2022-2023学年天津市南开中学高一（下）期末数学试卷

第1页（共1页）2022-2023学年天津市南开中学高一（下）期末数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.本大题共8小题，每小题4分，共32分.1．（4分）为帮助乡村学校的学生增加阅读、开阔视野、营造更浓厚的校园读书氛围，南开中学发起了“把书种下，让梦发芽”主题捐书活动，现拟采用按年级比例分层抽样的方式随机招募12名志愿者，已知我校高中部共2040名学生，其中高一年级680名，高二年级850名，高三年级510名，那么应在高三年级招募的志愿者数目为（）A．3 B．4 C．5 D．62．（4分）一组数据：16，21，23，26，33，33，37，37的第85百分位数为（）A．34 B．35 C．36 D．373．（4分）已知三个不同的平面α，β，γ和两条不重合的直线m，n，则下列四个命题中正确的是（）A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n B．若α∩β＝n，m⊂α，m⊥n，则α⊥β C．若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ D．若α∩β＝m，m⊥γ，则α⊥γ4．（4分）从装有4个白球和3个红球的盒子里摸出3个球，则以下哪个选项中的事件A与事件B互斥却不互为对立（）A．事件A：3个球中至少有1个红球；事件B：3个球中至少有1个白球 B．事件A：3个球中恰有1个红球；事件B：3个球中恰有1个白球 C．事件A：3个球中至多有2个红球；事件B：3个球中至少有2个白球 D．事件A：3个球中至多有1个红球；事件B：3个球中至多有1个白球5．（4分）为弘扬民族精神、继承传统文化，某校高二年级举办了以“浓情端午，粽叶飘香”为主题的粽子包制大赛．已知甲、乙、丙三位同学在比赛中成功包制一个粽子的概率分别为，且三人成功与否互不影响，那么在比赛中至少一人成功的概率为（）A． B． C． D．6．（4分）如图，A，B是以CD为直径的半圆圆周上的两个三等分点，，点M为线段AC中点，则＝（）A． B． C． D．7．（4分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E在棱A1B1（不含端点）上运动，现有如下命题：①平面AA1D1D内不存在直线与DE垂直；②平面A1DE与平面ABCD所成的锐二面角为；③当点E运动到棱A1B1的中点时，线段A1C上存在点P，使得BC∥平面AEP；④设点P为线段A1C的中点，则三棱锥E﹣PBC1的体积为定值．其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（4分）月明天是我校一位登山爱好者，某天傍晚，她登上一座山尖（图中点A处），刚好望到另一座远山，瞬间想起《送别》中“夕阳山外山”的歌词，在这诗意的时刻，她正眺望到远山上一座凉亭（位于点B处），于是她想测算出凉亭到那座山顶（点C处）的距离，她在点A处利用测角仪器测得点B的俯角为5°，点C的仰角为40°，此后，她沿山坡下行100米至点D处，测得点A，B，C的仰角分别为80°，25°，55°，根据这些数据，明天同学计算得到了凉亭到山顶的距离BC＝（）A．米 B．米 C．米 D．米二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分.9．（4分）i为虚数单位，若复数，则|z|＝．10．（4分）已知正四面体ABCD的棱长为1，则直线AB与平面BCD所成角的余弦值为．11．（4分）已知向量＝（4，3），向量在向量上的投影向量＝（2，4），则|﹣|的最小值为．12．（4分）在5袋牛奶中，有2袋已经过了保质期，从中任取2袋，则取到的全是未过保质期的牛奶的概率为．13．（4分）设三角形ABC是等边三角形，它所在平面内一点M满足，则向量与夹角的余弦值为．14．（4分）为迎接我校建校120周年校庆，数学学科在八角形校徽中生发灵感，设计了一枚“立体八角形”水晶雕塑，寓意南开在新时代中国“保持真纯初心，骏骏汲汲前行”，以下为该雕塑的设计图及俯视图，它由两个中心重合的正四棱柱组合而成，其中一个正四棱柱可看作由另一个正四棱柱旋转45°而成，已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，设该雕塑的表面积为S1，该雕塑内可容纳最大球的表面积为S2，该雕塑外接球表面积为S3，则S1＝，S2：S3＝．三、解答题：本大题共3小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（14分）某校从高一年级学生中随机抽取40名，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，所有成绩均为不低于40分的整数）分为6组：[40，50），[50，60），…，[90，100]，绘制出如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求出图中实数a的值；（Ⅱ）若该校高一年级共有学生640名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（Ⅲ）若从成绩来自[40，50）和[90，100]两组的学生中随机选取两名学生：（i）写出该试验的样本空间：（ii）求这两名学生数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．16．（15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）已知a＝3，（i）若△ABC的面积为，求△ABC的周长：（ii）求△ABC周长的取值范围．17．（15分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝AD＝AA1，过A1作底面的垂线，垂足在线段AC上，点M，N分别为棱AB和C1D1的中点．（Ⅰ）证明D，M，B1，N四点共面，且AD1∥平面DMB1N；（Ⅱ）证明直线A1C与平面DMB1N不垂直；（Ⅲ）若AC1⊥平面A1BD，求∠BAA1的大小．

2022-2023学年天津市南开中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.本大题共8小题，每小题4分，共32分.1．（4分）为帮助乡村学校的学生增加阅读、开阔视野、营造更浓厚的校园读书氛围，南开中学发起了“把书种下，让梦发芽”主题捐书活动，现拟采用按年级比例分层抽样的方式随机招募12名志愿者，已知我校高中部共2040名学生，其中高一年级680名，高二年级850名，高三年级510名，那么应在高三年级招募的志愿者数目为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．【解答】解：该校高中部共2040名学生，其中高一年级680名，高二年级850名，高三年级510名，采用按年级比例分层抽样的方式随机招募12名志愿者，则应在高三年级招募的志愿者数目为．故选：A．【点评】本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．2．（4分）一组数据：16，21，23，26，33，33，37，37的第85百分位数为（）A．34 B．35 C．36 D．37【分析】根据已知条件，结合百分位数的定义，即可求解．【解答】解：0.85×8＝6.8，则一组数据：16，21，23，26，33，33，37，37的第85百分位数为：37．故选：D．【点评】本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．3．（4分）已知三个不同的平面α，β，γ和两条不重合的直线m，n，则下列四个命题中正确的是（）A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n B．若α∩β＝n，m⊂α，m⊥n，则α⊥β C．若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ D．若α∩β＝m，m⊥γ，则α⊥γ【分析】对于A选项，由线面平行的性质定理可知A的正误；对于B选项，构图举反例，可知B错误；对于C选项，可举例说明，如教室的墙角，不妨设α为东墙面，γ为北墙面，β为地面，满足已知，从而可知C的正误；对于D选项，利用面面垂直的判定定理可知D的正误．【解答】解：对于A，m∥α，α∩β＝n，则m∥n，错误，原因是β不一定是经过直线m的平面；故A错误；对于B，若α∩β＝n，m⊂α，m⊥n，则α⊥β错误，如下图所示，原因是由题设条件无法推出一个平面经过另一个平面的垂线，故无法判定是否α与β一定垂直，故B错误；对于C，若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ，错误，例如教室的墙角，不妨设α为东墙面，γ为北墙面，β为地面，满足α⊥β，γ⊥β，但α与γ相交，故C错误；对于D，因为α∩β＝m，m⊥γ，由面面垂直的判定定理得：α⊥γ，故D正确．故选：D．【点评】本题主要考查空间中点，线，面之间的位置关系，属于中档题．4．（4分）从装有4个白球和3个红球的盒子里摸出3个球，则以下哪个选项中的事件A与事件B互斥却不互为对立（）A．事件A：3个球中至少有1个红球；事件B：3个球中至少有1个白球 B．事件A：3个球中恰有1个红球；事件B：3个球中恰有1个白球 C．事件A：3个球中至多有2个红球；事件B：3个球中至少有2个白球 D．事件A：3个球中至多有1个红球；事件B：3个球中至多有1个白球【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断即可．【解答】解：对于A，事件A与事件B可能同时发生，例如摸出2个白球和1个红球，所以事件A与事件B不是互斥事件，故A错误；对于B，事件A与事件B不可能同时发生，但不是一定有一个发生，还有可能是3个白球或3个红球，所以事件A与事件B互斥却不互为对立，故B正确；对于C，事件A与事件B可能同时发生，例如摸出2个白球和1个红球，所以事件A与事件B不是互斥事件，故C错误；对于D，事件A与事件B不可能同时发生，但必有一个发生，所以事件A与事件B是互斥事件也是对立事件，故D错误．故选：B．【点评】本题主要考查了互斥事件和对立事件的定义，属于基础题．5．（4分）为弘扬民族精神、继承传统文化，某校高二年级举办了以“浓情端午，粽叶飘香”为主题的粽子包制大赛．已知甲、乙、丙三位同学在比赛中成功包制一个粽子的概率分别为，且三人成功与否互不影响，那么在比赛中至少一人成功的概率为（）A． B． C． D．【分析】由题意求得没有一人成功的概率，再由对立事件的概率求解．【解答】解：由题意，甲、乙、丙三位同学在比赛中成功包制一个粽子的概率分别为，则甲、乙、丙三位同学在比赛中不能成功包制一个粽子的概率分别为，，．则没有一人成功的概率为＝，∴至少一人成功的概率为1﹣＝．故选：C．【点评】本题考查相互独立事件与对立事件的概率，是基础题．6．（4分）如图，A，B是以CD为直径的半圆圆周上的两个三等分点，，点M为线段AC中点，则＝（）A． B． C． D．【分析】由圆的几何性质和平面向量的线性运算计算即可．【解答】解：由圆的几何性质知，2AB＝CD且AB∥CD，因为，点M为线段AC中点，所以＝＝＝＝＝．故选：D．【点评】本题考查平面向量的线性运算，属于基础题．7．（4分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E在棱A1B1（不含端点）上运动，现有如下命题：①平面AA1D1D内不存在直线与DE垂直；②平面A1DE与平面ABCD所成的锐二面角为；③当点E运动到棱A1B1的中点时，线段A1C上存在点P，使得BC∥平面AEP；④设点P为线段A1C的中点，则三棱锥E﹣PBC1的体积为定值．其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】对①，根据三垂线定理，即可判断；对②，根据题意易知平面A1DE即为对角面A1DCB1，再由二面角的概念，即可求解；对③，设AE∩A1B＝F，则易知F为线段A1B上靠近A1的三等分点，在A1C上取靠近A1的三等分点P，则FP∥BC，再根据线面平行的判定定理，即可判断；对④，易知平面PBC1即为对角面ABC1D1，且A1B1∥对角面ABC1D1，从而得E到平面ABC1D1的距离为定值，又三角形PBC1的面积也为定值，从而可判断④正确．【解答】解：对①，如图，易知DE在平面AA1D1D内的射影为A1D，而AD1⊥A1D，∴根据三垂线定理可知AD1⊥DE，∴①错误；对②，如图，由正方体的性质易知：平面A1DE即为对角面A1DCB1，又易知DC⊥平面B1CB，∴平面A1DE与平面ABCD所成的锐二面角即为∠B1CB＝，∴②正确；对③，如图，当点E运动到棱A1B1的中点时，设AE∩A1B＝F，则易知F为线段A1B上靠近A1的三等分点，∴在A1C上取靠近A1的三等分点P，连接FP，则FP∥BC，连接PE，PA，又BC⊄平面AEP，FP⊂平面AEP，∴BC∥平面AEP，∴③正确；对④，如图，当点P为线段A1C的中点时，由正方体的性质易知：平面PBC1即为对角面ABC1D1，又易知A1B1∥对角面ABC1D1，∴E到平面ABC1D1的距离为定值，又三角形PBC1的面积也为定值，∴三棱锥E﹣PBC1的体积为定值，∴④正确．故②③④为真命题，共计3个．故选：C．【点评】本题考查线线垂直的判断，二面角的求解，线面平行的判断，三棱锥的体积问题，化归转化思想，属中档题．8．（4分）月明天是我校一位登山爱好者，某天傍晚，她登上一座山尖（图中点A处），刚好望到另一座远山，瞬间想起《送别》中“夕阳山外山”的歌词，在这诗意的时刻，她正眺望到远山上一座凉亭（位于点B处），于是她想测算出凉亭到那座山顶（点C处）的距离，她在点A处利用测角仪器测得点B的俯角为5°，点C的仰角为40°，此后，她沿山坡下行100米至点D处，测得点A，B，C的仰角分别为80°，25°，55°，根据这些数据，明天同学计算得到了凉亭到山顶的距离BC＝（）A．米 B．米 C．米 D．米【分析】在△ABD和△ACD中，分别运用正弦定理求出AB和AC的长，再在△ABC中，利用余弦定理，求得BC的长，得解．【解答】解：由题意知，AD＝100，∠BAC＝45°，∠BAD＝75°，∠ADC＝45°，∠BDC＝30°，在△ABD中，∠ADB＝∠ADC+∠BDC＝75°，∠ABD＝180°﹣（∠BAD+∠ADB）＝30°，由正弦定理知，＝，所以AB＝＝＝＝50（+1），在△ACD中，∠ACD＝180°﹣（∠BAC+∠BAD+∠ADC）＝15°，由正弦定理知，＝，所以AC＝＝＝＝100（+1），在△ABC中，由余弦定理知，BC2＝AB2+AC2﹣2AB•ACcos∠BAC＝5000（+1）2，所以BC＝50（+1）＝50（）米．故选：C．【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理，两角和差公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分.9．（4分）i为虚数单位，若复数，则|z|＝1．【分析】根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．【解答】解：，则|z|＝＝＝．故答案为：1．【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．10．（4分）已知正四面体ABCD的棱长为1，则直线AB与平面BCD所成角的余弦值为．【分析】采用数形结合，点A在等边△BCD的投影为△BCD的中心，可得到AB与平面BCD所成角为∠ABO，然后计算BO，AB，最后简单计算可得结果．【解答】解：如图所示：在正四面体ABCD中，点A在等边△BCD的投影为△BCD的中心O，则AB与平面BCD所成角为∠ABO，因为正四面体ABCD的棱长为1，所以，，所以．故答案为：．【点评】本题主要考查直线与平面所成角的求法，考查运算求解能力，属于基础题．11．（4分）已知向量＝（4，3），向量在向量上的投影向量＝（2，4），则|﹣|的最小值为．【分析】根据已知条件，先设出，再结合向量模公式，以及二次函数的性质，即可求解．【解答】解：向量在向量上的投影向量＝（2，4），则，可设＝（2λ，4λ），＝（4，3），则，故＝（4﹣2λ）2+（3﹣4λ）2＝20（λ﹣1）2+5，当λ＝1时，的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查向量模公式，属于基础题．12．（4分）在5袋牛奶中，有2袋已经过了保质期，从中任取2袋，则取到的全是未过保质期的牛奶的概率为．【分析】利用古典概型的概率公式求解．【解答】解：记2袋已经过了保质期的牛奶为A，B，3袋未过保质期的牛奶为a，b，c，从5袋牛奶中任取2袋，所有情况为：AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10种情况，其中全是未过保质期的牛奶的情况为：ab，ac，bc，共3种情况，所以所求概率为．故答案为：．【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．13．（4分）设三角形ABC是等边三角形，它所在平面内一点M满足，则向量与夹角的余弦值为．【分析】由已知结合向量数量积的性质及夹角公式即可求解．【解答】解：设△ABC边长为1，，则||2＝（）2＝+＝+＝，所以，因为＝，设向量与夹角为θ，则cosθ＝＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了向量数量积性质的应用，属于中档题．14．（4分）为迎接我校建校120周年校庆，数学学科在八角形校徽中生发灵感，设计了一枚“立体八角形”水晶雕塑，寓意南开在新时代中国“保持真纯初心，骏骏汲汲前行”，以下为该雕塑的设计图及俯视图，它由两个中心重合的正四棱柱组合而成，其中一个正四棱柱可看作由另一个正四棱柱旋转45°而成，已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，设该雕塑的表面积为S1，该雕塑内可容纳最大球的表面积为S2，该雕塑外接球表面积为S3，则S1＝，S2：S3＝1：6．【分析】由题意，该雕塑的表面积是16个矩形及两个正方形与8个等腰直角三角形的面积的和，可求表面积；该雕塑内可容纳最大球的半径为，利用球的表面积公式求出表面积S2，利用勾股定理求出该雕塑外接球的半径，利用球的表面积公式求出表面积S3．【解答】解：由题意，该雕塑的表面积是16个矩形及两个正方形与8个等腰直角三角形的面积的和，所以S1＝；该雕塑内可容纳最大球的半径为，表面积为S2＝，该雕塑外接球的半径为，表面积为S3＝，所以S2：S3＝1：6．故答案为：．【点评】本题考查表面积的计算，考查球的表面积公式，考查学生的计算能力，正确求出球的半径是关键．三、解答题：本大题共3小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（14分）某校从高一年级学生中随机抽取40名，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，所有成绩均为不低于40分的整数）分为6组：[40，50），[50，60），…，[90，100]，绘制出如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求出图中实数a的值；（Ⅱ）若该校高一年级共有学生640名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（Ⅲ）若从成绩来自[40，50）和[90，100]两组的学生中随机选取两名学生：（i）写出该试验的样本空间：（ii）求这两名学生数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和等于1求解；（Ⅱ）先求出样本中成绩不低于60分的频率，利用样本估算总体即可求出该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（Ⅲ）（i）先求出成绩在[40，50）和[90，100]分数段内的人数，分别标号，再写出试验的样本空间即可；（ii）利用古典概型的概率公式求解．【解答】解：（Ⅰ）因为图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10×（0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01）＝1，解得a＝0.03；（Ⅱ）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1﹣10×（0.005+0.01）＝0.85，由于该校高一年级共有学生640名，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85＝544；（Ⅲ）成绩在[40，50）分数段内的人数为40×0.05＝2，成绩在[90，100]分数段内的人数为40×0.1＝4，则记在[40，50）分数段的两名同学为A1，A2，在[90，100]分数段内的同学为B1，B2，B3，B4，（i）从这6名学生中随机抽取2人样本空间Ω＝{（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），（B3，B4）}；（ii）如果2名学生的数学成绩都在[40，50）分数段内或都在[90，100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10；如果一个成绩在[40，50）分数段内，另一个成绩在[90，100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10，则所取2名学生的数学成绩之差的绝对值不大10的取法有（A1，A2），（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），（B3，B4），共7种取法，所以所求概率为P＝．【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，属于中档题．16．（15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）已知a＝3，（i）若△ABC的面积为，求△ABC的周长：（ii）求△ABC周长的取值范围．【分析】（Ⅰ）由正弦定理及两角差的正弦公式，可得sin（A﹣B）＝sin（C﹣A），在三角形中可得A，B，C的关系，进而求出A角的大小；（Ⅱ）（i）由三角形的面积，可得bc的值，再由余弦定理可得b+c的值，进而求出三角形的周长；（ii）由余弦定理及均值不等式可得b+c的范围，再由三角形中两边之和大于第三边，可得b+c的范围，进而求出三角形的周长的范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意及正弦定理可得：＝，整理可得：sinAcosB﹣cosAsinB＝sinCcosA﹣cosCsinA，即sin（A﹣B）＝sin（C﹣A），在三角形中，可得A﹣B＝C﹣A，即2A＝B+C＝π﹣A，解得A＝；（Ⅱ）（i）因为S△ABC＝bcsinA＝bc•＝，可得bc＝2，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣3bc，而a＝3，即（b+c）2＝15，解得b+c＝，所以三角形的周长为a+b+c＝3+；（ii）a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣3bc，而a＝3，所以（b+c）2＝a2+3bc≤9+3•（）2，当且仅当b＝c时取等号，解得b+c≤6，而b+c＞a＝3，所以b+c∈（3，6]．所以三角形的周长为a+b+c∈（6，9]．【点评】本题考查正弦定理，余弦定理及均值不等式的性质的应用，属于中档题．17．（15分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝