信号与系统第一章

信号与系统Signals&Systems诸燕平信息科学与工程学院zhuyanping@2015年春季§0课程介绍课程位置

先修课程后续课程《高等数学》《通信原理》《线性代数》《数字信号处理》《电路分析基础》 ……本课程为通信、电子信息类学生的重要的专业基础课。

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丰富图书资源3丰富图书资源1.信号与系统分析基础于素芹编北京邮电大学出版社2.信号与线性系统管致中等编（第三版）高等教育出版社3.信号与系统段哲民等编西北工业大学出版社4.信号与线性系统分析吴大正等编（第三版）高等教育出版社5.信号与系统徐天成等编哈尔滨工程大学出版社6.信号与系统分析吴京编国防科技大学出版社7.信号与线性系统刘永健编（第一版）人民邮电出版社8.信号与系统分析基础姜建国等编清华大学出版社9.信号与系统陈后金等编中国铁道出版社10.信号与系统例题分析及习题乐正友等编清华大学出版社11.信号与系统燕庆明编（第二版）高等教育出版社12.信号与系统学习指导周涛等编华北航天工业学院出版13.电路、信号与系统仿真实验指导书周涛等编华北航天工业学院出版4网络资源北京理工大学/jpkc/2005/xhyxt/index.htm北京交通大学/jingpinke/xhyxt/index.htm西安电子科技大学3/jpkc/html/ziliao/xhyxt/default.htm麻省理工学院开放课件/OcwWeb/Aeronautics-and-Astronautics/16-01-04Fall2003-Spring2004/SignalsSystems/index.htm武汉大学/jpkc/xhst/东南大学/web_study/signal/5本课程的基本任务：6信号分析：信号中含有的特征分析

(信息、特征提取)系统分析：系统如何响应各种输入信号，如电路分析系统设计：信号处理(去噪增强、畸变恢复…)

如：移动通信中信号波动/抖动消除

信号设计：设计具有特定性质的信号以满足系统的要求

如：通信信号设计

满足传输要求(如带宽限制)

本课程的范围及重点7讨论范围：信号分析与系统分析工程背景：通信系统与控制系统讲授重点：基本概念（物理意义）、分析工具（变换）、方法本课程的性质与地位专业基础课，其概念、方法为今后从事通信及控制系统理论和工程技术研究之必备、之基石。本课程的授课安排8教材：《信号与系统引论》郑君里等参考：《Signals&Systems》Oppenheim,2ndEdition《Circuits,Signals,andSystems》,Siebert,MIT7考核方式总评成绩组成：平时成绩15%，期中考试15%（如果没有期中考试，则平时成绩占30%），期末考试成绩70%平时成绩：出勤60%、作业20%、实验20%点名3次不到或缺勤1/3以上，出勤分0（跟班重修导致上课时间有冲突的同学请向我请假）作业2次不交，作业分0实验缺勤或不交实验报告，实验分0上课请关闭手机或改震动，请勿吃东西、看手机、说话或看其他课程书籍9建议与要求10建议：认真听讲：基本概念、基本方法勤于思考：理论联系实际协作学习：交流解题心得、课外阅读心得，理论联系实际案例要求：作业不抄袭，上课不交流第一章绪论(Introduction)1.1信号与系统1.2信号的描述、分类和典型示例1.3信号的运算1.4阶跃信号与冲激信号1.5信号的分解1.6系统模型及其分类1.7线性时不变系统1.8系统分析方法111.1信号与系统(SignalsandSystems)“信号和系统”是一门重要的技术基础课，为后续的“数字信号处理”、“通信原理”课程打一个基础。本课程主要介绍：一些基本信号和基本系统的性质，及分析这些信号和系统的基本理论和方法。这是因为：任何一个复杂的信号都可以看作由一些基本信号组成；同样，一个复杂的系统也可看作是由一些简单的子系统组成。12主要内容信号的基本概念信号的描述信号的分类几种典型确定性信号信号的运算131.2信号的描述、分类和典型示例信号的基本概念一、定义广义：信号是随时间变化的某种物理量狭义：信号是消息的表现形式和传送载体电信号通常是随时间变化的电压或电流14信号的描述（Representation）二、表示

FunctionRepresentation

GraphicalRepresentation枚举法Enumeration（表格法）：借助枚举或表格描述信号随时间的变化。15f(t)0.260.310.450.770.89t12.33.645ExamplesAsimpleRCcircuit16SourcevoltageVsandCapacitorvoltageVcAnautomobile17ForceffromengineRetardingfrictionalforceρVVelocityVASpeechSignalShouldwechase?18APicture19VerticalWindProfile20信号的分类按实际用途划分：电视信号雷达信号控制信号通信信号广播信号……按所具有的时间特性划分211．确定性信号和随机信号22对于指定的某一时刻t，可确定一相应的函数值f(t)。若干不连续点除外;确定性信号随机信号伪随机信号貌似随机而遵循严格规律产生的信号（伪随机码）2．连续信号和离散信号23连续时间信号：信号存在的时间范围内，任意时刻都有定义（即都可以给出确定的函数值，可以有有限个间断点）。用t表示连续时间变量离散时间信号：在时间上是离散的，只在某些不连续的规定瞬时给出函数值，其它时间没有定义。用n表示离散时间变量n012f(n)tf(t)0Continuous-timeSignal24Discrete-timeSignal253．周期信号和非周期信号26瞬态信号：除准周期信号外的一切可以用时间函数描述的非周期信号。f(t)=f(t±T)满足上述条件的最小正T、正N称为信号的基本周期4．模拟信号，抽样信号，数字信号27数字信号：时间和幅值均为离散的信号。主要讨论确定性信号先连续，后离散；先周期，后非周期模拟信号：时间和幅值均为连续的信号。抽样信号：时间是离散的，幅值是连续的信号。量化抽样5．一维信号和多维信号一维信号： 只由一个自变量描述的信号，如语音信号；多维信号： 由多个自变量描述的信号，如图像信号．286.能量信号和功率信号能量信号：功率信号：直流信号和周期信号都是功率信号注意：一个信号不可以既是能量信号又是功率信号29几种典型确定性信号1.指数信号2.正弦信号3.复指数信号4.

Sa(t)信号（抽样信号）5.高斯信号（钟型信号）301.指数信号31重要特性：其对时间的微分和积分仍然是指数形式。单边指数信号通常把称为指数信号的时间常数，记作

,代表信号衰减速度，具有时间的量纲。

,

直流(常数),0实际例子：电容放电曲线2.正弦信号32振幅：K

周期：频率：f

角频率：初相位:衰减正弦信号：f(t)0t欧拉公式（

Euler’sRelation）333．复指数信号34讨论4．抽样信号(SamplingSignal)

35性质①②③④⑤⑥两边衰减能量集中在（）5.高斯信号（钟型信号）360.78E

Ef(t)性质主要用于随机信号分析中1.3信号的运算37一.信号的自变量的变换1.信号的平移（移位）2.反转(反褶)3.信号的展缩（尺度）4.一般情况二.信号的时域运算重点：信号的展缩难点：信号平移、倒置、展缩同时都有的变换一．信号的自变量的变换（波形变换）381.信号的平移2.信号的反转3.信号的展缩4.一般情况1.信号的平移（移位）39例：

>0，右移RightShift(滞后Delay)

<0，左移LeftShift(超前Advance)宗量相同，函数值相同，求新坐标?f(t+1)的波形？40ExamplesofTimeShiftt0<02.信号的反转（反褶）41例：以纵轴为轴折叠

0t1-211把信号的过去和未来对调没有可以实现此功能的实际器件。数字信号处理中可以实现此概念，例如堆栈中的“后进先出”。ExamplesofTimeReversalx(-t)orx[-n]:Reflectionofx(t)orx[n]42移位与反褶相结合实例43画出f(2-t)tf(t)011方法1：平移f(t)→f(t+2)再反褶f(t+2)→f(-t+2)

方法2：反褶f(t)→f(-t)再平移f(-t)→f(-t+2)

tf(t)011tf(t+2)0-11tf(2-t)0211tf(-t)0-113．信号的展缩（尺度）44波形的压缩与扩展，标度变换宗量相同，函数值相同求新坐标tf(t)t/2f(t/2)tf(t/2)010101T2T22T2例：已知f(t)，画出f(2t)和f(t/2)的波形。时间尺度压缩：，波形扩展45f(t)

f(2t)t

2t，时间尺度增加，波形压缩。宗量相同，函数值相同求新坐标tf(t)2tf(2t)tf(２t)010101T2T2T/22比较46三个波形相似，都是t的一次函数。但由于自变量t的系数不同，则达到同样函数值2的时间不同。时间变量乘以一个系数等于改变观察时间的标度。47[例1]：①已知f(t)如下图，画出f(-3t-2)解：f(t)→f(-t)→f[-(t+2)]→f(-3t-2)-210t1f(t)-102t1f(-t)-10tf(-3t-2)1-3-20t1f(-t-2)48②已知f(t)定义域为[-1,4]，求f(-2t+5)的定义域解：i)方法一：f(t)→f(-t)

[-4,1]

f(-t)→f(-t+5)

[1,6]

f(-t+5)→f(-2t+5)ii)方法二：4．一般情况49注意！先展缩：

a>1，压缩a倍；a<1，扩展1/a倍

后平移：

+，左移b/a单位；－，右移b/a单位

一切变换都是对t而言最好用先翻缩后平移的顺序

加上倒置：

二．信号的时域运算501.微分和积分2.相加和相乘1．微分和积分51冲激信号突出信号变化部分使信号突变部分平滑2．相加和相乘52同一瞬时两信号对应值相加（相乘）。1.4阶跃信号与冲激信号本节介绍

函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异函数。主要内容单位斜变信号单位阶跃信号单位冲激信号冲激偶信号53一．单位斜变信号541．

定义3．三角形脉冲由宗量t-t0=0可知起始点为2．有延迟的单位斜变信号二．单位阶跃信号551.定义0点无定义或1/2

宗量<0

函数值为0由宗量

，函数有断点，跳变点宗量>0

函数值为12.有延迟的单位阶跃信号3.用单位阶跃信号描述其他信号56其它函数只要用门函数处理(乘以门函数)，就只剩下门内的部分。

符号函数：(Signum)门函数：也称窗函数4.物理背景：t=0时刻加入激励5.作用：表示信号单边特性和窗特性即信号在t0时刻以前的幅度为零或者信号在某段时间内有意义。5758i)例ii)例三．单位冲激函数（难点）59概念引出定义1定义2冲激函数的性质概念引出某些物理现象需要用一个时间极短，但取值极大的函数模型来描述，例如力学中瞬间作用的冲击力电学中的雷击电闪数字通信中的抽样脉冲60定义161面积1；脉宽↓；

脉冲高度↑；

则窄脉冲集中于t=0处。★面积为1★宽度为0三个特点：★描述62若面积为k，则强度为k。三角形脉冲，双边指数脉冲，钟形脉冲，抽样函数，取

0极限，都可以认为是冲激函数。时移的冲激函数i)矩形脉冲演变为冲激函数t=0点有冲激，但无法给出值，用面积表明冲激强度63iii)双边指数脉冲：iv)钟型脉冲：v)抽样脉冲：ii)三角脉冲：见P8定义2：狄拉克(Dirac)函数64

函数值只在t=0时不为零；

积分面积为1；

t=0时，，为无界函数。

冲激函数的性质651．抽样性2．奇偶性3．冲激偶为了信号分析的需要，人们构造了δ(t)函数，它属于广义函数。就时间t而言，δ(t)可以当作时域连续信号处理，因为它符合时域连续信号运算的某些规则。但也由于δ(t)是一个广义函数，它有一些特殊的性质。(1)抽样性(筛选性)66如果f(t)在t=0处连续，且处处有界，则有

对于移位情况（延迟抽样）：（3）δ(t)和u(t)关系67(2)

奇偶性68理解u(t)与δ(t)：-+i)阶跃电压作用在电容上将产生冲激电流ii)阶跃电流作用在电感上将产生冲激电压四、冲激偶69冲激偶的性质70②时移，则：

71冲激函数的性质总结（1）抽样性（2）奇偶性（3）比例性（4）微积分性质（5）冲激偶（6）卷积性质72[例2]：绘图①解：

i)ii)令iii)令iv)令三点一限法：零值点、驻点、拐点、无穷点（极限）

t

0

f(t)73②解：21

t0

f(t)i)ii)令iii)令74③④⑤⑥③④⑤⑥t0>075[例3]：求下列函数值①②③解：①②③01.5信号的分解直流分量与交流分量偶分量与奇分量脉冲分量实部分量与虚部分量76一、直流分量与交流分量771．直流分量①也称信号平均值②定义：2．交流分量①定义：②特性：783．平均功率=直流功率+交流功率注：若为周期信号不必加T→∞79二、偶分量与奇分量1．偶分量①定义：②特性：偶函数，即2．奇分量①定义：②特性：i)奇函数，即ii)平均值为0，即t01/2-1/21-11t01/2-1t01-1t01180[例4]：求下面信号的奇分量和偶分量解：-1f(t)t10231t1-1023f(-t)1t11-102

0t818100.52-2-0.50.5-22012ttt000ttt给定函数表达式或图形如何求偶分量与奇分量？三、脉冲分量821．信号分解为冲激信号叠加①先将信号近似为矩形窄脉冲分量的叠加，即tf(t)083②取极限i)ii)<根据上式以及冲激函数为偶函数>可得抽样特性：理解!任意信号可以分解为冲激信号的叠加！842．将信号分解为阶跃信号之和（设f(t)=0(t<0)）①先将信号近似为阶跃信号分量的叠加，即②取极限85四、实部分量与虚部分量

1．2．3．4．实际不存在，但可借助其来研究实信号或简化运算1.6系统模型及其分类描述系统的基本单元方框系统的定义与表示系统的分类86一．信号的时域运算（基本元件）1.加法器2.乘法器3.标量乘法器（数乘器，比例器）4.微分器5.积分器6.延时器87基本元件1883.标量乘法器（数乘器，比例器）

2.乘法器

1.加法器

注意:与公式中的卷积符号相区别，没有卷积器。

基本元件2894.微分器

5.积分器

6.延时器

例5

请用积分器画出如下微分方程所代表的系统的系统框图90方程左端只保留输出的最高阶导数项积分n=2次，使方程左端只剩下r(t)项系统框图如下页：系统框图91二．系统的定义和表示系统：具有特定功能的总体，可以看作信号的变换器、处理器。系统模型：系统物理特性的数学抽象。

系统的表示：

数学表达式：系统物理特性的数学抽象。系统图：形象地表示其功能。92三．系统的分类连续时间系统（微分方程）离散时间系统（差分方程）混合系统即时系统动态系统集总参数系统分布参数系统9394重点研究:

确定性信号作用下的集总参数线性时不变系统系统非时变时变非线性线性

若系统在不同的激励信号作用下产生不同的响应，则称此系统为可逆系统。若系统在t0时刻的响应只与t=t0和t<t0时刻的输入有关，否则，即为非因果系统。因果系统非因果系统可逆系统非可逆系统1.7线性时不变系统线性系统与非线性系统时变系统与时不变系统线性时不变系统的微分特性因果系统与非因果系统95一．线性系统与非线性系统96指具有线性特性的系统。

线性系统：线性:指均匀性，叠加性。叠加性：均匀性(齐次性)：1.定义线性特性972.

判断方法98先线性运算，再经系统＝先经系统，再线性运算注意：外加激励与系统非零状态单独处理。则系统是线性系统,否则是非线性系统。

若例699判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统?分析：根据线性系统的定义，证明此系统是否具有均匀性和叠加性。可以证明：

所以此系统为非线性系统。请看下面证明过程系统不满足均匀性系统不具有叠加性证明均匀性100设信号e(t)作用于系统，响应为r(t)原方程两端乘A：

(1)、(2)两式矛盾。故此系统不满足均匀性当Ae(t)作用于系统时，若此系统具有线性，则证明叠加性101(5)、(6)式矛盾，该系统为不具有叠加性假设有两个输入信号e1(t)及e2(t)分别激励系统，则由所给微分方程式分别有：当e1(t)+e2(t)同时作用于系统时，若该系统为线性系统，应有式(3)+(4)得二．时变系统与时不变系统102一个系统，在零初始条件下，其输出响应与输入信号施加于系统的时间起点无关，称为非时变系统，否则称为时变系统。认识:电路分析上看:元件的参数值是否随时间而变

从方程看:系数是否随时间而变从输入输出关系看:时不变性1.定义时不变性1032.判断方法104先时移，再经系统＝先经系统，再时移若则系统是非时变系统,否则是时变系统。例7

判断下列两个系统是否为非时变系统1051.系统的作用是对输入信号作余弦运算。所以此系统为时不变系统。系统1：系统2：106此