踝关节辅助康复装置的工作空间

踝关节辅助康复装置的工作空间3.1引言机器人的工作空间是指机器人的末端执行器上的某点可以到达的区域。装置的工作空间，是衡量机器人工作性能的重要指标之一。机器人的机构设计、路径规划和执行的工作等都涉及工作空间的研究［24-26］。许多人员研究了工作空间问题。早期，GosselinCM等人提出了确定平面三自由度并联机构的工作空间的有效算法［27］。Bonevetal等研究了对称的，球面并联机构，提出了求解工作空间的步骤和边界条件［28］。后来，3自由度机构工作空间的研究结果扩展到5自由度的机构。LeeT.C等人给定的5自由度六脚昆虫机构的工作空间近似解［29］。在研究6自由度机构的工作空间中，研究的Stewart-Gough并联机构的的工作空间很典型。利用几何方法,TsaiK.Y.等人确定6自由度Stewart-Gough并联机构工作空间的问题［30］。有很多文献报道了工作空间［31-37］的新算法，应该注意的是，对具有刚柔混合构型机构的工作空间研究还少有报导。本章研究了一种基于刚柔混合驱动的仿生踝关节辅助康复装置的工作空间问题。本章首先介绍了一种基于球销副的仿生踝关节辅助康复装置，该装置具有两个自由度，但能近似实现踝关节的三维运动。为了分析该装置的康复效果，对其工作空间进行了研究。本章首先给出了该装置的工作条件，对工作空间的限制条件进行了分析，在建立工作空间求解模型的基础上，采用matlab进行了计算。分析结果可以作为辅助康复装置优化结构、最终确定参数的依据。3.2踝关节康复装置的运动模式装置的参数设置如图3-1,B，B和B为上平台的初始位置，B'，B'和B'1 2 3 1 2 3为上平台运动后的某个位置。弹簧7滑块&Bi导轨框架1,上平台8Bi'连接件丄aP厂bli a钳XY1YW电机I_2A1下平台丄弹簧7滑块&Bi导轨框架1,上平台8Bi'连接件丄aP厂bli a钳XY1YW电机I_2A1下平台丄电机I、1z3o1bB112电机II球销结构B'2%2a l4A 总3图3-1装置机构简图及支链的局部放大图记：\AB1=l,111AB=l,OB=l,AA=BB2221313=a，以中心球销的回转中心点O为原点建立固定坐标系XYZ，该坐标系固定在下000平台上。其中X轴平行于AA,Y轴平行于AA,Z轴与OA重合。在XYZTOC\o"1-5"\h\z0 2 3 0 1 3 0 3 000中，下平台各点的坐标为：0A(0,a,-l),oA(b,0,-l),oA(0,0,—l)。同时,1 4 2 4 3 4以O点为原点建立动坐标系XYZ，该坐标系与上平台相固定。其中X轴平行1111于BB,Y轴平行于BB,Z轴与OA重合。在XYZ中，上平台各点的坐标2 3 1 1 3 1 3 111为：1B(0,a,l),1B(b,0,l)和1B(0,0,l)；由于上平台采用对称结构设计，近1 3 2 3 3 3似认为上平台质心点为P，在BB之间，其坐标为：1P(0,a/2,l)。在初始状态13 3下两坐标系重合。记驱动背屈/跖屈运动的电机为电机I,驱动内翻/外翻运动的电机为电机II,则在运动过程中存在不同情况：以研究电机I的运动为例，有如下情况：电机II的支链被压缩，但在弹簧的压缩范围内，电机II不转动；电机II的支链被压缩，弹簧已经压并，上平台由电机I驱动绕X轴O转动，电机II进行运动补偿。在(2)的状态下，电机II进行的运动补偿量仅满足上平台绕X轴转O动«要求，不带动上平面绕Y轴转动。该状态我们称为电机I主动，电机II随O动。在(2)的状态下，电机II转动所产生的运动补偿量除满足上平台绕X。轴转动a要求外，带动上平面绕丫。轴转动0,此时就形成了复合运动。该状态我们称为电机I,电机II联动。在研究电机II的运动中，存在类似情况。在工作空间求解时，需要对上述状态分别进行研究。3.3踝关节康复装置的工作空间求解结合本装置的实际特点，研究中采用数值法与解析法相结合的方法。以电机1转动为例，使动平面绕着X。轴旋转角度为a，由已知参数和坐标变换矩阵，可求得动平面上各点的位置坐标，由位置坐标可计算支链I与支链II在给定角度下的长度l(a)、l(a),然后判断l(a)、l(a)是否符合相关状态下的杆长条件，1212即是否在其相关状态下的杆长最短与最长之间？若符合，则可能是动平面的一个位姿；若不符合，则不是动平面位姿。通过依次连续改变a的大小，持续判断，将符合要求的若干个位姿进行集合，就有动平面在电机I主动时的工作空间。同理，可以求得电机I,电机II联动时的工作空间：采用对两个电机分别为主动的状态求工作空间，再对这两个工作空间求并集，就得到动平台在两个电机联动时的工作空间。3.3.1运动支链的限制条件图3-2单个支链的结构模型单个运动支链的结构模型如图3-2，记单个运动支链的长度为l(下文简称i杆长)，上下弹簧初始参数相同，上弹簧压并的长度为l，下弹簧压并的长度为50l，中间导槽的长度为l，导槽上沿与上平台的距离为l，电机安装架上沿与603020下平面的距离为l，丝杠的长度为l，导槽中间滑块的宽度为l；某种状态下，104080滑块中心与导槽下沿的长度为l;初始状态下，导槽下沿与电机安装架上沿的70距离为l；l为导槽框的厚度。906如果电机不动时：杆长最短位置当初始位置上，丝杠在滑块上的外出长度大于弹簧的压并长度，此时的极限位置由丝杠达到导槽上沿确定。即l-l-l-l/2>l时4090708050l—l+1+1+1 (3-1)imin1040206当初始位置上，丝杠在滑块上的外出长度小于弹簧的压并长度，此时的极限位置由弹簧在滑块上部与导槽上沿之间压并确定。即l-1-1-1/2<l时40907080501 —1+1+1+1/2+1+1+1 (3-2)imin1090708050206(2)杆长最长位置此时，下弹簧被压并。极限位置由弹簧在滑块的下部与导槽的下沿之间压并确定。1—1+1+1-1/2-1-1+1+1(3-3)imax109070806063020电机可以运动时：(1)杆长最长位置支链电机旋转，滑块向上，极限位置为滑块运动到丝杠的头部。为保证滑块不脱丝，留出丝杠高于滑块上表面长度为£，极限位置由弹簧在滑块下部与导140槽下沿之间压并确定。1—1+1-£—1—1+1+1—1 (3-4)imax1040140806030206(2)杆长最短位置由于滑块可以持续向下运动，极限位置为丝杠的头部顶住导槽的上沿，此时杆长最短位置由(3-1)式确定。3.3.2工作空间求解的判断条件电机I转动，电机II不转，或者相反。以支链I电机可以运动时，杆长最短、最长条件和支链II电机不能运动时，杆长最短、最长条件，求背屈/跖屈的局部运动空间。以支链I电机不运动时，杆长最短、最长条件和支链II电机运动时，杆长最短、最长条件，求外翻/内翻的局部工作空间。电机I主动，电机II随动；或者相反。以支链I与支链II的电机可以运动时，杆长最短、最长条件，求工作空间。此时应该注意的是，主动电机驱动的支链长度的最短、最长位置为某种运动工作空间的极限位置，只需要判断在极限位置上，随动支链的长度是否在该支链最短、最长范围内。电机I，电机II联动状态此时形成复合运动模式，以支链I与支链II的电机可以运动时，杆长最短、最长条件，求工作空间。应该注意的是，电机运动的先后顺序可能影响工作空间的最后形成。求解时，分别求解后进行叠加。3.3.3工作空间求解中的计算模型在此，以动平面的质心点的运动空间为装置的工作空间，建立计算模型各坐标系的设置如图3-2所示。(1)当上平台以O点为中心，由运动电机各坐标系的设置如图3-2所示。(1)当上平台以O点为中心，由运动电机I驱动绕X轴转动了a角时，从动坐标系XYZ到固定坐标系XYZ的齐次变换矩阵为：000oT(a)二11000cosa

sina00-sina0—001此时，上平台的B，1cosa0(3-5)b，B与P点在固定坐标系XYZ下的坐标为：230B'=0T11000(a).iB=[0,acosa-lsina,asina+1cosa,l]T3(3-6)0B'=0T(a).iB=[b,-1sina,1cosa,1]t212333-7)0B'=0T(a).1B=[0,-1sina,1cosa,1]t31333TOC\o"1-5"\h\za a t(3—8)oP=oT(a)・iP=0,—cosa-1sina，—sina+1cosa,111 2 3 2 3 _(3—9)此时，各支链的长度：(a) =(acosa-1sina-a)2+(asina+1cosa+1)2AB' * 3 3 411(3—10)1(a) =12sina2+1(a) =12sina2+(1cosa+1)2a2b2v3 3 4丿 (3-11)(2)当上平台由电机II驱动绕Y轴转动了P角时，从动坐标系XYZ到固0定坐标系XYZ的齐次变换矩阵为：0000T(B)=1cosP0

-sinP00100sinP0

cosP0o—001_(3—12)此时，上平台的B,B,B与P点在固定坐标系XYZ下的坐标为：1 2 3 0000B'=0T(P)-1B=[1sinP,a,1cosP,1]t1 1 1 3 30B'=0T(P)-1B=[bcosP+1sinP,0,-bsinP+1cosP,1]t1 2 3 30B'=0T(P)-1B=[1sinP,0,1cosP,1]T1 3 3 33—13)3—14)3—15)0P，=0T(P)-1P=[1sinP,a/2,1cosP,1]T1 3 3(3—16)此时，各支链的长度：3—17)1(P)=12sin2P+(1cosP+1)2

佔*3 3 43—17)1(P) =(bcosP+1sinP-b)2+(-bsinP+1cosP+1)2a2b2V 3 3 4(3—18)(3)由电机1,11同时驱动，动平台依绕X轴转a角，以及绕Y轴转P角的顺序不同，结果不同。①先绕X轴转a角，再绕Y轴转P角此时，上平台的B，B，B与P点在固定坐标系XYZ下的坐标为：1 2 3 000

oB'二oT(0)ooB'二oT(0)oT(a).iB110B'二0T210).0T(a).iBisin0-(asina+1cosa)3acosa-1sina3cos0-(asina+1cosa)31(3-19)bcos0+1sina-sin03

-1sina3-bsin0+1cosa-cos0310B'二0T31(a)・iB(3-20)1cosa-sin03-1sina31cosa.cos031(3-21)oP=oT(0)-oT(a)-1P=11sin0-(a/2-sina+1-cosa)3a/2-cosa-1sina3cos0(a/2-sina+1cosa)313-22)由此可得上平台先绕X轴转a角，再绕Y轴转0角后，各支链的长度：12(0,a) =sin20-(asina+1cosa)2+(acosa-1sina-a)2+[cos0-(asina+1cosa)+11A1B1' 3 3 3 4(3-23)12(0,a) =(bcos0+1sina.sin0-b)2+12sina2+(-bsin0+1cosa.cos0+1)2A2A2B2'3-24)②先绕Y轴转0角,再绕X轴转«角②先绕Y轴转0角,再绕X轴转«角此时，上平台的B,1oB'二oT(a)-oT(0)-1B111b,B与P点在固定坐标系XYZ下的坐标为:230001sin03a.cosa-1sina.cos03a.sina+1cosa.cos03ibcos0+1sin033-25)oB'二oT(a)-oT(0)-iB211-sina(-bsin0+1cos0)3

cosa(-bsin0+1cos0)33-26)0B'二oT0B'二oT(a)-oT(p)-iB3113lsinp3—Isina-cosp3lcosa-cosp313-27)oP=oT(a)-oT(p)-1P=11l-sinp3a/2-cosa—l-sina-cos3a/2-sina+1-cosa-cos313-28)由此，计算上平台先绕X轴转a角，再绕Y轴转p角后，各支链的长度:12(a,p) =(1sinp)2+(a-cosa—1sina-cosp—a)2+(a-sina+1cosa-cosp+1)2AB'333411(3-29)12(a,p) =(bcos卩+1sin卩一b)2A2B'2 3+sin2a(—bsinp+1cosp)2+[cosa(—bsinp+1cosp)+113343-30)各运动状态下，上平台最大与最小转角:(1)背屈/跖屈时由支链I确定时：(1 +1+1+1 )2=(acosa —1 sina —a)2+(asina +1 cosa +1 )210 40 20 6 min3min min3min4(3-31)(1+1—8—1—1+1+1)2=1040 140 80503020(acosa —1sina —a)2+(asina+1cosa+1)2max3maxmax3max4(3-32)由支链II确定时：(1+1+1+1)2=(1sina)2+(1cosa+1)21040206 3min3min4 (3-33)(1 +1+1—1/2—1 —1 +1+1 )2=(1 sina )2+(1 cosa +1 )21090708050630203max3max4 (3-34)分别由(3-31)式与(3-33)式计算最小转角；由(3-32)式与(3-34)式计算最大转角。在计算结果中，取绝对值最小的最大转角与最小转角为上平台做背屈/跖屈时极限转角。(2)内翻/外翻时①由支链I确定时：(1+1+1+1)2=12sin2p+(1cosp+1)210 40 20 6 3 min3min4(l+1—8 —l—l+1+1)2=l2sin2B+(lcosB+1)2(3-35)10 40 l40 80 50 30 20 3 max3 max4(3-36)②由支链II确定时：(l+1+1+1)2=(bcosB+1sinB —b)2+(—bsinB+1cosB+1)210 40 20 6 min3min min3min4(3-37)(1+1+1—1/2—1—1+1+1)2=1090 70805063020(bcosB +1sinB—b)2+(—bsinB +1cosB+1)2max3maxmax3max4(3-38)分别由(3-35)式与(3-37)式计算最小转角；由(3-36)式与(3-38)式计算最大转角。在计算结果中，取绝对值最小的最大转角与最小转角为上平台做内翻/外翻时极限转角。3.3.4工作空间求解的步骤系统工作空间求解的计算流程如图3-3。

3.4计算实例根据相关原理，开发的踝关节康复装置工作空间计算系统界面如图3-4，利用Matlab软件进行计算。Quntitled3踝关节康复装置工作空间计算系统厂输入参数一L10282L2033L30295L40289eL402L5063L6024L610L7073L8015厂输入参数一L10282L2033L30295L40289eL402L5063L6024L610L7073L8015L9094a150b150L312.7L4691.4机构结构简图输出参数Lmax杆长扱限位遗778Lmin计算杆长628-300max.30-3030Pmaxmin0min角度扱限