平面向量（解析版）-2021年新高考数学模拟题分项汇编（第四期4月）

专题07平面向量

1.（福建省名校联盟2021届高三大联考）已知是平面向量，满足|Z|=2,防区1,且陋一2@42,记£

与坂的夹角为。，则cos。的最小值是（）

7叵3岳

B.一

816

【答案】B

【分析】

代入同=2,得到£加1+亚，然后利用

先给—<2两边平方然后展开,

一一113|讨

cos0=之>---_1/Si,然后当同41时，求解COS。的最小值.

\a\-\b\2\b\2|引8

【解析】由怦一2q«2得，（陋一2£『=9不+4才一12£石44,所以+驰2

31

__1+^：

则/Ja》、4113|^|

cosO=————>----^―

\a\-\b\2\b\2出|8

］Qr

令函数/（%）=—+—,因为f{x}在［0,1］匕单调递减.

2x8

।.u7

又因为W41,故当网=1时，COS。取得最小值，最小值为.

故选：B

2.（广东省深圳市2021届高三一模）骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜

爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆。（后轮）的半径均为百，AABE，

△BEC,△ECO均是边长为4的等边三角形.设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，AC-BP

的最大值为（

【答案】c

【分析】

以AD为X轴，E为坐标原点建立平面直角坐标系，由圆。方程设尸(4+Jocose,百sina),写出向量的

坐标，由数量积的坐标表示求出数量积，利用三角函数知识得最大值.

【解析】骑行过程中，相对不动，只有尸点绕。点作圆周运动.

如图，以为x轴，£为坐标原点建立平面直角坐标系，由题意A(—4,0),3(—2,20)，C(2,26),

圆。方程为(x-4)2+)，=3,设P(4+>/3cosa,V3sina).

则AC=(6,2百)，BP=(6+cosa,V3sina-273),

AC-BP=6(6+&cosa)+2月(百sina-2百)

(l百、兀

=6A/3COSa+6sina+24=12—sinan-----cosa+24==12sin(a+—)+24,

I22)3

TT

易知当sin(a+§)=l时，恁•丽取得最大值36.

故选：C.

3.（广东省实验中学2021届高三模拟）己知非零向量〃?,〃满足+“=|加一2"，且时=2"，则碗与）

的夹角的余弦值为（）

1111

A.-B.-C.一D.-

3468

【答案】B

【分析】

m^n

先设W=f>0,利用帜+@=|正—两边平方求解而/=g『，再利用数量积的求角公式cosO卜“

计算即得结果.

【解析】设忖=f>0，|“=2忖=2f,

|2

由,+2H知，弧+九|=|nz-2n|,即时+|n|+2m-n=|m|+4%I-4m-n,

__________z-----1,

故4户+r+2m-n-4t2+4r-4m-n>解得-

m-n

设根与〃的夹角为。，则cos0=

mI•2txt4

故选：B.

->

4.（广东省执信中学2021届高三模拟）若向量:与］的夹角为60°,1=（2,0,）a+2b=2>/3,贝=

()

A.百B.1C.4D.3

【答案】B

【分析】

对a+2b=26两边平方，化简可求出J,

【解析】因为'=（2,0）,所以|利=2,

又因为|a+2b『=(a+2b)2=|万『+4x|万|x|5|xcos60°+4|b『=(2石>，

所以出『+出|一2=0,解得（一2舍去）,

故选：B.

5.(河北省张家口2021届高三一模)如果平面向量)=(2,-4),B=(-6,12),那么下列结论中正确的是

()

A.\b\=3\a\B.allb

C.万与B的夹角为30°D.M在5方向上的投影为26

【答案】AB

【分析】

根据向量坐标运算及向量共线的意义可得解.

【解析】因为日=(2,-4),5=(-6,12),所以5=—3〃.

在A中,由b=—可得|b|=3|5|,故A正确;

在B中，由5=-3a，可得。//5，故B正确；

在C中，由在=—3M，可得万与5的夹角为180°,故C错误；

5-b(2,—4),(—6,12)/T

在D中，万在5方向上的投影为两=1(4)2+荐L=-215,故D错误.

故选:AB.

6.(湖北省八市2021届高三联考)已知函数g(x)=6sin(s:+e),g(x)图像上每一点的横坐标缩短到原

来的不，得到，(幻的图像，/(X)的部分图像如图所示，若=,则0等于()

【答案】A

【分析】

利用向量数量积的定义可得cosNABC=—,，从而可得NABC=120'，进而得出AD=6,即2=24,

2CD

求出a)=—.

12

【解析】根据而及=|同2n|AB||BC|cos(1800-ZABC)=网？

n—2cosZABC=1=>—2cosAABC=1»

可得cosNA5C=—J,故NABC=120°，

2

27r7t

所以AD=6,故g(x)的周期为24,所以一=24,(»=—，

co12

故选:A.

7.(湖北省荆门2021届高三联考)已知。为AABC的外心，3OA+4OB+5OC=Q>贝UcosNABC的值

为()

A石RVio「6nV10

510105

【答案】A

【分析】

3

设AABC的外接圆的半径为R,将3。4+405+50。=6平方后求出©05/4。。=—1,找到

NAOC=2NABC,利用二倍角公式求出cosNA8C

【解析】设AABC的外接圆的半径为七

,•1304+40B+50C=0-

3OA+4OB=-5OC

/.(3O4+40B)2=(-5OC)2

二9(研+16(砺了+]2OA.OB=25(OC)\

9R2+16六+127?2cosZAOB=25R2

二cosZAOB=0

3

同理可求：cos/AOC=-一

根据圆心角等于同弧对应的圆周角的两倍得：ZAOC=2ZABC

,3

2cos2ZABC-1=cosZAOC=—2

5

解得：cosZABC=—

5

故选：A

8.（湖南省永州市2021届高三二模）在边长为3的等边三角形ABC中，丽沅，则丽・加=（）

A&R3c31

2242

【答案】B

【分析】

根据向量数量积模与夹角计算公式可得结果.

【解析】因为方=则两=，及，又等边三角形A8C的边长为3

23

则丽.瓶=（丽•就丽川而卜058=3乂3*3*8560°=,

故选：B

9.（湖南省长郡中学2021届高三模拟）设点A,8的坐标分别为（0,1）,（1,0）,P,。分别是曲线y="和

y=lnx上的动点，记人=而•右，4=丽•丽，则下列命题不正确的是（）

A.若Li，则可=几而（4eR）B.若人=4,则网=|园

C.若尸。=2而（/IwR）,则4=4D.若网=|网，则…

【答案】ABD

【分析】

作出两个函数的图象，利用图象结合平面向量共线知识和平面向量数量积的几何意义分析可得答案.

【解析】根据题意，在直线A8上取点P',。'，且满足14Pl=|8Q'|,过P',。'分别作直线AB的垂线，交

曲线y=e*于P2,交曲线y=lnx于。,。2,在曲线y=短匕取点鸟，使I|=||,如图所小：

5

It^AQAB^AQ\-\AB\cosZQAB,令|而|cos/QA3=|X。］，则人=|^"而|,

I2^BPBA^\BP\-\BA\COSZPBA,令|旃|COS/P5A=|赤|，则人■衣|・|丽|，

若1^1=1至91，则10H敬I，

若4=4,贝IJI也H胪I即可，此时P可以与6重合，。与。2重合，满足题意，

但是而=2而（2eR）不成立，且|於田苑|，所以A、B不正确；

对于选项C,若闻=九而，此时P与6重合，且。与a重合，或尸与4重:合，且。与。2重合，所以

满足人=，2,所以C正确:

对于D,当P与鸟重合时，满足|A《|=|A6|,但此时旦在直线AB上的投影不在严处，因而不满足

\AQ'\^BP'\,即人工八，所以D不正确.

故选：ABD

10.（湖南师范大学附中2021届高三模拟）已知A、B、C三点不共线，。为平面ABC外的任一点，贝『'点

M与点48、C共面”的充分条件的是（）

A.OM^2OA-OB-OC

B.OM=OA+OB-OC

C.OM=OA+-OB--OC

32

D.OM=-OA+-OB+-OC

346

【答案】B

【分析】

根据点”与点共面，可得x+y+z=l,验证选项，即可得到答案.

【解析】设两'=x35+y砺+z玩，

若点M与点A,8,C共面，

贝ijx+y+z=l,

对于选项A：x+y+z=2-l-l=0,不满足题意；

对于选项B：x+y+z=14-1-1=1,满足题意；

对于选项c：x+y+z=l+---=-^l,不满足题意；

326

对于选项D：x+y+z=-+-+-^\,不满足题意；

-346

故选：B.

11.（辽宁省丹东市2021届高三质量监测）在△ABC中，点。在线段上，且8D=3DC,若

UUUUUUUlltln

AD=mAB+nAC>则—=（）

m

11八

A."—B.-C.2D.3

32

【答案】D

【分析】

由己知得丽=3反1，然后结合向量的线性表示及平面向量基本定理可求.

【解析】解：因为80=3。。，

所以,

所以而一通=3（汨），

故方，

44

UUUUUUUUU

若AD=mAB+nAC，

13

则m=一,〃=一,

44

n

所以一=3.

m

故选：D.

12.（辽宁省丹东市五校2021届高三联考）已知平面向量丽、丽、而为三个单位向量，且

（方,而）=120°,若无=%砺+），砺（x,yeR）,则尤+N的可能取值为（）

A.-1B.0C.72D.3

【答案】ABC

【分析】

将反=xH彳+y砺两边同时平方后整理，利用基本不等式构造二次不等式，求出x+y的范围即可.

【解析】解：由方=x西+y丽，两边同时平方得

反2=（x厉+y丽『，即反2=x2OA+y2OB2+2xyOAOB^

因为平面向量砺、OB'丽为三个单位向量，且=120°,

x2-i■y2-xy=1

/、2

（x+y）-=1+3盯W1+3.1*，,

解得-2Kx+yW2.

故选：ABC.

13.（辽宁省沈阳市2021届高三质量监测）在矩形ABC。中，AB=O,BC=2,点E为BC的中点，点尸

在CQ上，若同正通=0，则瓦兰•丽的值为（）

A.V2B.2

C.0D.1

【答案】A

【分析】

建立平面直角坐标系，根据而•而:=也，求得点尸的坐标，再利用数量积的坐标运算求解.

【解析】建立如图所示平面直角坐标系

则4(0,0),仇正，0),E(0,1),F(x,2),

••AB—(A/2>0),A.P=(x,2),

:・•衣=6x=V2，

解得x=l,...尸(1,2),

•'•AE-(y/2>1)>BF~0~yp2'2),

•••理・丽=0x(10)+1x2="

故选：A

14.(湖北省武汉市2021届高三质检)两个单位向量I，1满足同=|家+可，则,一耳=.

【答案】V3

【分析】

根据同=付+可，两边平方求得不五，再由|[一目=’(1―项2求解.

【解析】因为单位向量,,且同喟+旬,

所以同=|e,+e2|,B|Je,-e2=-^-,

所喟-+而-寸,

p2_一~^2[-

=yj^i_2q・g+G=>/3

故答案为：V3

15.(湖北省十一校2021届高三联考)已知单位向量5满足|万+同=忖-2可，则M与日的夹角为

【答案】£

【分析】

由单位向量5满足卜+日=K一2.,化简得=再结合向量的夹角公式，即可求解.

【解析】由单位向量£,B满足归+可小一21,可得7+2£3+52=/_疝5+452，

又因为卜/|=M=1,可得a-5=；,

八1

设向量£与5的夹角为氏且C°S6=FE=5，

m2

7T

因为。6[0,万],所以。=一.

3

7T

故答案为：一.

3

16.（湖北省七市教研协作体2021届高三联考）已知矩形ABC。中，AB=2，AD=1，设AC与3。交

于点O,则冠•的=.

3

【答案】—

4

【分析】

由向量的加减运算和向量数量积的性质，计算可得所求值.

【解析】解：AOB6=-AC^-BD=-（AB+AD）^AD-AB）

224

1--»2--»2

=-（AD-AB）

=i（l2-22）=--,

44

3

故答案为：-

4

17.（河北省邯郸市2021届高三一模）已知平面向量。=（3,4）,非零向量方满足力_L1贝U

b=.（答案不唯一，写出满足条件的一个向量坐标即可）

【答案】（4,-3）

【分析】

设B=（x,y）,根据，代入公式，即可求得满足题意的答案.

【解析】设8=（x,y）,因为/,_La，所以3x+4y=0,可取8=（4,一3）.

故答案为：（4,-3）

18.（广东省肇庆市2021届高三二模）写出一个与向量：=（2,1）共线的向量：.

【答案】】=（4,2）（答案不唯满足初（2=??）即可）

【分析】

根据平面向量共线的坐标表示可得结果.

【解析】与向量。=（2,1）共线的向量:为；12=4（2,1）（写出其中一个即可）.

取;1=2,可得出•个与向量：=（2,1）共线的向量为加=