平面向量的数量积(分层训练)-2022年新高考数学一轮(提升训练)(解析版)

第25讲平面向量的数量积

【提升训练】

一、单选题

i.已知非零平面向量z荒满足口+囚=7坂，则忖的最小值是()

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】

把给定等式两边平方，利用平面向量数量积性质转化为问的不等式即可得解.

【详解】

依题意，£/〉0,归+4=£石=(£+讨=(£•杨2=@后2，

0|片+必2=0.杨2一2£.」=(|£|一|帅2+2|£|.|日|+1=(£.」一1)2,

当时，上述最后等式不成立，从而有。力〉1，

ab-\=7(|a|-|^|)2+2|a|-|^|+l>52|£卜出|+1，当旦仅当|£|=|引时取"=”，

又当且仅当Z与B同方向时取“="，

则有"2|M|5|+1W75-1W£HWT=>2|£|“5|+14(|£HB|T)2,解得

ki-|fe|>4,当且仅当£=1时取"=",

所以问・恸的最小值是4.

故选：A

【点睛】

结论点睛：平面向量。花，a-h<\a\-\b\,当且仅当£与石方向相同或至少一个为零向量

时取等号；a-b>-\a\-\b\,当且仅当£与五方向相反或至少一个为零向量时取等号.

2.已知点Pe{(x,y)|(x+2)2+(y—g)2=2},点

《,=(一1严•也,〃€“>,则丽.丽的最大值为()

nJ

A.9B.8C.7D.6

【答案】A

【分析】

先分别设出户(Jocose—2,夜sind+近)，C(n,(-1)H+I.—)，再运用向量的数量积再

n

1

分析最大值即可.

【详解】

设P(y/2cos6-2,0sin6+近),()VeW2%,Q(〃,(一1)田.—),

n

所以诉•00=n(V2cos。-2)+(夜sin。+V7)•(-l)"+i•—，

n

因为〃£N",-1<cos1,-1<sin^<l,

所以五cos。—2<0，夜sine+V7>0，

所以要使丽•丽最大，n=\.

所以丽•丽=0cos6—2+(0sine+b)•V7=4sin(e+°)+5,

所以(0户•诙)皿=9.

故选：A.

【点睛】

关键点睛：解决本题的关键•是将点坐标化，二是分析到〃=1时有最大值，然后再用辅助

角公式.

3.如图，在正方形A8CO中，边长为走，E是8C边上的一点，ZEAB=30°,以A为

2

圆心，AE为半径画弧交CD于点尸，P是弧£尸上(包括边界点)任一点，则丽•丽的

取值范围是()

【答案】B

【分析】

利用向量投影的概念把求方•丽的取值范围转化为求|而||而］的取值范围.

【详解】

2

过P作P/7J.AB于点H,因为N£A6=30°,48=也，所以AE=1，BE=DF=',

22

因为P是弧所h（包括边界点）任一点，所以|丽|=1,

ULtUUUUUU

又因为8P=AP—A6，

所以福•丽=丽•（而-通）=/2-丽.荏=|"『一而.诟

=I-AP-AB=I-|AP||AB|COSZPAB=I-|AB|（|AP|COSZPAB）=I-|AB||AH|,

所以当点尸与点尸重合时，此时AH=OF=；,I通||融I最小，且最小为=¥,

所以A户-Bb，且最大为1-正；

4

当点P与点E重合时，此时点H与点5重合，|通|而|最大，且最大为走=1,

31

所以AP-87最小为1一一=--

44

1

所以福•丽的取值范围是-

故选：B.

4.若两个非零向量万，B满足I万+BI=GI万-BI=GI万I，则向量与m的夹角为

（）

八万~2n—5万

A.-KB.—C.—D.—

6336

【答案】B

【分析】

I万+51=百万-日|=百团平方，得到|©,|5|关系,以及〃石与|方|关系,求出

m—杨力与Si的关系，根据向量夹角公式，即可求解.

【详解】

解：♦.•|万+回=百|万一BI=G|2|,

.•.（a+B）2=3侬-5）2=3筋，

-21七户-

：.ab=a2一一b2=—,：.\a\=\b\,

22

3

：.\a-b\=\b\，(a-b)-a^a2-a-b=b2--b2=^h2,

(a-b)-a_^2

99cos<a-b,a>=

\a-b\\a\b22

且V。一瓦切＞£[0,乃],

••a—b与G的夹角为".

故选：B.

5.已知△A6C是边长为2的等边三角形，其中M为3c边的中点，NA3C的平分线交线

段于点N,交AC于点。，且加•丽=一（。+8）（其中。〉0力＞0）,则工+2的

ah

最小值为（）

D.6+4加

【答案】A

【分析】

根据题意建立平面直角坐标系，求得祝♦丽=-1，进而得到a+b=L然后由T的代换,

利用基本不等式求解.

【详解】

由题意，建立如图所示平面直角坐标系：

4

则A（O,@,B（-1,O）,M（O,O）,N

所以询'=((),-百)，前

则丽"丽=-1.

因为AM-&V=-(a+Z?),

所以a+b=l,

w12fl2、/】、b2a\b2a__rr

ab\abJabNab

a+b=1

当且仅当2a，即。=1”=2-夜时，等号成立.

ab

故选;A.

6.己知|很|=4,当(43-5)时，向量M与5的夹角为()

7tn几「2兀-3兀

A.-B.-C.—D.—

6434

【答案】B

【分析】

根据题意，设向量1与B的夹角为。，由数量积的计算公式可得

5・(4M—6)=4无5—后=160cos6—16=0,变形可得cos。的值，结合夕的范围分析

可得答案.

【详解】

根据题意，设向量万与石的夹角为。，

若B_L(4a-b),则b-(Ad-b)-4a-b-b2=16^2cos-16=0.

变形可得：cos6>=->

2

TT

又由嗫旧兀、则。=上，

4

故选：B.

7.在矩形A8C。中，A5=4，AO=6，点P在C。上，丽=34，点。在BP上,

亚丽=14,则而•而=()

A.6B.8C.10D.12

5

【答案】D

【分析】

画出图形，建立坐标系，求出P的坐标，然后求解。的坐标，然后求解向量的数量积即可.

【详解】

建立如下图的坐标系，在矩形ABCO中，48=4,AD=B又点尸在CD上，丽=3定，

由已知得尸(3,JJ),3(4,0),A(0,0),

点。在8P上，过点。作于点E,又而.丽=14,所以女.丽=14，即

画•固=14,

所以|阔=g,EB=；,ZQBA=j,所以次=等，所以。

所以而•而=3X：+GX#=12.

JT

8.已知点。的坐标为(1,1),将向量而绕原点O逆时针方向旋转不到声的位置，则点尸'

坐标为()

B4,3C.」

22222

【答案】A

【分析】

设出声的坐标，然后根据0P'的模长以及而.司的结果计算出P'的坐标.

【详解】

设罚=(x,y),则|赤|=|而］=&,所以/+/=2,

又0R0P'=x+y=2cos(=l,

6

'1+百1-V3

由上面关系求得赤=

2'2

而向量声由而绕原点。逆时针方向旋转60。得到，且P在第一象限，所以尸'的纵坐标

为正数，

故丽=(与其匕卢\

122}

故选：A.

【点睛】

关键点点睛：解答本题的关键在于通过向量的模长公式以及数量积运算完成坐标的求解：本

例除了可以通过向量求解，还可以通过任意角的概念以及两角和的正余弦公式完成计算：记

5cosa，、5sin^),则P'、历cos—+—,V2sinJ，由此亦可求解出结

果.

9.己知而J.而,若P点是AABC所在平面内一点，且

—AB9AC

40=扇+菽［'则PmPC的最大值等于(,

A.16B.4C.82D.76

【答案】D

【分析】

以A为坐标原点建立平面直角坐标系，可得C(0,r)(r>0),利用平面向量坐标

运算可求得尸(1,9),由数量积的坐标运算可表示出丽.无，利用基本不等式可求得结果.

【详解】

以A为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系，则C(0,/)(f>0),

7

•.•丽=（；,o）,AC=（O,r）,AP=z^,0j+y（0,r）=（l,9）,即尸（1,9）,

.•.而-1,—9）,PC=（-l,r-9）,而屁=1_；_%+81=82_（%+：）

•门＞0，:.%+；22M；=6（当且仅当%=；,即，=g时取等号），

＜82-6=76.

故选：D.

【点睛】

方法点睛：求解平面向量数量积问题的常用方法有两种：

（1）利用平面向量线性运算将所求数量积进行转化，转化为夹角和模长已知的向量数量积

的求解问题；

（2）建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算来进行求解.

10.等边AAHC的面积为96，且AABC的内心为M,若平面内的点N满足=

则丽•入店的最小值为（）

A.-5-25/3B.一5-4百C.-6-273D.—6-4百

【答案】A

【分析】

根据三角形面积求出三角形的边长，以为8轴，的中垂线为＞轴建立平面直角坐标

系，由条件得出点N在以M为圆心，1为半径的圆上，其方程为％2+y2-26），+2=（）,

且J5-14y41+G，然后用向量数量积的坐标公式得出福.丽的表达式，在求其最小

值.

【详解】

设等边AAHC的边长为“，则面积S=Y3/=9G，解得。=6

4

以AB为1轴，AB的中垂线为V轴建立如图所示的平面直角坐标系.

由为AABC的内心，则M在。。匕且OM=』OC

3

则A（—3,0）,B（3,0）,C（0,3^）,M（0，V3）

由=则点N在以M为圆心，1为半径的圆上.

设N（x,y）,则无2+｝一6『=1,即一+/一2百旷+2=0,且百一14y41+6

8

隔=(-3-x,-y),丽=(3-x,-y)

M4-]VB=(x+3)(%-3)+y2=x2+/-9=2V3y-ll>2V3x(^-l)-ll=-5-2^

故选:A

【点睛】

本题考查动点的轨迹方程和利用坐标求向量的数量积的最值，解答本题的关键是建立坐标系

得出点N在以M为圆心，1为半径的圆匕其方程为x2+y2-2jjy+2=0,且

V3-l<y<l+>/3,进而得出元晨防=(x+3)(x-3)+y2,属于中档题.

11.在边长为1的菱形ABC。中，=若点P,Q满足丽=。豆不，DQ=J3DC,

其中a,£>()且a+〃=l,则丽•福的最大值为()

1137

A.—B.3C.—D.一

284

【答案】C

【分析】

由旃=a耳心可得而=a亚,山丽=万觉可得而=尸丽，又=+4=1,所以

DQ^(l-a)-AB

—.—.-------1—.―.13

化简AP-4Q,并根据ARAO=5得到4P.AQ=5。(l—a)+],利用基本不等式得出

结论.

【详解】

由题意可得A月•A/5=lxlxcos工=—

32

由丽二a反？可得而=a而，

由而=夕觉可得。0=/M*，

又。+尸=1,所以丽=(1—a)•福

9

则湎=（而+而）•（而+阂

=(而+a则•[而+(1-a)-Afi]

=AB-AD+£z(l-a)ADAB+(l-«)|AB|2+£z|AD|2

11

—+—a(l-a)+l-a+a

22

-a(l-a)+-<1'a+l-a313

d-----=------

22-2、2­28

当且仅当a=l—a，即。=工时取等号，此时尸=1

22

故选：C.

【点睛】

如何选择“合适”的基底：题目中是否有两个向量模长已知且数量积可求，常见的可以边所成

向量作基底的图形有：等边三角形，己知两边的直角三角形，矩形，特殊角的菱形等.

12.已知|利=1,出|=3,则|2,+北+|2。-5|的取值范围是（）

A.[4,6]B.[4,2V13]C.[6,2a]D.[6,56]

【答案】C

【分析】

☆r=cos<ZB>,则化简可得（|29+B|+12万-51=26+2,169—144/，根据

14一1,1]即可求出.

【详解】

令£=cos<a,b>,则「£卜1,1],

12a+61=ylAa+4a•BB=14+4x1x31+9=J13+⑵

—•/—,2-*2//

|2a-b|=v4«-4a・b+b=J4-4xlx3，+9=J13-12Z，

则(|2M+B|+|21—b|『=|2a+b\2+212a+b\-\2a-b\+\2a-b\2

=13+12t+2y/l3+12t-y/13-l2t+13-l2t

=26+2A/169-144产，

re[-l,l],r.254169—144产<169，则5WJ169-144产W13,

.-.36<26+2,169—144产<52，

10

则可得12M+51+1231的取值范围是[6,2V13].

故选：C.

【点睛】

关键点睛：本题考查平面向量模的运算和数量积的运算律，解题的关键是化简求出

（|2]+5|+|2G-5|[再求解.

13.在△ABC中，ZA=60°,AB=3,AC=2,若丽=2无，AE=AAC-AB（AR）,

且布•荏=Y，则义的值为（）

3333

A.-B.—C.-D.—

78511

【答案】D

【分析】

7F

设ZBAD=a,ZCAD=4则。+尸=彳，在4ABC中，由正余弦定理求3C、sinB、sinC,

结合已知可得BZ）、DC,可求A。，分别在△4?£＞、△CAD中求cosa、cos/,而

ADAE=AADAC-ADAB^结合向量数量积的定义有段2-5=-4，即可求2值.

【详解】

7F

设ZBAD=a,ZCAD-/3,则a+尸二§,

由题意知：BC2=AB2+AC2-2AB-AC-cosABAC=7-即BC=&，

ACABBC_2而r-

由iE弦定理知：inBsinC.乃3，即sin3=----，sinC=

ssin—7

VBD=2DC，则有80=幼，DC=昱,

33

11

37/T7

AD2=AB2+BD2-2ABBDcosB^—,即相)=业＞

93

ADBD.2VTTT..5月

在A433中，二.，贝iJsina---------，故cosa一■-----,

sinBsina3737

ADDC3Ji1111737

在AC4D中，-.々，则tsin/?=-------，故cos0=

sinCsinp7474

VADAE=Ab(AAC-AB)=AAl5AC-ADAB=-4,而

'....1I...・・

AD-AC=|AD||AC|cos/?=—,ADAB=|AD\\AB\cosa=5，

113

A—/l-5=-4,即/l=±.

311

故选：D.

【点睛】

关键点点睛：在三角形应用正余弦定理求边及其对应的余弦值，根据向量数量积的运算律及

定义，结合已知列方程求参数.

14.已知向量胸满足同=2,|同=3,且万与5的夹角是120。，则,+同的值是（）

A.7B.币C.19D.V19

【答案】B

【分析】

根据模长性质先求|万+5］，转化为向量数量积运算，即可求解.

【详解】

r2rrrrr工自工|臼,rp

ar+b=（ar+〃）2=a2+2a-b+b2=a+2«/?cosl20°+=22-6+32=7,

/.|a+S|=A/7.

故选：B

【点睛】

思路点睛：本题考查向量的模长及向量的数量积运算，求解向量的模长常用区「=52,即

同=病，考查学生的计算能力，属于基础题.

15.已知非零向量25满足同=2降,+同=网司，则向量府的夹角为（）

12

【答案】B

【分析】

由卜+闻2=3,]，结合平面向量数量积的运算律可求得@石=-，2,由向量夹角公式计

算可求得结果.

【详解】

由归+同=得：归+,=|j|'+2a-h+|/?|=3回,

又回=2忖，.•.4忸1+205+同=3时，解得：八方=一|小

"*——|b|2]

，cos<a,b>==---2=,又va.b>e[0,^1,..<a,h>=——.

同.12\b[23

故选：B.

【点睛】

关键点点睛：本题考查平面向量夹角的求解问题，解题关键是能够根据平面向量数量积的运

算律，利用模长的平方运算求得两向量数量积与模长之间的关系.

16.已知两个单位向量£的夹角为60。，向量m=宿+2鼻«<0）,则（）

A.回的最大值为一3B.回的最小值为-2

t2t

C.四的最小值为一更D.四的最大值为-2

t2t

【答案】A

【分析】

由已知表示出回，可得加3

+-.即可根据二次函数性质求解.

4

【详解】

由题可得同=同=

Jr+4(•02+4_/+2t+4

因为t<0,

r+2f+4

当2=-1，口叮=7时，回取得最大值，且最大值为-正，无最小值.

t2t2

13

故选：A.

【点睛】

易错点睛：本题考查向量数量积的运算，易错之错在「<0,化筒时注意将负号提出.

17.如图，已知B,。是直角C两边上的动点，AD±BD，\AD\=y/3,NBAD=%

6

=田，函=,（诙+m）,则由.国的最大值为（）

22

4+拒口2+旧

-■-4~

【答案】C

【分析】

以点。为坐标原点，以D8方向为％轴正方向，以D4方向为>轴正方向，建立平面直角坐

（1百、

标系，再由题中条件得到M、N分别为ZM、B4的中点，求得M,N0,

点。是以BD为直径的圆上的点，设。（X,y），用坐标表示出两.cN，进而可求出其最大

值.

【详解】

由题意，以点。为坐标原点，以。8方向为X轴正方向，以D4方向为y轴正方向，建立如

图所示的直角坐标系，

14

因为|有j|=百，/BAD=三,所以BD=1，

6

则0(0,0),8(0,0),A(0,6),

乂西=；库+函，CW=1(CD+C4),

所以“、N分别为D4、84的中点，

<in、(反、

因此M,N0,—,

\227\27

又8，8D,所以点。可看作以8。为直径的圆上的点,

设C（x,y）,则（x-J+/=_!,即》2+丁=%，

\2/4

uuirlimn13l1r-3

所以CM.CN=——x+x2+--V3y+y2=_x—Gy+二，

2424

令机=gx-Gy,即x—2百y-2m=0,

所以点C（羽y）为直线x-2gy-2m=0与圆（X—；）+y2=；的一个交点，

因此圆心到直线*-26〉-2m=0的距离小于等于半径3,即心一导机11,

I）'~V1+12-2

鳏港,1一月</+屈

解得------<m<------，

44

所以两•国的最大值为邛1+扛士普.

故选：C.

15

【点睛】

方法点睛：

求解平面向量的相关问题时，对应有特殊角的图形，一般采用建立坐标系的方法进行求解,

将向量用坐标表示，得出所求的数量积（或其它量）的坐标表示，进而即可结合题中条件求

解.

18.已知向量1、B是单位向量夹角为90°,向量3=扃+而，sin<5]>=（）

A.也B.@C.巫D.1

3322

【答案】A

【分析】

设2=（1⑼石=（0,1）,利用坐标运算求出cos<>,再求sin<a,c>.

【详解】

因为向量万、5是单位向量夹角为90°,

不妨设£=（1,0）万=（0,1）,则守=舟+而=（振），

，__a»cG+0G

所以cos<a,c>=1：-=----=—,

同X同1x33

V6

所以sin<3>=

3

故选：A

【点睛】

向量类问题的常用处理方法——向量坐标化，利川坐标运算比较简单.

19.己知在△/WC中，AB=4,BC=6,。是AA5C的外心，则丽.恁的值为（）

A.8B.10

C.12D.16

【答案】B

【分析】

向量衣=耳心一丽，以及|耳0卜0S/。8。=|耳4，|丽卜05/。84=|丽卜利用已知边长

进行求解.

【详解】

BdAC=BdBC-BOBA

|^O|-|BC|COSZOBC-幽H网.COSNOBA

16

2\iI।।/2、，

故选：B

【点睛】

利用向量的线性运算和向量投影的概念即可得解，解题时要结合题目中的信息进行灵活运

用.

20.已知单位向量B满足ad=0，若向量c=+则sin<a，c>=（）

AMRV6「百n759

4488

【答案】B

【分析】

由题设易得7（6Z+gB）=|£|gcos<£I>,由已知向量"的线性表达式，两边平方求

|c|>进而求得cos<Q,C>,即可求sinea,c〉.

【详解】

由题总，彳？〃.c=a•（逐a+gB）=6〃乂。4=0，。为单位向量，

a'c=\a\\c\cos<a,c>=后,又|2|2=（-£+6折2=8,即|小=20,

cos<a,c>=-^==>又<a,c>e[0,万],故sin<£,">=

2V244

故选：B.

【点睛】

关键点点睛：利用向量数量积的运算律求7"及|）|，再结合数量积定义求向量夹角<£,2>

的余弦值.

21.己知产是圆C：f+y2_4x+6y+U=0外一点，过户作圆C的两条切线，切点分别

为A,8.则丽.丽的最小值为（）

A.472-6B.4-372C.2D.72

【答案】A

【分析】

把圆的一般方程化为标准方程，根据圆的切线性质，结合锐角三角函数的定义、二倍角公式、

平面向量数量积的定义、基本不等式进行求解即可.

【详解】

圆。的标准方程为（》一2）2+（丁+3）2=2,则圆C的半径为④，

17

设|PC|=d，^\\PA\=\PB\=yld2-2-

6㈤4

•/sinZAPC=—cosZAPB=1-2—=1一

dd庐

\/

=屋+:6..2我—6=40—6,

丽.丽=（/W）

,8厂

当且仅当〃2=/，即12=2夜＞2时，等号成立，

故西/分的最小值为40-6.

故选：A.

【点睛】

关键点睛：利用圆的切线性质结合锐角三角函数定义、基本不等式进行求解是解题的关键.

22.已知AABC的外心为0,240=4月+/，卜0卜|通卜2,则近.而的值是（）

A.6B.1C.2GD.6

【答案】D

【分析】

分析出AB_LAC，由|而|=|福卜2可求得NO84=6（T，再利用平面向量数量积的运算

性质可求得结果.

【详解】

•.•2亚=而+而，则而一荏=/一泡，即品=泥，则。为5c的中点，

又因为。为AABC的外心,则网=|词=|唱,

所以，AABC为直角三角形，且AB_LAC，

如下图所示：

|而|=|旗|=2=|丽］,所以，AQAB为等边三角形，则NQ84=60。，

18

由勾股定理可得I恁卜=26,

Ad.AC=l(AB+AC).AC=iAC2=1x(2V3)2=6,

故选：D.

【点睛】

方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：

(1)利用定义：

(2)利用向量的坐标运算；

(3)利用数量积的几何意义.

具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用.

23.设点4-2,-2),5(-2,6),C(4,-2),P(2sina,2cosc0,其中awR,则I而+丽+心|

的取值范围为()

A.[4,8]B.[4,61C.[-2,4]D.[6,8]

【答案】A

【分析】

由题可知，点尸在网/+丁=4」：，设P(x,y),根据向量的坐标运算可求得

|AP+BP+CP|2=40-12.y,由>的范围可求得|而+而+屈|的取值范围得选项.

【详解】

由题可知，点尸在圆f+y2=4上，设P(x,y),

则A户=(x+2,y+2),BP=(x+2,y-6),CP=(x-4,y+2),所以A「+B户+C户=(3x,3y-2),

所以|Q+耳A+C户F=9x2+9y2-12y+4=40-12y,因为一2WyW2,所以

16<40-12y<64,

所以40ZA+8户+C户区8,所以|丽+丽+丽|的取值范围为[4,8],

故选：A.

【点睛】

关键点睛：本题考查向量的模的范围的问题，关键在于得出点P的轨迹方程，运用点的坐

标表示出所求的向量的模，由点的坐标的范围可得以解决.

24.如图，已知圆A,圆。的半径均为J5，AABE.△BEC,AECD均是边长为4的

等边三角形.设点P为圆。上的一动点，衣.丽的最大值为()

19

A.18B.24C.36D.48

【答案】C

【分析】

以A。为x轴，E为坐标原点建立平面直角坐标系，由圆。方程设

P(4+>/3cosa,V3sina),写出向量的坐标，由数量积的坐标表不求出数量积，利用三角

函数知识得最大值.

【详解】

ABC0E相对不动，只有P点绕。点作圆周运动.

如图，以AO为x轴，E为坐标原点建立平面直角坐标系，由题意A(T,O),8(-2,20)，

C(2,2®

圆。方程为(x-4)2+)?=3,设P(4+y/3cosa,sina)>

则*=(6,26),BP=(6+V3cosa,V3sina-2^),

AC-BP=6(6+百cos«)+2百(百sina-2百)

=6\/3cosa+6sina+24=12—sinad■--cosa+24=12sin(a+—)+24,

乃

易知当sin(a+—)=1时，/.而取得最大值36.

故选：C.

20

【点睛】

关键点点睛：本题考查平面向量的数量积，解题关键是建立平面直角坐标系，用坐标运算计

算向量的数量积，结合三角函数的性质求得最大值.

25.正AABC的边长为3,M是正AABC所在平面内一点，则必-（2砺+新C）最小值

是（）

932181

A.一B.C.D.---

44416

【答案】C

【分析】

首先利用向量的运算法则，转化向量，再利用不等式关系求数量积的最小值.

【详解】

-MB+-MC,i^MN=-MB+-MC,则丽=已沅，

33）333

连接AN,取4V的中点0,

而初一（标+砺）2—（次—丽）24面-丽；丽2,

444

M42=9+l-2x3xlx|=10-3=7,:.MA[2MB+MC）＞-^-.

故选：C.

【点睛】

21

关键点点睛：本题考查向量的转化，以及向量数量积，本题的关键是由丽=2砺+，砒

33

可知丽=；而，重:点考杳转化与化归的思想，计算能力.

26.平面直角坐标系xOy中，A（2,0）,该平面上的动线段PQ的端点P和。满足|而5，

0P0A=6>而=2的，则动线段产。所形成图形的面积为（）

A.36B.60C.72D.108

【答案】B

【分析】

由向量数量积和模长的坐标运算可求得动点P在直线％=3上，且-4<y<4,结合

OQ=2PO可确定动线段PQ所形成图形，利用数形结合的方法可求得结果.

【详解】

设P（x,y）,Q（m,"），由而•丽=6得：2x=6,解得：x=3,

|UHI|

Q|OP|=x2+y2<25,代入x=3得：-4<y<4,

,动点尸在直线x=3上，且-4«y«4,

由丽=2而可得：（m,〃）=2（-x,-y）,:.〃[=«n=-2y,

则动线段PQ所形成图形是△OPP和A。。。'，如图所示，

22

所求面积S=S△oppr，+Sccc，=—2x8x3+—2xl6x6=60.

故选：B.

【点睛】

关键点点睛：本题考查平面向量与线性规划的综合应用问题，解题关键是能够利用平面向量

的坐标运算得到变量所满足的关系式，从而确定满足题意的区域.

27.已知圆”：（x—。）2+（卜一6）2=3（。/€/?）与圆0：/+）,2=1相交于A,8两点，

且|A6|=若，则下列错误的结论是（）

A.分是定值B.四边形。4MB的面积是定值

C.8的最小值为一夜D.4•。的最大值为2

【答案】c

【分析】

根据ZkMAB是正三角形，计算而.而后判断A,计算出四边形Q4MB的面积判断B,

得出。力关系后由基本不等式求得a+。的最小值和a。的最大值判断CD.

【详解】

因为圆”的半径为G，而|A创=6,所以是正三角形，

MA-MB=A/3xV3xcos—=—,为定值，A正确；

32

\AB\=>j3,圆。半径为r=l,所以。到弦AB的距离为4=/一又加到

2

AB的距离为Gx#q所以|OM|=g+g=2,而OM_LAB,OM是4B的垂直

平分线，SOAMH=^\OM\\AB\=^x2xy/3=y/3,B正确;

由上得/=4,

=2,-272<«+/?<2V2-当。=。=一2时，a+b=—20，最小

值是—2/，C错；

2j2

幺士竺=2,当且仅当a=8=®时，ab=2,所以，力最大值是2,D正确.

2

故选：C.

【点睛】

23

关键点点睛：本题考查两圆的位置关系，由相交弦长求出参数关系，再利用基本不等式求

解.在本题中