【-24,2万)...........................................6分

(0)・乎.也(I)孙

/(*•)■273"dn(苧♦y)■&乎.即(詈♦y)■y•

由“6T"(~f-T),

所以T詈*f)*♦-(切■$■,

故人与♦I)•2。丽(苧♦V♦；j2-U(詈

■2四小(学♦y)cot^-♦ex(等4y)**n羽

・2用“车.力如空.............................................

27.12017高考真题陕西理16］（本小题满分12分）

TT

函数f(x)=Asin(ax--)+1(A>0,口>0)的最大值为3,其图像相邻两条对称轴之间

6

的距离为工，

2

(1)求函数/(x)的解析式；

⑵设ae(0,9，则吗)=2,求a的值。

【答案】

M(1)V两数/G)的最大值为3・AA+】=3•即八一2，

V函数甚像的相邻两条对祢物之间的距海为5，最小正周期丁

:.3=2,故函数人工)的斛析式为y=2sin《2a—堂)+1.

O

(11)；/(^>-25in(a-5)+l-2.

HP>in(a一1,

uZ

V0VaV卷，，一卷V0卷V9,

COvO

二=故。=多

31.[2017高考真题重庆理18](本小题满分13分(1)小问8分(H)小问5分)

设f(x)=4cos3---)sin这一cos(25+x),其中3>0.

6

(I)求函数y=/(%)的值域

~3x冗一

(H)若严)⑴在区间-协]上为增函数，求0的最大值.

【答案】

C1

[,J：(I)/(x)=4(-^-coscox+-sinm)sinn>x+cos2(ox

=2』sin^xcosox+2sin2(ox+cos1(ox-sin1(ox=>/Tsin2cox+1

因-14sin2cox<1・所以函数y=/(x)的值域为[】-1+6]

(11)因y=sinx在每个闭区间Rk/r-g.X万+,(keZ)上为增函数.故

/■(x)="sin2&r+l(«>0)在每闭区间［”一三."+三］(kwZ)上为增

o4a)0)4(0

函数

依题意知［-二，巴］u［竺一三,竺+巴:对某个JtwZ成立,此时必有k=0于是

22a)4ct)a)4ci)

3K>n

-24°孵阳e4J..故。的最大值为L

nn66

-4—

24ct>

32.【2017高考真题浙江理18】(本小题满分14分)在A力胸中，内角4B,。的对边分

2

别为a,b,c,已知cosA=一，sin6=逐cosf.

3

(I)求tanC的值;

(11)若@=&,求A49。的面积.

【答案】本题主要考查三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点。

(I)VcosJ=->0,/.sin^=Vl-cos2A=—,

33

又否cosC^sin^sin^+O=sinJcosC1+sinCcosJ

_V5,2.

----cosrCi—siner.

3-----3

整理得：tanC=逐.

(II)由图辅助三角形知：sinC=

a_c

又由正弦定理知:

sinAsinC

故c=6.(1)

对角力运用余弦定理：cos/=/r+'”-J2.⑵

2hc3

解⑴⑵得：b=&or仁也(舍去).

△仍7的面积为：S=或.

2

33.【2017高考真题辽宁理17］(本小题满分12分)

在AABC中，角/、B、C的对边分别为a,b,c。角/,B,。成等差数列。

(I)求COSB的值；

(H)边a,b,c成等比数列，求sinAsinC的值。

【答案】

(17)解：

(I)由已知28=A+C,4+B+C=180°,解得B=60°,所以

cosB=W........6分

(II)(解法一)

1

由已知方2="，及COSB=亍，

根据正弦定理得siMB=sin>4sinC,所以

r3

sin4sinC=1-cos2H=—........12分

4

(解法二)

_1

由已知b2=ac,及cos8=五,

根据余弦定理得cosB="+：>一℃,解得a=c,所以4=C=B=60",故

2ac

3

sin4sinC=--........】2分

4

【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列

的定义，考查转化思想和运算求解能力，属于容易题。第二小题既可以利用正弦定理把边的

关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理得到边之间的关系，再来求最后的结果。

34.12017高考真题江西理181(本小题满分12分)

在△ABC中，角A,B.C的对边分别为a,bc。已知4

bsin(+C)-«in(:+B)=a

4o

//1

(i)求证：

(2)若a=&,求aABC的面积。

【答案】

(1)证明：由Ain(子+C)-csin(£+B)=a,应用正弦定理、得

4

sinBsin+C)-sinCsin(/+B)=sinA,

-n/■f^r•a

smsxn。cos。)-sin亍s】na♦^-cosn)=区.

整理得sinBeesC-cosBsinC=1f

即.in(fi-C)=1,

由于0<B.C<从而8-C=v-

4L

(2)解:B♦C=n-A=券.因此8=醇C=v-

45o

/sr.7T4M■asin8♦♦51TasinC•IT

由。=J2"=丁，阳b=~~7=2»m=，c=-r—r=21,nk，

4sinAosinAo

所以的面积S=；6csinA=4.in第In字=&coe手tin小=

LooooZ

36.12017高考真题天津理15】(本小题满分13分)

已知函数/(x)=sin(2x+y)+sin(2%-y)+2cos2x-l,xeR.

(I)求函数/(x)的最小正周期；

(II)求函数/(x)在区间［-巴，生］上的最大值和最小值.

44

【答案】

(15)本小题主要考介两角和与差的正於公式.一倍角的余弦公式.二角就故的最小正

周期、通调性等M础知识.考杳基本还儿熊力.满分13分.

•?：/(x)=sin2xcosj+co$2xsiny+$in2xcosj-cos2xsiny-»-cos2x

hsin2x+cos2x・V5sin(2jr+J).

所以./(x)的最小小周期r2

(II)解：囚为/《X)在区间上足中由数.乂

[-M]8二

=—I*/(；)=,/(?=I.故函数/(K)A1”间［-：.上的国入依力0•最

小俏为-I.

37.12017高考江苏15](14分)在A45c中，已知A3AC=3BABC.

(1)求证：tan3=3tanA；

(2)若cosC二且，求A的值.

5

【答案】解：(1)；与二就=3甚二配，.45L4CxosJ=35.£3CZcos3,即

ylCZcos-4=3BCj：osB.

由正弦定理，得一sinBZcoszl=3sin-4Zcos3o

sinBsin-4

又：QvA-Bv*,/.cos月>0,cosB>0.即

cos5cos-4

tanB=3tan-4.

・・・1加|乃一(月一3)|=2,BPtan(^-B)»-2.二;

1-tan-4JtanB

由⑴，得4t3nl=一2,解得tan.4=l,tan.4=-l.

l-3tarT且3

cos/l>0,tan^4=1.J=--

4

【解析】(1)先将ABAC=3BABC表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式

证明。

(2)由cosC=t，可求tanC,由三角形三角关系，得到tan[万—(A+8)],从而

根据两角和的正切公式和(D的结论即可求得A的值。

【2017年高考试题】

一、选择题：

1.(2017年高考安徽卷理科9)已知函数/(x)=sin(2x+°)，其中°为实数，若f(x)<|/(^)|

n

对xeR恒成立，且/(1)>/(])，则/(x)的单调递增区间是

TT7T7T

(A)k兀---,%乃+一(kGZ)(B)k7u,k7r+—(kGZ)

36

712万7t

(C)左乃+―,改乃+——(&EZ)(D)k九一3，卜汽(kGZ)

63

【答案】C.

【命题意图】本题考查正弦函数的有界性，考查正弦函数的单调性.属中等偏难题.

【解析】若/(x)4/倒对xeR恒成立，则吗)=sing+Q)=1,所以

——卜(p=k"——,keZ,(p=k7V-\——，&£Z.由f(―)>/(万)，(keZ),可知

3262

77r

sin(;r+0)>sin(2乃+。)，即sin0<O,所以夕=2&%+——,kwZ,代入

6

74-rr77r7t

f(x)=sin(2x+(p),得/(x)=sin(2x+——)，由2左乃---鼓9x+^2氏;r+—,得

6262

丘-至触kn--,故选C.

63

2.(2017年高考辽宁卷理科4)ZiABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a,b,c,asin

AsinB+bcos2A=5/2a则P=()

a

(A)2G(B)2>/2(C)V3(D)V2

答案：D

解析：由正弦定理得，sin:AsinB+sinBccs:A=V2sinA,即。nB(sin2A+cos2A)=5/2sinA,

厂bl

故sinB二JlsinA,所以—=迎；

43

TT1

.(2017年高考辽宁卷理科7)设sin(3+6)=士，则sin28=()

43

7117

(A)--(B)--(C)-(D)-

9999

答案：A

解析：sin26=-cosI2^+—|=2sin21^+—|-l=2x--1=--.

I2；I4；99

jrTTTTI

4.（2017年高考浙江卷理科6）若OVaV—,-y<7?<0,cos(；+a)=—,

2

COS(?-y)=,则COS(a+y)=

(A)立(B)(C)(D)--【答案】C

3399

【解析】：a+—=(a+—)-cos(a+—)=cos[(a+-)]

24422442

/冗、/兀、z冗、./兀、

=cos(a+—)cos(———B)+sin(a+—)sin(—十B—)

442442

1V32V2V673+4735百

—x---1-----x---=---------=----故选C

333399

5.（2017年高考全国新课标卷理科5）已知角6的顶点与原点重合，始边与横轴的正半轴重合,

终边在直线y=2x上，则，cos26»=()

A4B4

【答案】8

解析：因为该直线的斜率是归=2=tan8,所以，cos^JT