山西省怀仁市一中2024届高一数学第二学期期末考试试题含解析

山西省怀仁市一中2024届高一数学第二学期期末考试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．下列四组中的函数，表示同一个函数的是（）A．， B．,C．， D．，2．如图是某个正方体的平面展开图，，是两条侧面对角线，则在该正方体中，与（）A．互相平行 B．异面且互相垂直 C．异面且夹角为 D．相交且夹角为3．如图，已知边长为的正三角形内接于圆，为边中点，为边中点，则为（）A． B． C． D．4．经过点，和直线相切，且圆心在直线上的圆方程为（）A． B．C． D．5．已知向量，且，则的值为（）A． B． C． D．6．下列函数所具有的性质，一定成立的是（）A． B．C． D．7．已知等差数列的公差，前项和为，则对正整数，下列四个结论中:(1)成等差数列，也可能成等比数列；(2)成等差数列，但不可能成等比数列；(3)可能成等比数列，但不可能成等差数列；(4)不可能成等比数列，也不叫能成等差数列.正确的是()A．(1)(3) B．(1)(4) C．(2)(3) D．(2)(4)8．若，则（）A． B． C．或 D．9．设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则10．若直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行，则m的值为（）A．7 B．0或7 C．0 D．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若，则__________.12．正方体中，分别是的中点，则所成的角的余弦值是__________．13．已知为的三个内角A，B，C的对边，向量，．若，且，则B=14．已知角终边经过点，则__________.15．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件，为了了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=.16．已知是第二象限角，且，且______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1km内不能收到手机信号，检查员抽查某市一考点，在考点正西约km/h的的B处有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，最多需要多少时间，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？18．平面直角坐标系中，圆M与y轴相切，并且经过点，．（1）求圆M的方程;（2）过点作圆M的两条互垂直的弦AC、BD，求四边形ABCD面积的最大值．19．已知圆：.（1）过的直线与圆：交于，两点，若，求直线的方程；（2）过的直线与圆：交于，两点，直接写出面积取值范围；（3）已知，，圆上是否存在点，使得，请说明理由.20．在中，内角对边分别为，，,已知.(1)求的值；(2)若，，求的面积．21．数列中，，（为常数，1，2，3，…），且.（1）求c的值；（2）求证：①；②；（3）比较++…+与的大小，并加以证明.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．【题目详解】．的定义域为，，两个函数的定义域相同，对应法则相同，所以，表示同一个函数．．的定义域为，，两个函数的定义域相同，对应法则不相同，所以，不能表示同一个函数．．的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相同，所以，不能表示同一个函数．．的定义域为，的定义域，两个函数的定义域不相同，对应法则相同，所以，不能表示同一个函数．故选．【题目点拨】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的依据主要是判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．2、D【解题分析】

先将平面展开图还原成正方体，再判断求解.【题目详解】将平面展开图还原成正方体如图所示，则B，C两点重合，所以与相交，连接，则为正三角形，所以与的夹角为.故选D.【题目点拨】本题主要考查空间直线的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.3、B【解题分析】

如图，是直角三角形，是等边三角形，，，则与的夹角也是30°，∴，又，∴．故选B．【题目点拨】本题考查平面向量的数量积，解题时可通过平面几何知识求得向量的模，向量之间的夹角，这可简化运算．4、B【解题分析】

设出圆心坐标，由圆心到切线的距离和它到点的距离都是半径可求解．【题目详解】由题意设圆心为，则，解得，即圆心为，半径为．圆方程为．故选：B．【题目点拨】本题考查求圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系．求出圆心坐标与半径是求圆标准方程的基本方法．5、B【解题分析】

由向量平行可构造方程求得结果.【题目详解】，解得：故选：【题目点拨】本题考查根据向量平行求解参数值的问题，关键是明确两向量平行可得.6、B【解题分析】

结合反三角函数的性质，逐项判定，即可求解.【题目详解】由题意，对于A中，令，则，所以不正确；对于C中，根据反正弦函数的性质，可得，所以是错误的；对于D中，函数当时，则满足，所以不正确，故选：B.【题目点拨】本题主要考查了反三角函数的性质的应用，其中解答中熟记反三角函数的性质，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7、D【解题分析】试题分析：根据等差数列的性质，，，，因此(1)错误，(2)正确，由上显然有，，，，故(3)错误，(4)正确．即填(2)(4)．考点：等差数列的前项和，等差数列与等比数列的定义．8、D【解题分析】

利用诱导公式变形，再化弦为切求解．【题目详解】由诱导公式化简得，又，所以原式.故选D【题目点拨】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及诱导公式的应用，也考查了化弦为切的思想，属于基础题．9、A【解题分析】试题分析：由面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一平面的一条垂线，则两面垂直，可得，可得考点：空间线面平行垂直的判定与性质10、B【解题分析】

根据直线和直线平行则斜率相等，故m(m-1)=3m×2，求解即可。【题目详解】∵直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行，∴m(m-1)=3m×2，∴m=0或7，经检验，都符合题意，故选B.【题目点拨】本题属于基础题，利用直线的平行关系，斜率相等求解参数。二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、；【解题分析】

易知的周期为，从而化简求得.【题目详解】的周期为，且，又，.故答案为：【题目点拨】本题考查了正弦型函数的周期以及利用周期求函数值，属于基础题.12、【解题分析】

取的中点，由得出异面直线与所成的角为，然后在由余弦定理计算出，可得出结果．【题目详解】取的中点，由且可得为所成的角，设正方体棱长为，中利用勾股定理可得，又，由余弦定理可得，故答案为．【题目点拨】本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线找出异面直线所成的角，再选择合适的三角形，利用余弦定理或锐角三角函数来计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题．13、【解题分析】

根据得，再利用正弦定理得，化简得出角的大小。再根据三角形内角和即可得B.【题目详解】根据题意,由正弦定理可得则所以答案为。【题目点拨】本题主要考查向量与三角形正余弦定理的综合应用,属于基础题。14、4【解题分析】

根据任意角的三角函数的定义，结合同角三角函数的基本关系求解即可．【题目详解】因为角终边经过点，所以，因此.故答案为：4【题目点拨】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题．15、13【解题分析】(解法1)由分层抽样得，解得n＝13.(解法2)从甲乙丙三个车间依次抽取a，b，c个样本，则120∶80∶60＝a∶b∶3a＝6，b＝4，所以n＝a＋b＋c＝13.16、【解题分析】

利用同角三角函数的基本关系求出，然后利用诱导公式可求出的值.【题目详解】是第二象限角，则，由诱导公式可得.故答案为：.【题目点拨】本题考查利用同角三角函数的基本关系和诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、答案见解析.【解题分析】

由题意利用正弦定理首先求得的大小，然后确定检查员检查合格的方法即可.【题目详解】检查开始处为，设公路上两点到考点的距离均为1km.在中，,由正弦定理，得，，.在中，,为等边三角形，.在段需要5min，在段需要5min.则最多需要5min，检查员开始收不到信号，并至少持续5min.【题目点拨】本题主要考查正弦定理的应用，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18、(1)；(2)最大值为1．【解题分析】

（1）通过分析题意，可设圆心坐标为，再通过待定系数法即可求得。（2）若采用直线方程和圆的方程联立求解相对较为复杂，可采用将题设条件转化为圆心到直线距离问题，结合勾股定理可大大简化运算，最后再结合均值不等式进行求解。【题目详解】解：（1）由题意，M在线段PQ的垂直平分线（即x轴）上，设；由圆M与y轴相切，所以圆M的半径为，圆M的标准方程为，代入，解得，所以圆M的方程为.（2）设圆心M到直线AC，BD的距离分别为m，n，则，且，，四边形ABCD的面积因为，且m，n均为非负数，所以，当且仅当，等号成立；综上，四边形ABCD面积的最大值为1．【题目点拨】圆的弦长问题转化为点到直线的距离问题往往化繁为简19、（1）或；（2）；（3）存在，理由见解析【解题分析】

求得圆的圆心和半径.（1）设出直线的方程，利用弦长、勾股定理和点到直线距离列方程，解方程求得直线的斜率，进而求得直线的方程.（2）利用三角形的面积公式列式，由此求得面积取值范围.（3）求得三角形外接圆的方程，根据圆和圆的位置关系，判断出点存在.【题目详解】圆心为，半径为.（1）直线有斜率，设：，圆心到直线的距离为，∵，则由，得，直线的方程为或（2）依题意可知，三角形的面积为，由于，所以，所以.（3）设三角形的外接圆圆心为（），半径为，由正弦定理得，，所以，所以圆的圆心为,所以圆的方程为，圆与圆满足圆心距：，∴圆与圆相交于两点，圆上存在两个这样的点，满足题意.【题目点拨】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查圆和圆的位置关系，考查三角形的面积公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.20、(1)2(2)【解题分析】

（1）在题干等式中利用边化角思想，结合两角和的正弦公式、内角和定理以及诱导公式计算出，再利用角化边的思想可得出的比值；（2）由（1）中的结果，结合余弦定理求出和的值，再利用同角三角函数的平方关系求出，最后利用三角形的面积公式求出的面积．【题目详解】（1）由正弦定理得，则，所以，即，化简可得．又，所以．所以，即.（2）由（1）知．由余弦定理及，，得，．解得，因此因为，且所以因此．【题目点拨】在解三角形的问题时，要根据已知元素的类型合理选择正弦定理与余弦定理解三角形，除此之外，在有边和角的等式中，优先边化角，利用三角恒等变换思想化简求解，能起到简化计算的作用．21、(1)；(2)①见证明；②见证明；(