专题01 比较大小

第3页（共15页）专题01专题01比较大小热点研究热点研究专题热度★★★★☆命题热点(1)利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性或图象比较大小．(2)构造复杂函数，利用导函数研究所构造的函数的单调性，再利用赋值比较大小．热门方法图象法、构造法、放缩法．热点题型选择题，解答题中往往也伴随着比较大小．热点突破热点突破热点1利用单调性（或图象）比较大小名师点拨1．当底数或指数（真数）相同时，一般会求同存异，利用函数的单调性比较大小，同时注意结合图象．2．当a>1时，指数函数y=ax与对数函数y3．当0<a<1时，指数函数y=ax与对数函数【例1】（2023•沭阳县校级模拟）设12A．aa＜ab＜ba B．aa＜ba＜ab C．ab＜aa＜ba D．ab＜ba＜aa【答案】C【分析】先由条件结合指数函数的单调性，得到0＜a＜b＜1，再由问题抽象出指数函数和幂函数利用其单调性求解．【解答】解：∵12＜(12)b＜(12)a∴指数函数y＝ax在R上是减函数，∴ab＜aa∴幂函数y＝xa在R上是增函数，∴aa＜ba，∴ab＜aa＜ba故选：C．【例2】（2023•秀英区校级三模）设a=(34)12，b=(A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a【答案】A【分析】先判断b＞1，再化a、c，利用幂函数的性质判断a、c的大小．【解答】解：a=(34)12=且0＜827＜916＜1，y=x综上知，c＜a＜b．故选：A．【例3】（多选）（2023•河北三模）下列不等式成立的是（）A．0.30.7＜0.30.9 B．log1.33＞log1.32 C．log0.30.2＞0.【答案】BC【分析】利用指数函数与对数函数的单调性，逐个选项进行判断求解即可．【解答】解：对于A，y＝0.3x为减函数，0.30.7＞0.30.9，故A错误；对于B，y＝log1.3x为增函数，log1.33＞log1.32，故B正确；对于C，0.30.2＜0.30＝1，log0.30.2＞log0.30.3＝1，故log0.30.2＞0.对于D，log33=12＜lo故选：BC．热点2利用0、1比较大小名师点拨1．当底数和指数（真数）都不同时，一般采用特殊介质0，1进行大小比较，同时注意结合图象及特殊值．2．因为幂指对函数的特殊性，往往比较大小，可以借助于临界值0与1比较大小．3．，，．【例4】（2023•青羊区校级模拟）设a＝log0.62，b＝log20.6，c＝0.62，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c【答案】C【分析】通过比较三个数与0、1的大小关系即可得到答案．【解答】解：∵log0.62＜log0.653=log0.60.6﹣1＝﹣1，∴∵0＝log21＞log20.6＞log20.5＝﹣1，∴0＞b＞﹣1，∵0＜0.62＜0.60＝1．∴0＜c＜1，∴c＞b＞a．故选：C．【例5】（2023•西城区校级三模）设a＝30.7，b=(13)−0.8，c＝log0.70.8，则aA．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【答案】D【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．【解答】解：∵b=(13)−0.8=30.8＞30.7＞30∵log0.70.8＜log0.70.7＝1，∴c＜1，∴c＜a＜b．故选：D．【例6】（2023•沙坪坝区校级模拟）设a＝log20.3，b=log120.4，c＝0.40.3，则aA．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b【答案】D【分析】根据对数函数的单调性可得出：a＜0，b＞1，根据指数函数的单调性可得出0＜c＜1，然后即可得出a，b，c的大小关系．【解答】解：∵log20.3＜log21＝0，log120.4＞log∴a＜c＜b．故选：D．热点3取介质比较大小名师点拨1．估计比较大小的数所在的大致区间．2．利用二分法、指对互化来找合适的中间值．【例7】（2023•开封三模）设a＝log23，b＝log35，c=3A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【答案】C【分析】可得出32=log222＜log2【解答】解：∵32=log∴b＜c＜a．故选：C．【例8】（2023•邹平市校级模拟）对于三个不等式：①sin1＜sin2；②log32＜log23；③e3＜π0（π≈3.14；e≈2.71）．其中正确不等式的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】见试题解答内容【分析】对于①，利用正弦函数的单调性直接判断；对于②，根据对数运算法则选择中间变量23比较大小或利用换底公式合理放缩比较大小；对于③【解答】解：对于①：sin1＜sinπ3=sin对于②：log32=13log对于③：∵e3＞1，π0＝1，∴e3＞π0，故③错误．综上可知，正确不等式的个数为2个．故选：C．【例9】（2023•白山模拟）已知a＝log53，b＝0.2﹣0.3，c=loA．c＜a＜b B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a【答案】A【分析】取中间值12【解答】解：因为12=logb＝0.2﹣0.3＝（0.2﹣1）0.3＝50.3＞1，c=log161所以c＜a＜b．故选：A．热点4利用换底公式比较大小名师点拨利用换底公式比较大小：将对数转化为同底数，再利用性质来比较．【例10】（2023•临泉县校级三模）已知4•3m＝3•2n＝1，则（）A．m＞n＞﹣1 B．n＞m＞﹣1 C．m＜n＜﹣1 D．n＜m＜﹣1【答案】D【分析】根据条件得出3m=14＜13，2n=13＜12，然后即可得出【解答】解：方法一：∵4•3m＝3•2n＝1，∴3m=1∴m＜﹣1，n＜﹣1，且m＝﹣log34，n＝﹣log23，∵32＞23，∴3＞232∵34＞43，∴4＜343∴log23＞log34，﹣log23＜﹣log34，∴n＜m＜﹣1．方法二：∵4•3m＝3•2n＝1，∴3m=14，2n∴m=−lg2lg3=−2×0.301∴n＜m＜﹣1．故选：D．【例11】（2023•湖南模拟）已知a＝log32，b＝log53，c＝log85，则下列结论正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a【答案】A【分析】对数函数的单调性可比较a、b，再根据基本不等式及换底公式比较b与c的大小关系，由此可得出结论．【解答】解：因为log32=log3因为ln3ln8＜(ln3+ln82所以log53＜log85，所以b＜c，所以a＜b＜c．故选：A．【例12】（多选）（2023•宣城模拟）已知3x＝5y＝15，则实数x，y满足（）A．x＞y B．x+y＜4 C．1x+1y【答案】AD【分析】把指数式改写为对数式，再结合对数运算法则、换底公式变形，利用基本不等式判断各选项．【解答】解：因为3x＝5y＝15，所以x＝log315，y＝log515，x＝log315＝1+log35，y＝log515＝1+log53，易知log35＞1＞log53，所以x＞y，A正确；1x+1显然x＞0，y＞0，x≠y，x+y=(x+y)(1x+xy＝（1+log35）（1+log53）＝1+log35+log53+log35⋅log53=2+log35+lo故选：AD．热点5作差法与作商法比较大小名师点拨1．作差或作商主要解决底数不统一的对数比较大小．2．作差或作商简单，难点在于后续变形，需要一定的技巧与方法．【例13】（2023•江西二模）a＝ln2，b=1A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a【答案】B【分析】ln2≈0.693，ln3≈1.098，作差，与零比较大小．【解答】解：根据题意得，比较a与b的大小．a＝ln2≈0.693，再比较a3与13的大小，即ln32≈06933≈0.333＜13；所以a再比较a与c的大小．c﹣a＝ln3﹣ln2−1315≈1.098﹣0.693而0.4053＝0.06561＜115，所以c﹣a＜0，即c＜因此b＞a＞c．故选：B．【例14】（2023•山西模拟）已知x=6logA．x＞y＞z B．z＞x＞y C．y＞z＞x D．y＞x＞z【答案】A【分析】根据对数的运算，分别利用对数的单调性、对数作商即可求解．【解答】解：因为x=6log643=6由yz=2log2由xy=log232log23综上：x＞y＞z．故选：A．【例15】（多选）（2023•北碚区校级模拟）若实数a，b满足lnb＜lna＜0，则下列结论中正确的是（）A．a2＜b2 B．1aC．loga3＜logb3 D．ab＞ba【答案】BCD【分析】由题意可判断0＜b＜a＜1，根据不等式的性质可判断选项A、B；根据函数的单调性可判断选项C、D．【解答】解：∵lnb＜lna＜0，∴0＜b＜a＜1，a2＞b2，1a＜1b，即选项∵loga3﹣logb3=1log3a−1由幂函数与指数函数的单调性可得，ab＞bb＞ba，故选项D正确；故选：BCD．热点6构造函数法比较大小名师点拨构造函数法比较大小的总体思路：先化简变形，再从形式上寻找共性，最终构造函数．【例16】（2023•鼓楼区校级模拟）a=1A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c【答案】D【分析】通过构造新函数，借助导数研究新函数的单调性，从而比较大小．【解答】解：令f(x)=ln(x+1)−xx+1，x∈（﹣1，+∞），则所以当x＞0时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以f（0.1）＞f（0）＝0，即ln(0.1+1)−0.10.1+1＞0，即ln1.1＞111令h（x）＝ln（x+1）﹣x，则ℎ'(x)=1在x∈(0，π2)时，h′（x）＜0，则h∴h（x）＜h（0）＝0，即ln（x+1）＜x，令m（x）＝x﹣tanx，x∈(0，π2)故m（x）在x∈(0，π2)为减函数，∴m（x）＜m（0），即x令x＝0.1，则ln（0.1+1）＜0.1＜tan0.1，即b＜0.1＜c，∴b＜c，∴a＜b＜c．故选：D．【例17】（2023•宁德模拟）a＝e0.2，b＝log78，c＝log67，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b【答案】C【分析】直接利用构造函数的关系式，利用函数的导数和函数的单调性的关系判断a、b、c的大小关系．【解答】解：对于b＝log78，c＝log67，利用构造函数法，令f（x）=ln(x+1)lnx，所以f'(x)=xlnx−(x+1)ln(x+1)x(x+1)ln故函数f（x）为单调递减函数，故ln7ln6＞ln8ln7，即log67＞log78，故令g（x）＝ex﹣x﹣1（x≥0），则g′（x）＝ex﹣1≥0，在（0，+∞）恒成立，即g（x）在（0，+∞）单调递增；所以g（x）≥g（0）＝0，即ex≥x+1，所以e0.2令h（x）=x6−当h′（x）＞0时，x＞6ln6，即函数h（x）在（由于h（6）＝0，所以当x＞6时，h（x）＞h（6）＝0，所以h（7）＞h（6）＝0，即76−ln7由于76＜65，所以log6故a＞c＞b．故选：C．【例18】（2023•全国三模）若a=log23+log32，b=log2e+ln2，c=【答案】b＜c＜a．【分析】先得到对勾函数f（x）＝x+1【解答】解：a＝log23+1log23，b＝log2e设f（x）＝x+1x，（x＞1），则a＝f（log23），b＝f（log2e），c＝f（∵f′（x）＝1−1x2＞0在（1，+∞）上恒成立，∴∵log23＞log222=32，log2e＜log222=32，∴log23＞32＞log故答案为：b＜c＜a．热点7放缩法比较大小名师点拨1．指数与幂函数相结合放缩比较大小．2．对数：用单调性放缩底数或真数比较大小．3．常见的放缩不等式：指数型函数不等式、对数型函数不等式、三角函数不等式．【例19】（2023•天津模拟）已知a＝0.75，b＝2log52，c=sinπ5，则a，b，A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b【答案】C【分析】将a，b化为同底的对数形式，根据对数函数单调性可知a＜b；利用sinπ5＜sinπ4【解答】解：∵a=0.75=34=lo又4125＜4256，∴∵c=sinπ5＜sinπ4=22=综上所述：c＜a＜b．故选：C．【例20】（2023•郑州模拟）已知a＝log35，b=2(13)14，A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．c＞a＞b【答案】B【分析】根据指数函数、对数函数的性质及基本不等式判断即可．【解答】解：因为a=log34=(81256c=3log所以c＞b＞a．故选：B．【例21】（2023•鼓楼区校级模拟）设a=2(eA．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b【答案】A【分析】构造函数进行比较即可．【解答】解：令g（x）＝e2x﹣1﹣2（ex﹣1），则g（0）＝0，当x＞0，g′（x）＝2e2x﹣2ex＞0，所以g（x）单调递增，所以g（x）＞g（0）＝0，所以g（14）＞0，即b﹣a同理，当x＞0，ex＞1+x，得ex＞1+x+x22，所以a＝2（e而sin14+tan14＜sinπ12+tanπ12=sin（π4所以a＞c．故选：A．热点8由函数性质比较大小名师点拨1．抽象函数：可借助周期、对称性来去除f()来比较大小．2．有解析式的函数：通过求导或函数的性质，由函数的对称性或单调性来比较大小．【例22】（2023•北辰区校级模拟）已知a＝0.20.5，b＝﹣log0.210，c＝0.20.2，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b【答案】D【分析】利用函数y＝0.2x在R上单调减，y＝log0.2x在（0，+∞）上单调减，与1比较大小即可得．【解答】解：a＝0.20.5，c＝0.20.2，则由于y＝0.2x在R上单调减，0.5＞0.2＞0，则0.20.5＜0.20.2＜0.20＝1，a＜c＜1，b＝﹣log0.210＝log0.20.1，又y＝log0.2x在（0，+∞）上单调减，∴log0.20.1＞log0.20.2＝1，即b＞1，则a＜c＜b．故选：D．【例23】（2023•万州区校级模拟）已知函数f（x）＝2|x|﹣1，记a＝f（log0.53），b＝f（log53），c＝f（lg6），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a【答案】C【分析】先根据偶函数的特点，得到f（log0.53）＝f（log23），再根据f（x）在（0，+∞）上为增函数比较即可．【解答】解：f（x）的定义域为R，f（﹣x）＝f（x），∴f（x）是偶函数，当x≥0，f（x）＝2x为增函数，log0.53＜log0.51＝0，f（log0.53）＝f（﹣log0.53）＝f（log23），1＝log22＜log23＜log24＝2，即1＜log23＜2，0＜log53＜1，0＜lg6＜1，log53﹣lg6=lg3lg5−lg∵lg3＜lg10=12，lg∴lg3﹣lg6lg5＜0，∴log53﹣lg6＜0，∴log53＜lg6，∴0＜log53＜lg6＜log23，∵f（x）在（0，+∞）上为增函数，∴f（log53）＜f（lg6）＜f（log0.53），即b＜c＜a．故选：C．【例24】（2023•乌鲁木齐模拟）已知函数f(x)=ln2−x3+x，a＝log23，b＝log34，A．f（a）＜f（b）＜f（c） B．f（a）＜f（c）＜f（b） C．f（c）＜f（a）＜f（b） D．f（c）＜f（b）＜f（a）【答案】B【分析】先判断函数的单调性，然后比较a，b，c的大小，结合单调性可得答案．【解答】解：因为2−x3+x则f(x)=ln2−x易知y＝ln（2﹣x）为减函数，y＝ln（3+x）为增函数，所以f(x)=ln2−x因为a=log23＞log又b=log34＜log327所以f（a）＜f（c）＜f（b）．故选：B．热点9三角函数值比较大小名师点拨1．将角通过诱导公式等化简到一个单调区间来比较大小．2．利用正余弦的有界性、正负值，结合三角函数性质来比较大小．【例25】（2023•龙华区校级模拟）a＝sin2，b＝lna，c＝e﹣b，则（）A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜b＜c【答案】B【分析】可看出0＜