2024届新高考数学“8+4+4”小题期末狂练（16）解析版

2024届高三“8+4+4”小题期末冲刺练（16）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解，得：，所以，，所以.故选：B.2.已知复数满足，则复数（）A.i B. C. D.【答案】B【解析】由可得，，，故选：B.3.已知向量，，若，则（）A B. C. D.【答案】A【解析】已知向量，，若，则解得：，所以，故，故选：A．4.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根据题意，对于函数，有函数，即函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除A､B；当时，，则恒有，排除D；故选：C.5.已知等差数列，其前项和为，若，且满足，，成等比数列，则等于（）A.或 B. C. D.2【答案】C【解析】由已知可得，设的公差为，且，即，故.故选：C6.如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底B在同一平面内的两个观测点C与D，现测得，，米，在点C处测得塔顶A的仰角为，则该铁塔的高度约为（）．（参考数据：，，，）A.42米 B.47米 C.38米 D.52米【答案】B【解析】在中，由题意可得，则，，由正弦定理可得，在中，可得，所以该铁塔的高度约为47米.故选：B.7.已知正实数，，满足，则以下结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，可知在单调递增，由，得所以，由题，，，令则，所以有，在平面直角坐标系中分别作出，，，，由图像可得，则A错误；对于B，则，即，由图像可知，所以，B错误；对于C，，即，因为，所以，则，故C正确；对于D，因为，即且，所以，D错误；故选：C8.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体外接球与内切球的研究．其中的一些研究思想启发着后来者的研究方向．已知正四棱锥的外接球半径为R，内切球半径为r，且两球球心重合，则（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】如图：设底面正方形ABCD的对角线长为2a，高为h，，正方形的中心为O，外接球的球心为，则有即，在中，①，②，以O为原点，建立空间直角坐标系如上图，则有，，设平面PCD的一个法向量为，则有，，令，则，设向量与平面PCD的夹角为，则，球心到平面PCD的距离，，由①得即③，故设，则③可整理成，两边平方得，，由①②得；故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9.小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了10次坐公交车和骑自行车所花的时间，10次坐公交车所花的时间分别为7，11，8，12，8，13，6，13，7，15（单位：min），10次骑自行车所花时间的均值为15min，方差为1.已知坐公交车所花时间X与骑自行车所花时间Y都服从正态分布，用样本均值和样本方差估计X，Y分布中的参数，并利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线如图所示.若小明每天需在早上8点之前到校，否则就迟到，则下列判断正确的是（）A.坐公交车所花时间的均值为10，方差为3B.若小明早上7：50之后出发，并选择坐公交车，则有50%以上的可能性会迟到C.若小明早上7：42出发，则应选择骑自行车D.若小明早上7：47出发，则应选择坐公交车【答案】BCD【解析】A：坐公交车所花时间的均值为，方差为，故选项A错误.B：根据题意，可以得到，，之后出发，并选择坐公交车，有以上的可能性会超过，即8点之后到校，会迟到，故选项B正确.C：由图可知，，，应选择在给定的时间内不迟到的概率大的交通工具.小明早上7：42出发，有可用，则应选择骑自行车，故选项C正确.D：小明早上7：47出发，只有可用，则应选择坐公交车，故选项D正确.故选：BCD.10.已知双曲线过点，且渐近线方程为，则下列结论正确的是（）A.的方程为 B.的离心率为C.曲线经过的一个焦点 D.直线与有两个公共点【答案】AC【解析】由双曲线的渐近线方程为，可设双曲线方程为，把点代入，得，即．双曲线的方程为，故正确；由，，得，双曲线的离心率为，故错误；取，得，，曲线过定点，故正确；联立，化简得，所以直线与只有一个公共点，故不正确．故选：AC．11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.函数在上单调递增B.为函数图象的一条对称轴C.将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上的最大值为，则的最大值为D.在上有3个零点，则实数的取值范围是【答案】BCD【解析】由可得，对于A，当，则，故在上单调递减，故A错误，对于B，当时，，故B正确，对于C，，当，则，由于在上的最大值为，所以，故，故的最大值为，C正确，对于D，令,则，可得，故的正零点有，要使在上有3个零点，则，故D正确，故选：BCD12.若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，（为自然对数的底数），则（）A.在内单调递减；B.和之间存在“隔离直线”，且的最小值为；C.和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是；D.和之间存在唯一的“隔离直线”.【答案】BD【解析】对于，，，，当时，，单调递增，，在内单调递增，错误；对于，设，的隔离直线为，则对任意恒成立，即对任意恒成立.由对任意恒成立得：.⑴若，则有符合题意；⑵若则有对任意恒成立，的对称轴为，，；又的对称轴为，；即，，；同理可得：，；综上所述：，，正确，错误；对于，函数和图象在处有公共点，若存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点.设隔离直线的斜率为，则隔离直线方程为，即，则恒成立，若，则不恒成立.若，令，对称轴为在上单调递增，又，故时，不恒成立.若，对称轴为，若恒成立，则，解得：.此时直线方程为：，下面证明，令，则，当时，；当时，；当时，；当时，取到极小值，也是最小值，即，，即，函数和存在唯一的隔离直线，正确.故选：BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．13.展开式中的常数项为__________．【答案】.【解析】通项公式Tr+1（x2）6﹣r（﹣1）rx12﹣3r，令12﹣3r＝0，解得r＝4．∴展开式中的常数项15．故答案为15．14.已知数列的前项和，．若是等差数列，则的通项公式为____________．【答案】【解析】由知，当时，；当时，，此时，当时，，当时，，而，若数列是等差数列，则，所以，则.故答案为：.15.已知在中，，，，为线段上任意一点，则的取值范围是__________．【答案】【解析】设，，则，故，因，所以，故，.故答案为：16.某同学所在的课外兴趣小组计划用纸板制作一个简易潜望镜模型（图甲），该模型由两个相同的部件拼接粘连制成，每个部件由长方形纸板（图乙）沿虚线裁剪后卷一周形成，其中长方形卷后为圆柱的侧面．为准确画出裁剪曲线，建立如图所示的以为坐标原点的平面直角坐标系，设为裁剪曲线上的点，作轴，垂足为．图乙中线段卷后形成的圆弧（图甲），通过同学们的计算发现与之间满足关系式，