九年级数学知识点总结

九

年

级

知

识

点

结

第二十二章二次函数

考点一:二次函数的概念和图像

1、二次函数的概念

一般地，如果^=。/+法+8兄瓦。是常数，a70),那么y叫做x的二次函数。

y=ax2+/u+c(a,仇c是常数，a/0)叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像

二次函数的图像是一条关于尤=-二b对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

2a

抛物线的主要特征：

①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

3、二次函数图像的画法

五点法：

(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M,并用虚线

画出对称轴

(2)求抛物线y=ax?+〃x+c与坐标轴的交点：

当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C,再找

到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到

二次函数的图像。

当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。

由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出

一对对称点A、B,然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。

考点二:二次函数的解析式

二次函数的解析式有三种形式：

(1)一般式：y=+"+。(。,/?,。是常数，。工0)

(2)顶点式：y=。(犬-〃)？+女是常数，a声0)

(3)当抛物线y=ax?+Z?x+c与x轴有交点时，即对应二次好方程ax?+/?x+c=0

有实根Xi和存在时，根据二次三项式的分解因式ax?+/?x+c=a(x—X1)(x-X2)，二次

函数y=+Z?x+c可转化为两根式y=。(工一玉)(犬一工2)。如果没有交点，则不能这样

表示。

考点三:二次函数的最值

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值)，即当

%=一=时，＞最值=4ac-b2

4a

如果自变量的取值范围是玉那么，首先要看一々是否在自变量取值范围

2a

h4nc-h~

玉<*</内，若在此范围内，则当x=—3时，y最值=；若不在此范围内，则

2a取值^a

需要考虑函数在玉KxW/范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当

x=X2时，y最大=ax：+法2+c,当*=项时，y最小=ax；+6否+c；如果在此范围内,

y随x的增大而减小，则当x=X|时，y最大=ax：+如+c,当x=x2时，

>最小=ax；+bx2+c.

考点四:二次函数的性质

1、二次函数的性质

二次函数

y=ax?+法+<?（。,6,，是常数，。70）

b一bbb

(2)对称轴是x=----，顶点坐标是(-----，(2)对称轴是*=——，顶点坐标是(——,

2a2a2a2a

4ac-b24ac-b2

)；)；

4a4a

b(3)在对称轴的左侧，即当xv2时，y随x

(3)在对称轴的左侧，即当x<----时，y随x

2a2a

的增大而减小；在对称轴的右侧，即当的增大而增大；在对称轴的右侧，即当

bx>—2时，y随X的增大而减小，简记左

x>——时，y随X的增大而增大，简记左减

2a2a

右增；增右减；

(4)抛物线有最低点，当x=-2时，y有最小

(4)抛物线有最局点，当x=----时，y有最

2a2a

任4ac-b2.4ac-b2

值，y最小值=4a大值，y最大值一

4Aa

2、二次函数,+bx+c(a1,c是常数，。40)中，a、b、c的含义:

a表示开口方向：a>o时，抛物线开口向上

。<0时，抛物线开口向下

b与对称轴有关：对称轴为x=-2

2a

c表示抛物线与y轴的交点坐标：(0,c)

3、二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的八=b2-^ac,在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。

当△>()时，图像与x轴有两个交点；

当△=()时，图像与x轴有一个交点：

当△<()时，图像与x轴没有交点。

补充：

1、两点间距离公式(当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法)

如点A坐标为(xi，y,)点B坐标为(X2,y2)

则AB间的距离，即线段AB的长度为-电)2+(必一%)?

2、函数平移规律(中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很

大帮助，可以大大节省做题的时间)

左加右减、上加下减

第二十三章旋转

23.1图形的旋转

1.图形的旋转

(1)定义：在平面内，将一个圆形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转动

一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角称为旋转角。

(2)生活中的旋转现象大致有两大类：一类是物体的旋转运动，如时钟的时针、分

针、秒针的转动，风车的转动等；另一类则是由某一基本图形通过旋转而形成的图案，如香

港特别行政区区旗上的紫荆花图案。

(3)图形的旋转不改变图形的大小和形状，旋转是由旋转中心和旋转角所决定，旋

转中心可以在图形上也可以在图形外。

(4)会找对应点，对应线段和对应角。

2.旋转的基本特征：

(1)图形在旋转时，图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。

(2)图形在旋转时，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等；

(3)图形在旋转时，图形的大小和形状都没有发生改变。

3.几点说明：

(1)在理解旋转特征时，首先要对照图形，找出旋转中心、旋转方向、对应点、旋转

角。

(2)旋转的角度是对应线段的夹角或对应顶点与旋转中心连线的夹角。

(3)旋转中心的确定分两种情况，即在图形上或在图形外，若在图形上，哪一点旋转

过程中位置没有改变，哪一点就是旋转中心；若在图形外，对应点连线的垂直平分线的交点

就是旋转中心。

23.2中心对称

中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°,假如它能够与另一个图形重合，那么这两个

图形关于这个点对称或中心对称。

中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形，对应点所连线段都经过对称中心，而且被对

称中心所平分。②关于中心对称的两个图形是全等形。

中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形

重合，那么这个图形叫做中心对称图形。

对称点的坐标规律：①关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数，②关于y轴对称：

横坐标互为相反数，纵坐标不变，③关于原点对称：横坐标、纵坐标都互为相反数。

23.3课题学习图案设计

灵活运用平移、旋转、轴对称等变换进行图案设计.

图案设计就是通过图形变换（平移、旋转、轴对称或几种的组合）把基本图形组成具有一

定意义的新图形，图案设计时不仅要看是否正确使用了图形变换，还要看图案是否很好的体

现了设计意图.

第二十四章圆

24.1圆

定义：（1）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

（2）平面上一条线段，绕它的一端旋转360。，留下的轨迹叫圆。

圆心：（1）如定义（1）中，该定点为圆心

（2）如定义（2）中，绕的那一端的端点为圆心。

（3）圆任意两条对称轴的交点为圆心。

（4）垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。

注：圆心一般用字母。表示

直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d表

zKo

半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。半径一般用字母r表示。

圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称

轴。在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一"=2「或『二分之

d»

圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。

圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。

圆的周长与直径的比值叫做圆周率。

圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环

小数(无理数)，用字母n表示。计算时，通常取它的近似值，n*3.14。

直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。

圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。nr-2,用字母S表示。

一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也

相等。

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等,

所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等,

所对的弦心距也相等。

周长计算公式

1.、已知直径：C="d

2、已知半径：C=2nr

3、已知周长：D=c\"

4、圆周长的一半：1\2周长(曲线)

5、半圆的长：1\2周长+直径

面积计算公式：

1、已知半径：S=nr平方

2、已知直径：S=n(d\2)平方

3,已知周长：S=n(c\2n)平方

24.2点、直线、圆和圆的位置关系

1.点和圆的位置关系

①点在圆内O点到圆心的距离小于半径

②点在圆上O点到圆心的距离等于半径

③点在圆外O点到圆心的距离大于半径

2.过三点的圆

不在同一直线上的三个点确定一个圆。

3.外接圆和外心

经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。

外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。

4.直线和圆的位置关系

相交：直线和圆有两个公共点叫这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。

相切：直线和圆有一个公共点叫这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点

叫做切点。

相离：直线和圆没有公共点叫这条直线和圆相离。

5.直线和圆位置关系的性质和判定

如果。。的半径为r,圆心0到直线/的距离为d,那么

①直线/和。0相交J

②直线/和。0相切O°=r；

③直线/和。0相离=4>乙

两圆内含<=>d<R-r(R>r)

24.3正多边形和圆

1、正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形•

2、正多边形与圆的关系：

(1)将一个圆n(n23)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个

圆的内接正多边形。

(2)这个圆是这个正多边形的外接圆。

3、正多边形的有关概念:

(1)正多边形的中心一一正多边形的外接圆的圆心。

(2)正多边形的半径一一正多边形的外接圆的半径.

(3)正多边形的边心距一一正多边形中心到正多边形各边的距离。

(4)正多边形的中心角一一正多边形每一边所对的外接圆的圆心角。

4、正多边形性质：

(1)任何正多边形都有一个外接圆。

(2)正多边形都是轴对称图形，当边数是偶数时，它又是中心对称图形，正n边形的对

称轴有n条。

(3)边数相同的正多边形相似。

重点：正多边形的有关计算。

知识讲解

1、正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。

例如：正三角形、正四边形(正方形)、正六边形等等。如果一个正多边形有n条边，那

么，这个多边形叫正n边形。

再如：矩形不是正多边形，因为它只具有各角相等，而各边不一定相等；菱形不是正多

边形，因为，它只具有各边相等，而各角不一定相等。

2、正多边形与圆的关系。

正多边形与圆有密切关系，把圆分成n(n23)等份，依次连结分点所得的多边形是这个

圆的内接正n边形。

相邻分点间的弧相等，则所对的弦(正多边形的边)相等，相邻两弦所夹的角(多边形的

每个内角)都相等，从而得出，所连的多边形满足了所有边都相等，所有内角都相等，从而

这个多边形就是正多边形。

如：将圆6等分，即，则AB=BC=CD=DE=EF=FA。

观察NA、NB、NC、ZD,ZE,NF所对的弧可以发现都是相等的弧，所以，ZA=Z

B=ZC=ZD=ZE=ZF»

所以，将一个圆6等分，依次连结各分点所得到的是。。的内接正六边形。

3、正多边形的有关计算。

(1)首先要明确与正多边形计算的有关概念：即正多边形的中心0,正多边形的半径R”

一就是其外接圆的半径，正多边形的边心距r“，正多边形的中心角a“，正多边形的边长

(2)正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形，等腰三角形的顶角就

是正n边形的中心角都等于；如果再作出正n边形各边的边心距，这些边心距又把这n个等

腰三角形分成了2n个全等的直角三角形。

如图：是一个正n边形ABCD……根据以上讲解，我们来分析RtAAOM的基本元素：

斜边0A——正n边形的半径R”；

一条直角边0M一—正n边形的边心距r„；

一条直角边AM——正n边形的边长a”的一半即AM=a“；

锐角/AOM---正n边形的中心角a“的一半即NA0M=；

锐角/OAM——正n边形内角的一半即N0AM=[(n-2)780°]；

可以看到在这个直角三角形中的各元素恰好反映了正n边形的各元素。

因此，就可以把正n边形的有关计算归纳为解直角三角形的问题。

4、正多边形的有关作图。

(1)使用量角器来等分圆。

由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心

的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正

n边形。

(2)用尺规来等分圆。

对于一些特殊的正n边形，还可以用圆规和直尺作出图形。

①正四、八边形。

在。0中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。再

逐次平分各边所对的弧(即作NA0B的平分线交于E)就可作出正八边形、正十六边形等,

边数逐次倍增的正多边形。

②正六、三、十二边形的作法。

通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在。0中，任画一条直径AB,

分别以A、B为圆心，以。0的半径为半径画弧与。。相交于C、D和E、F,则A、C、E、B、

F、D是。0的6等分点。

显然，A、E、F（或C、B、D）是。。的3等分点。

同样，在图（3）中平分每条边所对的弧，就可把。012等分……。

5、正多边形的对称性。

正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形

的中心，如果正多边形有偶数条边，那么，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。

如：正三角形、正方形。

24.4弧长和扇形面积

知识点1、弧长公式

因为360。的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2R,所以1。的圆心角所对的弧长是，

于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长1的计算公式：，

说明：（1）在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”，

例如，圆的半径R=10,计算20°的圆心角所对的弧长1时，不要错写成。

（2）在弧长公式中，已知1,n,R中的任意两个量，都可以求出第三个量。

知识点2、扇形的面积

如图所示，阴影部分的面积就是半径为R,圆心角为n。的扇形面积，显然扇形的面积

是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积,所以圆心角为1°

的扇形面积是，由此得圆心角为n。的扇形面积的计算公式是。

又因为扇形的弧长，扇形面积，所以又得到扇形面积的另一个计算公式：。

知识点3、弓形的面积

（1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。

(2)弓形的周长=弦长+弧长

(3)弓形的面积

如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把

扇形OAmB的面积和aAOB的面积计算出来，就可以得到弓形AmB的面积。

⑴⑵⑶

当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示，

当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示，

当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示，

例：如图所示，。。的半径为2,/ABC=45°,则图中阴影部分的面积是

)(结果用表不)

分析：由图可知由圆周角定理可知/ABC=/AOC,所以NA0C=2NABC=90°,所以△

OAC是直角三角形，所以

SACUC=彳勿・℃=gx2x2=2,%措6MMe.=■万x2="

zz30U,

所以

注意：(1)圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。

圆周长弧长圆面积扇形面积

公

式

(2)扇形与弓形的联系与区别

(2)扇形与弓形的联系与区别

图

示

积

知识点4、圆锥的侧面积

圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为1,底面圆的半径为r,

那么这个扇形的半径为1,扇形的弧长为2,圆锥的侧面积，圆锥的全面积

说明：（1）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。

（2）研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并

明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。

知识点5、圆柱的侧面积

圆柱的侧面积展开图是矩形，如图所示,其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长,

若圆柱的底面半径为r,高为h,则圆柱的侧面积，圆柱的全面积

知识小结：

圆锥与圆柱的比较

名称圆锥圆柱

图形

由一个直角三角形旋转得到由一个矩形旋转得到的，如矩形ABCD

图形的形成过程

的，如Rt/XSOA绕直线SO旋绕直线AB旋转一周。

转一周。

图形的组成一个底面和一个侧面两个底面和一个侧面

侧面展开图的特征扇形矩形

面积计算方法

第二十五章概率初步

25.1随机事件与概率

1.随机试验与样本空间

具有下列三个特性的试验称为随机试验：

(1)试验可以在相同的条件下重复地进行；•

(2)每次试验的可能结果不止一个，但事先知道每次试验所有可能的结果；

(3)每次试验前不能确定哪一个结果会出现.

试验的所有可能结果所组成的集合为样本空间，用。表示，其中的每一个结果用e表

示，e称为样本空间中的样本点，记作O={e}.

2.随机事件

在随机试验中，把一次试验中可能发生也可能不发生、而在大量重复试验中却呈现某

种规律性的事情称为随机事件(简称事件).通常把必然事件(记作Q)与不可能事件(记作

。)

看作特殊的随机事件.

25.2用列举法求概率

1、当一次试验中，可能出现的结果是有限个，并且各种结果发生的可能性相等时，

可以用被关注的结果在全部试验结果中所占的比分析出事件中该结果发生的概率，此时可采

用列举法.

2、列举法就是把要数的对象一一列举出来分析求解的方法.但有时一一列举出的情

况数目很大,此时需要考虑如何去排除不合理的情况,尽可能减少列举的问题可能解的数目.

3、利用列表法或树形图法求概率的关键是：①注意各种情况出现的可能性务必相同;

②其中某一事件发生的概率=；③在考查各种情况出现的次数和某一

手各种工情况既出招现的梨次数刊

事件发生的次数时不能重复也不能遗漏；

4、用列表法或树形图法求得的概率是理论概率，而实验估计值是频率，它通常受到

实验次数的影响而产生波动，因此两者不一定一致，实验次数较多时.，频率稳定于概率，但

并不完全等于概率.

25.3用频率估计概率

在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个随机事件出现的频率应该稳定于该

事件发生的概率。事件发生的频率与概率既有区别又有联系：事件发生的频率不一定相同，

是个变数，而事件发生的概率是个常数；但它们之间又有密切的联系，随着试验次数的增加,

频率越来越稳定于概率。

在具体操作过程中，大家往往发现：虽然多次试验结果的频率逐渐稳定于概率，但可

能无论做多少次试验，两者之间存在着一定的偏差。应该注意：这种偏差的存在是经常的，

并且是正常的。另外，由于受到某些因素的影响，通过试验得到的估计结果往往不太理想，

甚至有可能出现极端情况，此时我们应正确地看待这样的结果并尝试着对结果进行合理的解

释。对试验结果的频率与理论概率的偏差的理解也是形成随机观念的一个重要环节。

在实际应用中，当试验次数越大时，出现极端情况的可能性就越小。因此，我们常常

通过做大量重复试验来获得事件发生的频率，并用它作为概率的估计值。试验次数越多，得

到的估计结果就越可靠。

第二十六章反比例函数

1、反比例函数的概念

一般地，函数y=±（k是常数，kHO）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以

X

写成y=b「的形式。自变量x的取值范围是xRO的一切实数，函数的取值范围也是一切

非零实数。

2、反比例函数的图像

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或

第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量xNO,函数yHO,所以，它

的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标

轴。

3、反比例函数的性质

反比例

函数X

①X的取值范围是X#0,①x的取值范围是xH0,

y的取值范围是y#0；y的取值范围是y#0；

性质②当k>0时;函数图像的两个分支分别②当k<0时，函数图像的两个分支分别

在第一、三象限。在每个象限内，y在第二、四象限。在每个象限内，y

随x的增大而减小。随x的增大而增大。

4、反比例函数解析式的确定

k

确定及谎是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数y=±中，只有一个待定系数,

x

因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。

5、反比例函数中反比例系数的几何意义

k

如下图，过反比例函数y=—(AW0)图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM,PN,

x

k

则所得的矩形PMON的面积S=PM・PN=H・W=|H。,y=一,.•.孙=

第二十七章相似

考点一:比例线段(3分)

1、比例线段的相关概念

am如果选用同一长度单位量得两条线段a,b的长度分别为m,n,那么就说这

方=］两条线段的比是，或写成a：b=m：n

’在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项。

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做

成比例线段，简称比例线段

ac若四条a,b,c,d满足或a：b=c：d,那么a,b,c,d叫做组成比例的项，

g=Z线段a,d叫做比例外项，线段b,C叫做比例内项，线段的d叫做a,b,c的第四

比例项。

如果作为比例内项的是两条相同的线段，即且=2或a：b=b：c,那么线段b叫做线段

bc

a,c的比例中项。

2、比例的性质

(1)基本性质

©a：b=c：dOad=bc

②a：b=b：c<=>Z?2=ac

（2）更比性质（交换比例的内项或外项）

厂---（交换内项）

cd

@nrdc（交换外项）

bdba

db

I=—（同时交换内项和外项）

ca

（3）反比性质（交换比的前项、后项）：

acbd

—=——s——-

bdac

（4）合比性质：

aca+b_c±d

bdbd

（5）等比性质:

acem八,,八、a+c+e+---+ma

—=—=—=■•-=­（b+d+f+…+〃x0）=>-----------------=—

bdfn'b+d+f-\----1-nb

3、黄金分割

把线段AB分成两条线段AC,BC（AOBC）,并且使AC是AB和BC的比例中项，

75-1

叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=------AB=O.618AB

2

考点二:平行线分线段成比例定理（3~5分）

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论：

（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比

例。

逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，

那么这条直线平行于三角形的第三边。

（2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三

边对应成比例。

考点三:相似三角形（3~8分）

1、相似三角形的概念

对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“s”来表示，读

作“相似于"。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。

2、相似三角形的基本定理

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原

三角形相似。

用数学语言表述如下：

VDE/7BC,/.AADE^AABC

相似三角形的等价关系：

(1)反身性：对于任一Z\ABC,都有△ABCs^ABC；

(2)对称性：若△ABCs/\A，B，C',则△A，B，C's/\ABC

(3)传递性：若△ABCSAA，B，C"并且△A，B，C，S/\A"B“C”，则△ABCSAA“B“C”。

3、三角形相似的判定

(1)三角形相似的判定方法

①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似

②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的

三角形与原三角形相似

③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两

个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。

④判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角

相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

⑤判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这

两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似

(2)直角三角形相似的判定方法

①以上各种判定方法均适用

②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条

直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。

4、相似三角形的性质

(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例

(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

(3)相似三角形周长的比等于相似比

(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方。

5、相似多边形

(1)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫

做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比(或相似系数)

(2)相似多边形的性质

①相似多边形的对应角相等，对应边成比例

②相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比

③相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比

④相似多边形面积的比等于相似比的平方

6、位似图形

如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样

的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此时的相似比叫做位似比。

性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于位

似比。

由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。利用位似变换可以把一个图形放

大或缩小。

第二十八章锐角三角函数

考点一:直角三角形的性质（3~5分）

1、直角三角形的两个锐角互余

可表示如下：ZC=90°=>ZA+ZB=90°

2、在直角三角形中，30。角所对的直角边等于斜边的一半。

ZA=30°

可表示如下：

ZC=90°

3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

ZACB=90°

可表示如下：=>CD=-AB=BD=AD

2

D为AB的中点

4、勾股定理

直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方，即a2+82=c2

5、摄影定理

在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边

是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项

/ACB=90°]rCD2=AD»BD

k，AC2=AD»AB

CDXAB」I=BD»AB

6、常用关系式

由三角形面积公式可得：

AB*CD=AC*BC

考点二:直角三角形的判定（3~5分）

1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a,b,c有关系/+/=02,那么这个三角形是直角三角形。

考点三:锐角三角函数的概念（3~8分）

1、如图，在△ABC中，ZC=90°

①锐角A的对边与斜边的比叫做NA的正弦，记为sinA,即B

斜边/

.NA的对边aZ/NA的对边

c/aNB的邻边

②锐角A的邻边与斜边的比叫做NA的余弦，记为cosA,即

AbC

NA的邻边b

cosA=NA的邻边

斜边cNB的对边