信号与系统第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析4.1引言4.2拉普拉斯变换的定义、收敛域4.3拉氏变换的基本性质4.4拉普拉斯逆变换4.5用拉普拉斯变换分析法分析电路、S域模型4.6系统函数(网络函数)H(s)4.7由系统函数零、极点分布决定时域特性4.8由系统函数零、极点分布决定频域特性4.9二阶谐振系统的s平面分析4.10全通函数与最小相移函数的零、极点分布4.11线性系统的稳定性4.12双边拉氏变换4.13拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系

这一章开始讨论连续时间系统的复频域分析，即用拉普拉氏变换这个工具来完成。从频域分析系统有其不足之处：（1）有些重要信号不存在傅里叶变换，即不满足绝对可积（2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析（不能求全响应）（3）反傅里叶变换不好求基于以上几点引入了拉普拉氏变换，把频域变成复频域4.1引言19世纪末，英国工程师赫维赛德(O.Heaviside)发明了“运算法”（算子法）解决电工程计算中遇到的一些基本问题。法国数学家拉普拉斯(P.S.Laplace)为赫维赛德找到了可靠的数学依据。4.2拉普拉斯变换的定义、收敛域（一）从傅里叶变换到拉普拉斯变换

对于因果信号有狄利克雷条件

f1(t)=f(t)e-σt

e-σt为收敛（衰减）因子，且f1(t)满足绝对可积条件。则令σ+jω=s，上式可表示为F1(ω)的傅氏反变换为f(t)为原函数F(s)为象函数拉普拉斯变换式(或拉普拉斯变换对)拉氏变换L[f(t)]拉氏逆变换L-1[F(s)]注意：傅氏变换将f(t)变换为F(ω)，或作相反变换。时域中的变量t和频域中的变量ω都是实数。

拉氏变换是将f(t)变换为F(s)，或作相反变换。这时t是实数s却是复数。

s称为“复频率”。傅里叶变换建立了时域和频域间的联系。拉氏变换则建立了时域与复频域(s域)间的联系。单边拉普拉斯变换双边拉普拉斯变换(二)从算子符号法的概念说明拉氏变换的定义(三)拉氏变换的收敛收敛域是使f(t)e-σt满足绝对可积的σ取值范围，或是使f(t)的单边拉氏变换存在的σ取值范围。

σ=σ0做收敛坐标，是实轴上的一个点。穿过σ0并与虚轴jω平行的直线叫做收敛轴。收敛轴的右边为收敛区，收敛区不包括收敛轴。满足的函数为指数阶函数。σ0收敛坐标收敛轴Oσjω收敛区1、有始有终的信号：收敛坐标落于-∞，全部s平面都属于收敛区。2、等幅度信号收敛坐标落于原点，s右半平面属于收敛区。3、随时间成正比的信号收敛坐标落于原点，s右半平面属于收敛区。4、按指数规律增长eat的函数收敛坐标落于σ0=a，σ>a属于收敛区。5、比指数函数增长得更快的函数不能找到收敛坐标，不能进行拉氏变换。(四)一些常用函数的拉氏变换

(1)阶跃函数(2)指数函数(3)tn

(n是正整数)(4)冲激函数表4-1

常用函数单边拉氏变换序号1234567序号891011121314

4.3拉氏变换的基本性质(一)线性(叠加)

若

K1、K2为常数

则

例4-1求的拉氏变换F(s)。解：同理(二)原函数微分

若则为什么与0-时刻有关系？当f(t)在t=0时刻不连续时，其导数在0时刻有冲激信号存在，为了在拉氏变换中反映0时刻前后的变化，所以下限从0-开始。11012例：求该系统的全响应，已知微分方程式例4-2已知流经电感的电流iL(t)的拉氏变换为IL(s)，求电感的电压vL(t)的拉氏变换。解：若(三)时域积分若则式中证：其中例4-3已知流经电容的电流iC(t)的拉氏变换为IC(s)，求电容的电压vC(t)的拉氏变换。解：若例4-4如图所示电路在t=0时开关闭合，求输出信号vC(t)。解：(3)求VC(s)的逆变换R+-ES+-C(1)列写微分方程(2)将上式取拉氏变换(四)延时(时域平移)证：若则令例4-5求如图所示矩形脉冲的拉氏变换。解：(五)s域平移

若

则

证：

例4-6求和的拉氏变换。

解：

已知

由s域平移定理同理

由s域平移定理(六)尺度变换证：

若

则

例4-7求，若，求

解：

或

例：如图信号的单边拉氏变换f1(t)11f2(t)11-1例：T/201f(t)T/201f(t)T/201f(t)(七)初值若函数f(t)及其导数

f’(t)可以进行拉氏变换，f(t)的变换式为F(s)，则证：终值适用的条件：仅当sF(s)在s平面的虚轴上及其右边都为解析时(原点除外)，终值定理才可应用。(八)终值若f(t)及其导数

f’(t)可以进行拉氏变换，f(t)的变换式为F(s)，而且存在，则证：令s→0,两边取极限得当信号

f(t)的终值存在时，才能利用它求得终值，否则将得到错误的结果。而要使

f(t)的终值存在，则要求

F(s)的极点在左半s平面，如果

F(s)在jw

上有极点的话，也只能是在原点上的一阶极点，其原因在于，只有满足这种极点分布的信号才有终值存在。终值和初值定理常用于由直接求f(0-)和f(∞)

(九)卷积若则证：表4-2拉氏变换性质（定理）

4.4拉普拉斯逆变换拉普拉斯反（逆）变换是将象函数F(s)变换为原函数f(t)的运算。用定义式做比较困难，通常的方法有：（1）查表。直接利用逆变换表（2）部分分式展开（重点）（3）留数法(一)部分分式分解F(s)为s的有理函数时，一般形式可表示为式中,ai、bi为实常数，n、m为正整数。将分母多项式表示为便于分解的形式

B(s)=bn(s-p1)(s-p2)…(s-pn)式中,p1,p2,…,pn是B(s)=0方程式的根，也称F(s)的极点。同样分子多项式也可以表示为

A(s)=am(s-z1)(s-z2)…(s-zm)

式中,z1,z2,…,zm是A(s)=0方程式的根，也称F(s)的零点。

1.m<n，F(s)均为单极点同样,F(s)两边同乘(s-p2)，然后令s=p2可得第二个系数以此类推，任一极点pi对应的系数为例4-8求下列函数的逆变换解：将F(s)写成部分分式展开形式或

2.m≥n，F(s)均为单极点

例4-9求下列函数的逆变换解：用分子分母(长除法)得到或例4-10求下列函数的逆变换解：部分分式展开例4-11求下列函数的逆变换解：例4-10方法二：

3.m<n,F(s)有重极点设L[tne-at]=L-1例4-12求下列函数的逆变换解：部分分式展开或(二)用留数定理求逆变换s=pi为一阶极点s=pi为k阶极点例4-12求下列函数的逆变换解：s=0为一阶极点s=-1为3阶极点4.5用拉普拉斯变换分析电路、s域元件模型(一)利用拉氏变换解微分方程1.零状态响应零状态响应是仅由激励引起的响应。得零状态响应为2.零输入响应零输入响应是仅由系统初始储能引起的响应。

3.全响应

(二)利用拉氏变换分析电路例4-13如图所示电路，当t<0时，开关位于“1”端，电路的状态已经稳定，t=0时开关从“1”端打到“2”端，分别求vC(t)与vR(t)波形。+-E+-E-+v1(t)+-21+-vC(t)CRvR(t)解：首先求vC(t)(2)取拉氏变换(1)列写微分方程求vR(t)(三)s域的元件模型

分别对上式进行拉氏变换，得到不考虑起始条件若对电流求解，得到例4-15如图所示电路，当t<0时，开关位于“1”端，电路的状态已经稳定，t=0时开关从“1”端打到“2”端，分别求vC(t)。+-E+-E-+v1(t)+-21+-vC(t)CRvR(t)+-E+-vC(t)CRVC(s)-+I(s)解：画出s域网络模型例4-15如图所示电路，当t<0时，开关位于“1”端，电路的状态已经稳定，t=0时开关从“1”端打到“2”端，求iL(t)。-E2+-E1iL(t)21LR0R2R1+解：-E2iL(t)LR0R2++-E1iL(t)R1sLIL0(s)E2R2例

电路如图,已知e(t)=10V；

vC(0-)=5V，

iL(0-)=4A，求i1(t)。解：分别计算零状态、零输入响应。(1)零状态响应

(2)零输入响应

4.6系统函数(网络函数)H(s)系统函数在零状态下定义为系统函数例4-17如图所示在t=0时开关S闭合，接入信号源e(t)=sin(2t)，电感起始电流等于零，求电流i(t)。解：策动点函数：激励与响应是同一端口2)策动点导纳函数1)策动点阻抗函数转移函数(传输函数)：激励与响应不在同一端口2)转移导纳函数1)转移阻抗函数3)转移电压比函数4)转移电流比函数n阶系统微分方程的一般形式为(1)由微分方程求系统函数零状态下拉氏变换系统函数为(2)电路系统举例说明用s域等效模型，可以得到网络的系统函数。如图所示电路系统，输入为v1(t)，输出为v2(t)，试求系统函数H(s)。解：画零状态s域模型图4.7由系统函数零、极点分布决定时域特性(一)H(s)零、极点分布与h(t)波形特性的对应极点：H(s)分母多项式之根。零点：H(s)分子多项式之根。为有限值s=p1处为一阶极点。直到K=n时才为有限值s=p1处为n阶极点。的极点即零点。的零点即极点。(二阶)零点：(一阶)(一阶)(一阶)(一阶)(一阶)(一阶)极点：一阶极点二阶极点一阶零点s平面上的零极点t平面上的波形s平面上的零极点t平面上的波形例

已知某系统的系统函数求出系统的零、极点并绘出零、极点图。解：MATLAB程序及结果如下：a=［161112］;%分母多项式系数b=［51825］;%分子多项式系数r1=roots(a)%求极点r2=roots(b)%求零点pzmap(b,a)%系统的零、极点图r1=-4.0000-1.0000+1.4142i-1.0000-1.4142ir2=-1.8000+1.3266i-1.8000-1.3266iH(s)与h(t)是一对拉氏变换对,所以只要知道H(s)在s平面上的零、极点分布情况,就可以知道系统冲激响应h(t)的变化规律。假设式中所有极点均为单极点且m<n,利用部分分式展开

pi=σi+jωi若极点位于s平面坐标原点，Hi(s)=1/s，冲激响应就为阶跃函数，h(t)=u(t)。若极点位于s平面实轴上，则冲激响应具有指数函数形式。虚轴上的共轭极点给出等幅振荡。落于s左半平面内的共轭极点对应于衰减振荡，落于s右半平面内的共轭极点对应于增幅振荡。高阶极点：(1)位于s平面坐标原点的二阶或三阶极点分别给出时间函数为t或t2/2(2)实轴上的二阶极点给出与指数函数的乘积。(3)对于虚轴上的二阶共轭极点情况。s平面上的零极点t平面上的波形若H(s)极点落于左半面，则h(t)波形为衰减形式；若H(s)极点落于右半面，则h(t)波形为增长形式；落于虚轴上的一阶极点对应的h(t)成等幅振荡或阶跃；虚轴上的二阶极点将使h(t)呈增长形式。按照h(t)呈现衰减或增长的两种情况将系统划分为稳定系统与非稳定系统两大类型。系统稳定性可以根据H(s)极点出现于左半或右半平面判断。(二)H(s)、

E(s)极点分布与自由响应、强迫响应特征的对应自由响应强迫响应系统函数的极点——固有频率例4-19电路如图所示，输入信号求输出电压v2(t)，并指出v2(t)中的自由响应和强迫响应解：自由响应强迫响应4.8由系统函数零、极点分布决定频域特性频响特性：是指系统在正弦信号激励之下稳态响应随信号频率的变化情况。高通滤波器低通滤波器带通滤波器带阻滤波器系统函数H(s)频率特性例4-20研究图中所示RC高通滤波网络的频响特性解：当ω=0时，N1=0，所以,当时，当ω增大时，导致N1,M1增大，且趋于|H(jω)|；当ω→∞时，N1≈M1→∞，→|H(jω)|≈1。相频特性：φ(ω)=ψ1-θ1≈0例4-21研究图中所示RC低通滤波网络的频响特性解：当ω=0时，当时，当ω增大时，导致N1,M1增大，且趋于|H(jω)|；当ω→∞时，M1→∞，→|H(jω)|≈0。

相频特性：φ(ω)=-θ1≈90°4.9二阶谐振系统的s平面分析1.全通系统当系统幅频特性在整个频域内是常数时，其幅度特性可无失真传输，这样的系统称为全通系统。全通系统的特点是系统函数H(s)的零、极点对jω轴成镜像对称。式中,H0为常数。4.10全通函数与最小相移函数的零、极点分布全通系统零、极点分布示意图

2.最小相移系统实际应用中，会遇到在幅频特性相同情况下，希望得到系统的相移（时延）最小，这样的系统称为最小相移系统。本书不加证明给出最小相移系统的条件为：全部零、极点在s平面的左半平面(零点可在jω轴上)，不满足这一条件的为非最小相移系统。

最小相移系统与非最小相移系统零、极点分布示意4.11LTI连续系统的稳定性稳定性是系统本身的性质之一，与激励信号无关。稳定系统也是