江苏省南通市通州区如皋市2023年高考适应性考试（二） 数学含答案

江苏省南通市通州区如皋市2023年高考适应性考试(二)数学

2023年高考适应性考试(二)

数学试题

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一个是符合题目要求的.

1.已知集合4=Ml<log2X<2},集合8=1€2卜2一8%+124()},则408=()

A.[2,6]B.(2,4)C.{3}D.{2,3,45,6}

2.已知复数z满足z(l+i)=iM3,其中i为虚数单位，则z的虚部为

3.为宣传我国第三艘航空母舰“中国人民解放军海军福建舰”正式服役，增强学生的国防意识,

某校组织1000名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”国防知识竞赛，从中随机抽取20名学

D.估计总体中成绩落在［60,70)内的学生人数为150

4.^a=(l+tan20°)(l+tan21°),6=(1+tan24°)(l+tan25°),则下列结论不正确的是()

A.a<bB.ab=4C.a+b>4D.a2+b2=9

5.已知圆C的方程为，+/=16,直线/为圆C的切线，记4-2,0)3(2,0)两点到直线/

的距离分别为4,4,动点尸满足|以|=4,I尸8|=4,则动点尸的轨迹方程为()

t+/=lc2

A.x2+y2=4B.D.y2=4x

1612

363-

6.已知a=4e*,6=5e；,c=2则()

A.c<a<bB・c<b<aC.a<c<bD・b<c<a

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7.已知圆台两个底面圆的半径分别为1和2,圆台的侧面中存在两条母线互相垂直，则圆台

侧面积的最大值为（）

A.4&兀B.3及兀C.2缶D.缶

8.若曲线/（x）=a、（a>l）与曲线g（x）=log°x（a>l）有且只有一个公共点，且在公共点处的切

线相同，则实数。的值为（）

1

A.eB.e2C.e°D.>/e

二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在每小题给出的选项中有多个

选项符合要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得。分.

9.已知平面向量Z=（2,1）,%=（。-3）,则（）

A.若f=6,则Z//B

B.若/>1,则［与3的夹角为锐角

C.若）为非零向量，则存在实数/,使得7工=兀"

一一3**7

D.若a在b上的投影向量为贝打=2或/=《

5z

10.如图，透明塑料制成的长方体容器MCD-44GA内灌进一

些水，固定容器底面一边8c于地面上，再将容器以5c为轴

顺时针旋转，则（）

A.有水的部分始终是棱柱

B.水面所在四边形EFGH为矩形且面积不变

C.棱4功始终与水面平行

D.当点“在棱C。上且点G在棱CG上（均不含端点）时，8m即是定值

11.函数V=2sin（2x+M）+2的图象向右平移已个单位，再将所得图象上所有点的横坐标变为

原来的2倍，纵坐标不变，得到函数/（"）的图象.若对于任意药€0,；,都存在

*2«0』，使得/（再+8）+%=1,则。的可能值为（）

734

A•TtB・—71C・—7CD.-n

623

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口,如图，已知圆锥P0的轴P0与母线所成的角为a,过4的平面与断锥的物所成的角力

那＞心，该平面截这个圆锥所得的截面为椭圆，椭圆的长轴为44,短轴为及外，长铺

长为a,短半轴长为b,椭圆的中心为N,再以用邑为弦且垂直于尸。的四截面，圮该邮

与直线Pd交于G，与直线尸4交于。2，则下列说法正确的是(

A.当夕＜a时，平面截这个圆锥所得的截面也为椭圆

B.屿.死2=、型0+叫他一。)

cos2a

C.平面截这个圆锥所得椭圆的离心率e=0

cosa

D.平面截这个圆锥所得椭圆的离心率3=陋

sin/?

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.若的展开式中各项系数和为64,则该二项式展开式中所有有理项的系教之和为

22

14.已知点〃,N在双曲线左-方=1上，且〃,N中点在直线工=-1上，直线的中垂线

与x轴交于点(-3,0),则双曲线的离心率为_▲一•

15.若函数/(X)的定义域为(0,+«)),且＞'(x)+/3)=/3),/(4)=〃+/(：)，则

100

»(阿)=▲_•

/=!

16.在四棱锥P-ZBC。中，底面48C。为正方形，PA=AB=X,

M为空间中一动点，G为PC的中点，口，平面ZBCD-

若忘.诟＞0,-M的轨迹围成封闭图形的体积为▲；

若PC与平面尸切所成的角等于4MG,则平面尸3。与〃的

轨迹的交线长为

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四、解答题(本大题共6小题，共70分)

17.(本小题满分10分)

已知&4BC的内角对应的边分别为a),c,MBC的面积为少二支sinC.

4

(1)求证：sin4=3sinB;

(2)点。在边8c上，若DC=D4=gBC,求ssN.

18.(本小题满分12分)

已知s,为数列｛4｝的前〃项和，4=1,且虚;｝是公差为1的等差数列.正项等比数列

｛〃｝满足仇=1,%=16.

(1)求数列｛1｝的通项；

(2)求数列｛。「瓦｝的前附项和看.

19.(本小题满分12分)

如图，在四棱锥P-"C。中，底面是等腰梯形，ABIICD,4450=120。,

AB=BC=2,PB=PC=A，〃为CD的中点,

PMA.CD,N为AP8C的重心.

(1)证明：PM_L平面Z5CD;

(2)求直线DN与平面PMB所成角的正弦值.

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20.（本小题满分12分）

2023年3月110,丁俊晖在泰国巴吞他尼府举行的2023斯诺克6红球世锦赛决赛中以

8：6战胜泰国球员塔猜亚・乌努，第二次夺得这项赛事冠军.丁俊晖认为“中式台球更易在

职业和业余之间找到平衡，更容易让台球运动在全中国乃至全世界流行起来.”为了促进

中国台球运动的发展，某体育公司面向社会推出“台球培训”活动，由以往培训经验测算这

项“台球培训”成本为800元/人，为了确定其培训价格，调查了对这项“台球培训”有意向

培训的人员预期价位，并将收集的100名有意向培训的人员预期价位整理如下：

有意向培训人员预期价位（元/人）900100011001200

人数10205020

假设当且仅当这项“台球培训”的培训价格小于或等于某位有意向培训人员的预期价位时，

该有意向培训的人员就会参加培训.设这项“台球培训I”价格为x（单位：元/人），

900<x<1200,且每位有意向培训的人员报名参加培训活动相互独立.用样本的频率分

布估计总体的分布，频率视为概率.

（1）若x=1000,已知某阶段有4名有意向培训的人员询价，X为这一时段该项“台球培

训”的参加人数，试求X的分布列和数学期望E（x）；

（2）假设共有M名有意向培训的人员，设该公司组织“台球培训I”活动所得总利润为丫（单

位：元），当这项培训活动的销售价格X定为多少时，y的数学期望E（y）达到最大值？

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21.(本小题满分12分)

已知动圆〃过点尸(1,0)且与直线x=-1相切，记动圆圆心〃的轨迹为曲线C.

(1)求曲线。的方程；

(2)若直线/：*="(加＜。)与％轴相交于点尸，点5为曲线C上异于顶点。的动点，直

线P8交曲线C于另一点。，直线BO和DO分别交直线/于点S和T.若O,F,S,T四

点共圆，求心的值.

22.(本小题满分12分)

设函数/(%)=(办—1)山(方_1)一6一%•

(1)求函数/(x)的单调递增区间；

(2)若g(x)=/(x)-e'在区间1,1上单调递减，其中e为自然对数的底数，求实数°的

取值范围.

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2023年高考适应性训练（二）

一、单项选择题

1.C2,A3.D4.D5.B6.B7.B8.C

二、多项选择题

9.AD10.ACD11.BD12.BC

三、填空题

13.3214.V315.505016.叵；乒记瓜兀

166

四、解答题

17.解：（1）S=—«/?sinC=迎-sinC,贝!12ab=/-3/，

24

即/一2"-3狩=0,即（a+Z?）（a-3b）=0

故a=3b,由正弦定理得sinA=3sin3..........................................5'

（2）由。C=D4=,8C=L,由（1）可知4=38

33

贝！|r>C=D4=0=AC,可得AWC为等边三角形，

贝!）NADC=60。，从而NADB=120。

/+争）2一,2

在AA£>B中，由余弦定理可得十

2b2a

3

又〃=3"所以。=例，故AABC为等腰三角形

〃+7方2-9必V7

所以cosA=..............................................10'

2xhxjlh~\A

18.解：（1）•••4=1,医｝是公差为1的等差数列,

:•厄=n‘即S"="2

当"N2时，an=S„-Sn_}=2/z-l,

又。1=1，则=...................3'

是正项等比数列，设公比为“，贝h/>0

4

{/?„}/.bai=Z>5=16=bxq,而4=1,故q=2,

,,_|

bn=2,即%=22"-2=4"T..........................................6

（2）va„J^7=（2n-l）.2,-1

A7],=lx2°+3x21+--+（2n-l）x2n-1

27；=lx2i+3x22+-+(2〃-l)x2"

-7；=lx2°+2x2i+…+2x2"T-(2〃-1)x2"

=1+2『(：,"-(2〃-1)x2"

=(3-2n)x2z,-3

7；,=(2/7-3)X2"+3........................12'

19.解：(1)记等腰梯形ABC。的高为8〃

在等腰梯形ABC。中，

AB//CD,ZABC=120°

：.NBCD=60°

,:BC=2,:.BH=6,HC=1

.•.8=4,为CO中点，

/.MC=2,：.AMBC为等边三角形，贝!)MB=MC

在APMC和\PMB中，

[PM=PM

\PB=PC贝！JAPMC与APM8全等

\MB=MC

：.NPMB=NPMC

又PMLCD

PM1MB

而CDCMB=M,CD,MB=面ABCD

：.PM_L面ABCD........................6'

(2)在面A8CZ)内，过M作MN_LC£>,与AB交于点N,

以M为坐标原点建系如图,则。(0,-2,0),P(0,0,3),B(百,1,0),C(0,2,0),

从而，N(三,1,1),丽=(3-,3,1),

MB=(V3,I,0),而=(0,0,3)........................8'

设平面PMB的一个法向量为〃=(x,y,z)

n=(1-V3.0)10'

所以直线ON与平面PMB所成角的正弦值为粤

12'

20.解：(1)当x=1000时，X~5(4,0.9)

X的分布列为:

X01234

p0.00010.00360.04860.29160.6561

..............................................3'

£(X)=4xO.9=3.6

答：数学期望为3.6..............................................5，

(2)当900Vx41000时,记参加的人数为X|,X|~B(M,0.9)

£(X1)=0.9M,则E(y)=(x-80)E(X1)=M(0.9x-720)4180M

当100<x<1100时，记参加的人数为X2，X2~B(M,0.7)

E(X2)=0.7M,则E(y)=(x-80)E(X2)=M(0.7x-560)4210M

当1100<x<1200时，记参加的人数为X3,X3~fi(A7,0.2)

E(X3)=0.2M,则E(y)=(x-80)E(X3)=M(0.2x-160)<80M

.♦.当x=1100时，E(Y)达到最大值....................12，

21解：(1)设则J(x-1)2+)2=卜+1|，解得『=4x.................................................3,

(2)设直线BD的方程为x=/)，+nzQHO)代入,v2=4.v得

△=16(/+m)>0

2

y-4ty-4m=Q,设3(为,％)'D(x2,y2),贝!|.»+乃=4/

y\-yi=-^m

........................5'

4ni||4/"

又直线03的方程为丫="》，即y=—x,则为=一

同理：犷詈...........................7'

贝(JPTxPS=4s-yT\=四巳=-4m

MF

POxPF=|AW•(1—m)\=m{m—1)..............................................9'

•••O,F,S,T四点共圆,

APTxPS=POxPF..........................................10'

BP=9又加v0,贝！)，〃=—3............................................12，

22解：(1)fr(x)=a\n(ax—l)—l

①当”>o时，定义域为(：,+8),令八幻>0,则

②当“<0时，定义域为1-8-］,令((x)>0,则"士

Iajaa

ci~~0ff(x)♦♦♦・♦♦・♦♦♦・・♦♦•・・・・♦3

(x(\\

综上：当心0时，增区间为-*+1,+oo;

3))

(।\

pa।11

当〃VO时，增区间为----.........................4f

aa