南京航空航天大学-飞行器结构力学-课后习题答案

第一章弹性力学基础

1-1上端悬挂、下端自由的等厚度薄板，其厚度为1,容重为P。试求在自

重作用下的位移分量表达式。

解：如图1-1建立坐标系.

利用外沿y方向均匀分布及x方向的力平衡条件>>可得，

%=pQ-x)

q=0

了盯=0

又因为.=.(巴一)=卜(1_X)

oxEE

兰=一町)=_借

dyEE

积分得

〃=占(以-8—)+/(y)

v=-^[l-x)y+fAx)

E

又由对称性%=0=>人(幻=。

dudv„.1

由%°n/(>')=--p^y2

dyox2E

综上所述有

u~~(lx-—x2)——Lpuy2

E22E-

v=_《(/_x)y

E

1-2写出图1-2所示平面问题的应力边界条件。

——/—1*

解：上表面为力边界，X=0,y=------q,Z=0,m=\o代入

1(J+mr=X

<Xvv

iIn+mo\y,=Y

中得到上表面的边界条件为

/一x

4=0；b>=一一厂0%,=0

下表面为自由边，边界条件为

CTX=0；by=0；=0

侧面为位移边界。

x

图1-1

1-3矩形板厚为1。试用应力函数°

x

图

Sl-3l-3a

A

解：应力函数夕=5町2满足应力函数表示的变形协调方程，可以作为解。在无体力

的情况下，矩形板的应力为

d2(p

CTAx

^y2

d2(p

(y0

dx1

dxdy

根据应力边界条件公式

l(Jx+mq、=X

IT、、.+mcr=Y

•vyv

各边的应力边界为

—A

X=-Ay=--h

ad边:/=0,zn=1

Y=0

一A

X=Ay=--h

cb边:/=0,m=-l

Y=0

X=0

ab边:I=-l,/n=0

Y=Ay

X=Ax=Al

cd边:/=1,772=0

Iy=

根据以上各边的应力边界条件，可画出矩形板的面力分布图如图l-3a。

1-4如图1-4设三角形悬臂梁只受重力作用，梁容重为「。试用完全三次多

项式的应力函数求解其应力分量。

解：设完全三次多项式应力函数为

(P=Ax'+Bx2y+Cxy2+Dy3(1)

显然应力函数满足变形协调方程

v>=o

则应力分量:

八2

er.=—-Xx=2Cx+6Dy(2)

xdy2

g2

%=常36325”(3)

d2(p

=—2fix—2Cy(4)

dxdy

利用边界条件来确定应力函数中的系数

根据上表面的边界条件，当y=0口寸

。)产0=0,(%)户0=。

代入(3)、(4)得

A=0；B=0

根据斜边的边界条件，当y=x-tana时，面力X=Y=O,即

/4+，〃%,=X=°(5)

/rvv+mo\=K=0

其中：

/=cos(N,x)=cos(90+a)=-sina

m=cos(N,y)=cosa

代入(5)得

-sina(2Cx+6Dxtana)+cosa(-2Cxtana)=0(6)

cosa(-pxtana)-sina(-2Cxtana)=0(7)

联立(6)、(7)得到

C「=-p-ct)anof

2

£)=——-ctan26Z

3

将各系数代入应力分量表达式中，得到应力各分量为

2

av-px-ctana-2py-ctana

%.=-py

%=-py・ctana

图1-5

1-5对图1-5所示简支梁，试验证应力函数

（P-Ar'/+坊,5+0c3y++&3+

成立，并求解各系数和应力分量。

解：由夕=Ar3y3+Cr）+出广+&3+出

可知:

券+*=0n34+5B=0(1)

应力分量：

3

crv=——=6Ax3y+20Bxy+6Dxy

'Sy

3

<<7V=--=6Axy+6Cxy+6Ex(*)

dx

%==—9Ax2y2-5fi/-3Cr2-3Dy2-F

dxdy

利用边界条件来确定待定系数

上表面

区,3

"=>-hA+3hC+6E^-^-(2)

y/°4/

2422

rA.v=0=--Af^x--Bh-3Cx--Dh-F

“4164

f92

-h2A+3C^0(3)

二4

53

-h4B+-h2D+F^0(4)

1164

下表面

3

b=0=>--h^A-3hC+6E=0(5)

v4

弯矩：

h

(「2

M\v1=O=0=2-A+/?B+2D=0(6)

2x=l

联立(1)〜(6)可解得

A=%5=_&；C=-A

3加5//?34lh

q/9%

噜;1

D;瑞挈E=4/z80/

代入（*）式可得各应力分量

%=舞（4，-3内-町；

1-6图1-6所示悬臂梁受自重作用，试用应力函数Q=Ax2y+Bx2y3+Q3+Dy5

求解。并将所得应力分量与材料力学的结果进行比较。

解：应力函数必须满足变形协调条件，满足

vV=o

44A

d(ptd(p,d(p

Wdx2dy2dy4

将应力函数代入上式，得

3+50=0(1)

应力分量

o2

%=芳=6BPy+6Cy+20Dy3

b=-^--Yy=2Ay+2By3-py

)dx2

o2

T=---------=-2Ax-6Bxy2

孙dxdy7

利用边界条件确定待定系数

当y=±g时，

（?）」=o

产±5

（%）+八=°

得到

2A+-BA2=0(2)

2

A+-Bh2(3)

42

联立方程（1）、（2）、（3）可解得

4=28=4D=-号

4h25h2

在待定系数中，C还没有求出。现根据x=0截面上的条件来求C值；因为

（crt）x=0*0,应用圣维南原理得

丸（。）句力=。

因为被积函数是y的奇次函数，积分必恒等于零，此积分等式一定成立。

此外，尚需满足

J](b)=oWy=。

R(60+20分3)的=0

203"也，5\=0

将各个系数代入应力分量表达式，得

20/

3h2

%=|小

材料力学的解答：

设载荷4=0〃，故在某一截面上的弯矩为

剪力为

Q=phx

由此得

M

*-7y

<7=0（假设纤维间不存在挤压）

1Z"

/2

此y

-I一-z

2K43r

%---

A32-

k

12

现将弹性力学的解答化为下列形式以便于材料力学解答进行比较:

巴.=”丹即/1_=口（与材料力学解不同）

J53）

%=—号11—»卜与材料力学解不同）

7=经（与材料力学解一致）

“Jh

■y

y

A1

1-7如图『8,已知平面圆环的应力为%=0,4=0,试检查这组

2万r

应力存在的可能性。并阐明其边界条件。（体力不计）

解：方法（一）

因为b,.=O,b0=0,酊0=/■-y,由々=三孑=0积分得：

设。=/的）r+力（。）

由"二।1济。=/（。）।4（。）।f；（。）

=0

''rdrr~602rrr-

"（e）+/'（e）=o

7'（e）=o

A

于是可得f（，）=（asin6+bcos。）；f网=——。+c

x2〃

A

即9=（osin。+Z2cos-----8+c；（a,〃,c为任意常数）

2〃

将O代入变形协调方程检验可知9满足变形协调条件。

A1

因此为b,.=0,々=0,%=---^可以存在。

2万r

A1

边界条件为：厂=。时，cr=O,cr=0,T=------

ror02"a7

A1

r=Z?时，cr,=0,cr0=0,7〃=至5

1-7题方法（二）

A1

将2=0,々=0,7〃=fS•代入平衡方程

0+0+0=0

成立；

由物理方程可得，将

一1,_1,、_C”_2（1+〃）一4（1-"）1

%―£-ua0）—O,s0——（a0-uar）—0,y——Tr（/——5

EEETIEr

代入变形协调方程

@23、1a213、1a1a2,

（数+7/）为+（z3萨一7石）*=（z广而+：嬴