MEMS设计中的工程力学()2

第3章微系统设计中的工程力学

第2讲根本力学知识材料的力学特性典型结构的静态受力分析二阶系统的动力学分析机械结构的热力学分析强度校核ANSYS〔试验〕二阶动态系统二阶系统所能描述的系统不带阻尼项的二阶系统方程的解共振现象阻尼的定义和意义带阻尼项的二阶系统方程的解及其意义4.4二阶系统的动力学分析二阶系统但凡输入与输出信号之间的关系用以下二阶常系数的常微分方程描述的传感器称为二阶系统(或环节)。相当多的传感器，如测压,测力和加速度传感器等都可以近似地看成是二阶系统。最简单的机械振动系统是如下图的质量块－弹簧系统质量块弹簧系统由牛顿第二定律得出的运动方程求解上式可得到位移X(t)C1和C2由初始条件决定的任意常数振动质量块圆频率ω

质量块的振动频率为圆频率ω经常被认为是系统的自然频率例4.5一质量块－弹簧系统，质量块质量为10mg，弹簧弹性系数为k＝6×10－5N/m。求质量块振动的幅值和频率。质量块的振动是在一大小为µm的向下拖拉的作用下启动的。质量块弹簧系统解:初始位移为初始速度为由方程那么任意时刻质量块的振动幅值为可得圆频率ω为相应地，频率为系统的自然频率与圆频率相同共振简单质量块－弹簧系统受到一个谐振频率为的载荷，如下图频率在受迫振动中常被称为鼓励力的频率质量块的瞬态位置X(t)的运动方程可表示为求解方程，得当时，根据洛比达准那么得当时，在很短时间内，这个现象被称为质量块－弹簧系统的共振。共振情况下振幅的迅速增加产生共振的条件:只要载荷的频率等于结构的固有频率ω复杂几何形状的结构系统本身具有无穷多个固有频率

n

ωn－结构在第n阶模态下的固有频率其中n是模态数，n=1,2,3……K－刚度常数M－质量块的质量阻尼阻尼的根本知识定义:阻尼是一种阻力形式，它由振动质量外表和周围流体〔气体或者液体〕的摩擦引起。微加速度计的设计中，阻尼的产生方式压膜阻尼剪切阻力计算阻尼系数的关系式FD－对运动质量的阻力－阻尼系数v(t)－运动质量的速度

压膜阻尼的计算平板间的空气运动可以用流体力学的Reynolds方程来描述

边界约束条件为

在xoy平面内，d为常数，有得到阻尼力其中于是，阻尼系数为于是得到阻尼比为其中基于质量块下底面长度和宽度的修正系数压膜阻尼的几何函数上面讨论的是无阻尼情况，下面我们在系统中引入一个阻尼器，如下图。设阻尼器的阻尼系数为c，那么运动方程为式中质量块的瞬时位置X(t)有三种情况，取决于阻尼参数的大小。质量块-阻尼-振动系统情况1，过阻尼情况以下图描述了系统的过阻尼情况质量块的瞬时位置X(t)为过阻尼系统的振动幅值变化曲线可以看出：在过阻尼情况下，质量块的振动幅值迅速下降过阻尼情况适用于容易过量振动的机械和器件〔包括微系统〕中在这种微器件的设计中，设计工程师应该选择一个适宜的阻尼器情况２，临界阻尼情况以下图描述了系统的临界阻尼情况质量块的瞬时位置X(t)为临界阻尼系统的振动幅值变化曲线情况３，欠阻尼情况以下图描述了系统的欠阻尼情况质量块的瞬时位置X(t)为欠阻尼系统的振动幅值变化曲线谐振复杂几何形状的设备与简单弹簧—质量块系统一样容易受共振影响器件不同振动模态下的固有频率表达式为[K]矩阵与器件的几何形状、材料性质有关器件承受不同的应力时，它的固有频率不同承受纵向力的振动梁在模态1时的固有圆频率由Rayleigh-Ritz商公式计算得到ρ－梁材料的质量密度E－杨氏模量I－梁横截面的惯性矩L、W和H－分别是矩形梁的长度、宽度和厚度例如，对于四边八梁-质量块结构，其一阶固有圆频率的计算公式为四边八梁-质量块结构动态特性求解实例ckM加速度传感器模型对于四边八梁-质量块结构可以简化为二阶单自由度振动系统，其力平衡方程式为挠度的s

域函数为系统的传递函数由Rayleigh-Ritz商公式可得结构的一阶固有圆频率由流体力学的Reynolds方程得到平板间阻尼比其中代入，可以得到系统函数，并能求解基于该结构的传感器的输出。4.5机械结构的热力学分析机械强度的热效应蠕变热应力本节着重介绍暴露在高温中的微机械和器件受到的三种严重影响。许多微系统或者在高温下制作，或者希望它们在高温下工作，还有一些传感部件，对工作温度高度敏感，因此，热效应是微系统设计和封装中的一个重要因素。机械强度的热效应热效应:在一定条件下，体系在变化过程中的热量变化。机械强度的热效应是指在体系热量变化的过程中，一些材料的机械性能的变化。大多数工程材料随温度的增加，刚度〔例如杨氏模量〕、屈服强度和极限强度会减小。大多数材料的热物理属性随温度增加蠕变蠕变定义：材料不承受附加机械载荷时的一种变形。蠕变条件：当材料的温度超过材料熔点〔热力学温度〕的一半时。蠕变的三个阶段：初期蠕变、稳态蠕变和三重蠕变。材料在高温中的蠕变材料长时间暴露在高温环境中，有可能导致三重蠕变，造成器件失效。由上图可得:蠕变曲线随温度增加而变得更陡蠕变三个阶段的差异在高温下变得越来越小与较低工作温度相比，结构在高温下发生蠕变失效的时间更短大多是由硅、硅化合物制成的传感和致动元件，由于材料的熔点很高，所以蠕变对这类器件的影响不是很大。热应力热应力的产生原因:大多数微系统由不同材料的元件组成，因此热膨胀系数(CTE)不匹配是普遍存在的；工作在升温环境中的器件，由于机械约束，或由于配合部件的CTE不匹配将导致热应力。也可能由于结构中温度的不均匀分布而在有很小或者没有机械约束的器件中产生热应力过大会导致微器件失效材料由于热环境改变而膨胀或者收缩的量由以下因素决定：温度变化△T＝T2－T1材料的CTE，热膨胀系数α〔温度每变化一度造成的材料单位长度的变化量〕图b中，杆总的膨胀〔＋△T〕或收缩〔－△T〕的计算公式为其中，L是杆在参考温度下的原始长度。由此导致的热应力为图中a的杆两端固定，当施加一个温度升高△T＝T2－T1时，在杆中产生压应力大小为计算由于热膨胀系数不匹配导致的热应力和变形界面力F和导致的长条的曲率的决定公式分别为例题4.14如下图的由双层条，氧化的硅梁组成的微致动器。一层电阻加热膜被沉积到氧化层的上面。求在当温度上升△T＝10℃的条件下Si和两层之间的界面力和长条自由端的运动。材料属性：解：由图可得h＝10×10－6mb＝5×10－6m代入，得:相应自由端的运动用弯曲长条的曲率半径来评估，如下图。双层条致动器自由端的运动由弧的曲率半径为

，得相应的整个圆的周长为2

＝2.2878m，对应该弧的角度

为由此得

＝0.1574。利用三角形

Oab关系得自由端的运动

为图中定义了三维固体在静力平衡状态下的应力和相应的应变分量。沿着x，y，z方向的位移分别被表示为u〔x,y,z〕，v(x,y,z)和w(x,y,z)强度校核应力强度因子断裂韧度界面的断裂力学强度校核本节主要介绍MEMS设备受到大力作用时，可能发生断裂的强度效核---断裂力学知识；本节给出了强度因子的概念，强度因子是校核中不可缺少的局部；介绍了强度校核的标准----断裂韧度；讨论了一种复杂的校核方式---混合模式的校核应力强度因子应力场中的固体存在一个小裂纹，如下图。应力场可使裂缝以三种不同的模式发生变形。变形模式如下图。模式Ⅰ：断开模式模式Ⅱ：边缘滑移模式模式Ⅲ：撕裂模式图4-43中裂缝的应力和位移分量表达为

其中，KI、KII、和KIII分别是模式I，II，III断裂的应力强度因子。

当r→0的时候应力的情况被称为裂缝尖端的应力奇点。断裂韧度

断裂韧度被用来当作评价裂缝“稳定性〞的标准。三种模式断裂的表达为和用于计算模式I断裂韧度的试样模式I断裂的断裂韧度表计算达式图a中为紧密拉伸样品，断裂韧度计算公式为其中：c－裂缝长度P－外界载荷A－横截面积注意：计算拉伸样品的断裂韧度需要满足图a指定的几何参数

样品厚度T=b/2通过测量指定样品的临界载荷P，计算出的断裂韧度被定为一个设计标准ＫⅠC计算应力强度因子，如果计算出的K值小于ＫⅠC，那么认为是平安情况。即裂缝被认为是稳定的。校核方法界面的断裂力学MEMS器件中有着不同材料的分界面，需要研究分界面的断裂力学。大多数界面同时受到模式I和模式II的复合作用。因此需要进行混合模式的断裂分析。分界面顶端的应力表达式为〔In(r)项的分布被忽略〕那么界面的应力分量表达和式中的应力强度系数和从线性