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文档简介
一、方法综述确定函数f(x)零点个数(方程f(x)=0的实根个数)的方法:(1)判断二次函数f(x)在R上的零点个数,一般由对应的二次方程f(x)=0的判别式Δ>0,Δ=0,Δ<0来完成;对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数,则要结合二次函数的图象进行判断.(2)对于一般函数零点个数的判断,不仅要用到零点存在性定理,还必须结合函数的图象和性质才能确定,如三次函数的零点个数问题.(3)若函数f(x)在[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且是单调函数,又f(a)·f(b)<0,则y=f(x)在区间(a,b)内有唯一零点.二、解题策略类型一求方程解的个数例1.【2019安徽皖中名校联盟】已知函数,则方程=0实根的个数为()A.B.C.D.【答案】B【解析】由可得:或,【解题秘籍】方程的解的个数问题可转化为求函数图象的交点的个数.学@科网【举一反三】若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x,则方程f(x)=log3|x|的解的个数是()A.0B.2C.4 D.6【答案】C【解析】画出周期函数f(x)和y=log3|x|的图象,如图所示,方程f(x)=log3|x|的解的个数为4.热点题型二已知方程的根求参数的值或取值范围例2.【2019山东德州一模】若关于x的方程有三个不等的实数解,,,且,其中,为自然对数的底数,则的值为A.B.eC.D.【答案】A【解析】由关于x的方程,令,则有,令函数,,在递增,在递减,其图象如下:要使关于x的方程关于x的方程有3个不相等的实数解,,,且,结合图象可得关于t的方程一定有两个实根,,,且,,,,可得,故选A.【举一反三】【2019河北廊坊模拟】若函数在上是单调函数,且存在负的零点,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】当时,,所以函数在上只能是单调递增函数,又存在负的零点,而当时,f(0)=1+a,当时,f(0)=3a-2,0<3a-21+a,解得,故选B.三、强化训练1.【2019辽宁9月联考】已知方程有两个正根,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】因为方程有两个正根,所以,故选D.2.【2019河北衡水中学一模】已知函数(为自然对数的底数),若关于的方程有两个不相等的实根,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C【解析】画出函数的图象如图所示,若关于的方程有两个不相等的实根,则函数与直线有两个不同交点,由图可知,所以,故选C.学科!网3.【2019湖北山东一联】已知函数,若且满足,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】A【解析】由,得.因为,所以,得.又.令,.令.当时,在上递减,,故选A.4.【2019河北武邑中学三模】已知是定义在上的偶函数,对于,都有,当时,,若在[-1,5]上有五个根,则此五个根的和是()A.7B.8C.10D.12【答案】C【解析】∵f(x)是定义在R上的偶函数,当0≤x≤1时,f(x)=﹣x2+1,设﹣1≤x≤0时,则0≤﹣x≤1,∴f(x)=f(﹣x)=﹣(﹣x)2+1=﹣x2+1,又f(x+2)=﹣f(x),∴f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x),∴f(x)是周期为4的函数,∵f(x)是偶函数,对任意x∈R,都有f(2+x)=﹣f(x),∴f(2+x)+f(﹣x)=0,以x﹣1代x,可得f(1+x)+f(1﹣x)=0,∴f(x)关于(1,0)对称,f(x)在[﹣1,5]上的图象如图:5.【2019皖中名校联盟10月联考】设函数若互不相等的实数满足则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】不妨设,的图象如图所示,令,则,故或且,所以(舎)或即且,故,故选B.6.【2019河北衡水中学二调】已知函数,若方程在上有3个实根,则的取值范围为()A.B.C.D.【答案】B设则由,得,此时函数单调递增;由,得,此时函数单调递减,所以当时,函数取得极小值;当时,;当时,;当时,,即,则.设则由得(舍去)或,此时函数单调递增;由得,此时单调递减,所以当时,函数取得极大值;当时,当时,作出函数和的图象,可知要使方程在上有三个实根,则,故选B.7.【2019湖北宜昌元月调考】已知函数,若关于的方程有4个不相等的实根,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】关于的方程有4个不相等的实根等价于的图象与的图象有4个不同的交点,作出于与的图象,如图所示:当经过A时,直线AB与的图象相切于A点,此时的图象与的图象有3个不同的交点;学#科网8.【2019甘肃静宁一中三模】已知定义在上的函数满足:,且,则方程在区间上的所有实根之和为()A.B.C.D.【答案】A【解析】∵f(x)=,且f(x+2)=f(x),∴f(x﹣2)﹣3=,又g(x)=,则g(x)=3,∴g(x﹣2)﹣3=,上述两个函数都是关于(﹣2,3)对称,由图象可得:y=f(x)和y=g(x)的图象在区间[﹣5,1]上有4个交点,它们都关于点(﹣2,3)对称,故之和为﹣2×4=﹣8,但由于(﹣1,4)取不到,故之和为﹣8+1=﹣7,即方程f(x)=g(x)在区间[﹣5,1]上的实根有3个,故方程f(x)=g(x)在区间[﹣8,3]上的所有实根之和为﹣7,故选A.9.【2019河北衡水中学一模】对于函数,若存在,使,则称点是曲线的“优美点”.已知,则曲线的“优美点”个数为()A.1B.2C.4D.6【答案】B【解析】曲线的“优美点”个数,就是的函数关于原点对称的函数图象,与的图象的交点个数,由可得,关于原点对称的函数,,联立和,解得或,则存在点和为“优美点”,曲线的“优美点”个数为2,故选B.学科@网10.【2019黑龙江哈尔滨六中期末考】定义域为的函数,若关于的方程,恰有5个不同的实数解,则等于()A.B.C.D.【答案】C【解析】一元二次方程最多两个解,当时,方程至多四个解,不满足题意,当是方程的一个解时,才有可能5个解,结合图象性质,可知,即,故选C.11.【2019四川攀枝花一模】在直角坐标系中,如果相异两点都在函数y=f(x)的图象上,那么称为函数的一对关于原点成中心对称的点(与为同一对).函数的图象上关于原点成中心对称的点有()A.对B.对C.对D.对【答案】C【解析】因为关于原点对称的函数解析式为,所以函数的图象上关于原点成中心对称的点的组数,就是与为图象交点个数,同一坐标系内,画出与图象,如图,由图象可知,两个图象的交点个数有5个,的图象上关于原点成中心对称的点有5组,故选C.12.【2019山东济南模拟】已知函数与的图象上存在关于轴对称的点,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】依题意,存在,使得,即;因而,即函数与的图象在上有交点;如图所示,可知若函数与的图象在上有交点,则当时,满足,即;易知当时,函数与的图象在上恒有交点,故的取值范围是,故选B.13.【2019山东泰安期中考】已知是R上的偶函数且,若关于的方程有三个不相等的实数根,则的取值范围是_____.【答案】【解析】作出函数的图象如下图所示.14.【2019湖北山东一联】已知函数若方程有四个不等的实数根,则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】令则①欲使原方程有四个不等根,由图象知方程①两根为,或,(舍)或,(舍)令则,.15.【2018高考天津卷】已知,函数若关于的方程恰有2个互异的实数解,则的取值范围是______________.【答案】【解析】分类讨论:当时,方程即,整理可得:,很明显不是方程的实数解,则,当时,方程即,整理可得:,很明显不是方程的实数解,则,令,其中,,原问题等价于函数与函数有两个不同
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