2024届广东肇庆市数学高一下期末复习检测试题含解析

2024届广东肇庆市数学高一下期末复习检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．直线的倾斜角的大小为（）A． B． C． D．2．用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=（a≠1，n∈N*），在验证n=1成立时，左边的项是（）A．1 B．1+a C．1+a+a2 D．1+a+a2+a43．已知直线l和平面，若直线l在空间中任意放置，则在平面内总有直线和A．垂直 B．平行 C．异面 D．相交4．函数的图象是（）A． B． C． D．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．12 B．18C．24 D．306．若向量，，且，则＝()A． B．－ C． D．－7．一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180度所形成的几何体是（）A．两个共底面的圆锥 B．半圆锥 C．圆锥 D．圆柱8．下列说法正确的是（）A．锐角是第一象限的角，所以第一象限的角都是锐角;B．如果向量，则；C．在中，记，，则向量与可以作为平面ABC内的一组基底；D．若，都是单位向量，则.9．三棱锥V-ABC中，VA=VB=AC=BC=2，AB=23，VC=1，则二面角V-AB-CA．30° B．45° C．60° D．90°10．已知等差数列中，,则（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知,,,是球的球面上的四点，，，两两垂直，,且三棱锥的体积为，则球的表面积为______．12．若、为单位向量，且，则向量、的夹角为_______.（用反三角函数值表示）13．在中，，，是角，，所对应的边，，，如果，则________.14．已知三棱锥外接球的表面积为，面，则该三棱锥体积的最大值为____。15．等差数列，，存在正整数，使得，，若集合有4个不同元素，则的可能取值有______个.16．已知正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值.18．已知等比数列的公比，前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.19．如图已知平面，，，，，，点，分别为，的中点.(1)求证：//平面;(2)求直线与平面所成角的大小.20．已知.（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式能成立，求实数的取值范围．21．如图，渔船甲位于岛屿的南偏西方向的处，且与岛屿相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．（1）求渔船甲的速度；（2）求的值．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

由直线方程,可知直线的斜率，设直线的倾斜角为，则，又，所以，故选．2、C【解题分析】

在验证时，左端计算所得的项，把代入等式左边即可得到答案.【题目详解】解：用数学归纳法证明，

在验证时，把当代入，左端.

故选：C.【题目点拨】此题主要考查数学归纳法证明等式的问题，属于概念性问题.3、A【解题分析】

本题可以从直线与平面的位置关系入手：直线与平面的位置关系可以分为三种：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行，在这三种情况下再讨论平面中的直线与已知直线的关系，通过比较可知：每种情况都有可能垂直．【题目详解】当直线l与平面相交时，平面内的任意一条直线与直线l的关系只有两种：异面、相交，此时就不可能平行了，故B错．当直线l与平面平行时，平面内的任意一条直线与直线l的关系只有两种：异面、平行，此时就不可能相交了，故D错．当直线a在平面内时，平面内的任意一条直线与直线l的关系只有两种：平行、相交，此时就不可能异面了，故C错．不管直线l与平面的位置关系相交、平行，还是在平面内，都可以在平面内找到一条直线与直线垂直，因为直线在异面与相交时都包括垂直的情况，故A正确．故选:A．【题目点拨】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力和思维能力．4、D【解题分析】

求出分段函数的解析式，由此确定函数图象.【题目详解】由于，根据函数解析式可知，D选项符合.故选：D【题目点拨】本小题主要考查分段函数图象的判断，属于基础题.5、C【解题分析】试题分析：由三视图可知，几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图所示，三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，所以几何体的体积为V=1考点：几何体的三视图及体积的计算．【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图的应用及体积的计算，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答的难点在于根据几何体的三视图还原出原几何体和几何体的度量关系，属于中档试题．6、B【解题分析】

根据向量平行的坐标表示，列出等式，化简即可求出．【题目详解】因为，所以，即，解得，故选B．【题目点拨】本题主要考查向量平行的坐标表示以及同角三角函数基本关系的应用．7、C【解题分析】

根据旋转体的知识，结合等腰三角形的几何特征，得出正确的选项.【题目详解】由于等腰三角形三线合一，故等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180度所形成的几何体是圆锥.故选C.【题目点拨】本小题主要考查旋转体的知识，考查等腰三角形的几何特征，属于基础题.8、C【解题分析】

可举的角在第一象限，但不是锐角，可判断A；考虑两向量是否为零向量，可判断B；由不共线，推得与不共线，可判断C；考虑两向量的方向可判断D，得到答案．【题目详解】对于A，锐角是第一象限的角，但第一象限的角不一定为锐角，比如的角在第一象限，但不是锐角，故A错误；对于B，如果两个非零向量满足，则，若存在零向量，结论不一定成立，故B错误；对于C，在中，记，可得与不共线，则向量与可以作为平面内的一组基底，故C正确；对于D，若都是单位向量，且方向相同时，；若方向不相同，结论不成立，所以D错误．故选C．【题目点拨】本题主要考查了命题的真假判断，主要是向量共线和垂直的条件，着重考查了判断能力和分析能力，属于基础题．9、C【解题分析】

取AB中点O,连结VO,CO,由等腰三角形的性质可得，VO⊥AB,CO⊥AB,∠VOC是二面角V-AB-C的平面角，由此利用余弦定理能求出二面角的平面角V-AB-C的度数.【题目详解】取AB中点O,连结VO,CO,∴三棱锥V-ABC中，VA=VB=AC=BC=2,AB=23所以VO⊥AB,CO⊥AB∴∠VOC是二面角V-AB-C的平面角，VO=VCO=B∴cos∴∠VOC=60∴二面角V-AB-C的平面角的度数为60∘【题目点拨】本题主要考查三棱锥的性质、二面角的求法，属于中档题.求二面角的大小既能考查线线垂直关系，又能考查线面垂直关系，同时可以考查学生的计算能力，是高考命题的热点，求二面角的方法通常有两个思路：一是利用空间向量，建立坐标系，这种方法优点是思路清晰、方法明确，但是计算量较大；二是传统方法，求出二面角平面角的大小，这种解法的关键是找到平面角.10、C【解题分析】

,.故选C.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

根据三棱锥的体积可求三棱锥的侧棱长，补体后可求三棱锥外接球的直径，从而可计算外接球的表面积．【题目详解】三棱锥的体积为，故，因为，，两两垂直，，故可把三棱锥补成正方体，该正方体的体对角线为三棱锥外接球的直径，又体对角线的长度为，故球的表面积为.填.【题目点拨】几何体的外接球、内切球问题，关键是球心位置的确定，必要时需把球的半径放置在可解的几何图形中．如果球心的位置不易确定，则可以把该几何体补成规则的几何体，便于球心位置和球的半径的确定．12、.【解题分析】

设向量、的夹角为，利用平面向量数量积的运算律与定义计算出的值，利用反三角函数可求出的值.【题目详解】设向量、的夹角为，由平面向量数量积的运算律与定义得，，，因此，向量、的夹角为，故答案为.【题目点拨】本题考查利用平面向量的数量积计算平面向量所成的夹角，解题的关键就是利用平面向量数量积的定义和运算律，考查运算求解能力，属于中等题.13、【解题分析】

首先利用同角三角函数的基本关系求出，再利用正弦定理即可求解.【题目详解】在中，，，即，，，即，，，，，即，，，即，，，由正弦定理得，，，故答案为：【题目点拨】本题考查了同角三角函数的基本关系以及正弦定理解三角形，需熟记公式，属于基础题.14、【解题分析】

根据球的表面积计算出球的半径.利用勾股定理计算出三角形外接圆的半径，根据正弦定理求得的长，再根据圆内三角形面积的最大值求得三角形面积的最大值，由此求得三棱锥体积的最大值.【题目详解】画出图像如下图所示，其中是外接球的球心，是底面三角形的外心，.设球的半径为，三角形外接圆的半径为，则，故在中，.在三角形中，由正弦定理得.故三角形为等边三角形，其高为.由于为定值，而三角形的高等于时，三角形的面积取得最大值，由于为定值，故三棱锥的体积最大值为.【题目点拨】本小题主要考查外接球有关计算，考查三棱锥体积的最大值的计算，属于中档题.15、4【解题分析】

由题意得为周期数列，集合有4个不同元素，得，在分别对取值讨论即可.【题目详解】设等差数列的首项为，公差为，则，，由题意，存在正整数，使得，又集合有4个不同元素，得，当时，，即，，或（舍），，取，则，在单位圆上的4个等分点可取到4个不同的正弦值，即集合可取4个不同元素；当，，即，，在单位圆上的5个等分点不可能取到4个不同的正弦值，故舍去；同理可得：当，，，集合可取4个不同元素；当时，，单位圆上至少9个等分点取4个不同的正弦值，必有至少3个相等的正弦值，不符合集合的元素互异性，故不可取应舍去.故答案：4.【题目点拨】本题考查等差数列的通项公式、集合元素的性质以及三角函数的周期性，理解分析问题能力，属于难题.16、.【解题分析】

根据题意画出正方体,由线段关系即可求得三棱锥的体积.【题目详解】根据题意,画出正方体如下图所示:由棱锥的体积公式可知故答案为:【题目点拨】本题考查了三棱锥体积求法,通过转换顶点法求棱锥的体积是常用方法,属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析；(2)【解题分析】

(1)取中点,连接,可得四边形为平行四边形.再证明平面得到,进而得到即可.(2)利用等体积法,求出三棱锥的体积,进而求得到平面的距离,再得出直线与平面所成角的正弦值即可.【题目详解】(1)取中点,连接,则.又,故.故四边形为平行四边形.故.又,故,又底面,平面,故.又,,故,又,故平面.又平面,故.又,,故(2)因为底面,故.又,,.故.设到平面的距离为,则,解得.故直线与平面所成角的正弦值为【题目点拨】本题主要考查了线线垂直的证明以及利用等体积法求点到面的距离以及线面角的求解,需要根据题意利用线面线线垂直的判定与性质证明,同时也需要在等体积法时求解对应的面的面积等.属于中档题.18、(1)．(2)【解题分析】

（1）根据条件列出等式，求解公比后即可求解出通项公式；（2）错位相减法求和，注意对于“错位”的理解.【题目详解】解：（1）由，得，则∴，∴数列的通项公式为．（2）由，∴，①，②①②，得，∴．【题目点拨】本题考查等比数列通项和求和，难度较易.对于等差乘以等比的形式的数列，求和注意选用错位相减法.19、(1)见证明；(2)【解题分析】

（1）要证线面平行即证线线平行，本题连接A1B,（2）取中点,连接证明平面，再求出，得到．【题目详解】（1）如图，连接，在中，因为和分别是和的中点，所以．又因为平面，所以平面；取中点和中点，连接，，．因为和分别为和，所以，，故且，所以，且．又因为平面，所以平面，从而为直线与平面所成的角．在中，可得，所以．因为，，所以，，，所以，，又由，有．在中，可得；在中，，因此．所以直线与平面所成角为．【题目点拨】求线面角一般有两个方法：几何法做出线上一点到平面的高，求出高；或利用等体积法求高向量法．20、(1)(1)或.【解题分析】

（1）运用绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集即可；（1）求得|t﹣1|+|1t+3|的最小值，原不等式等价为|x+l|﹣|x﹣m|的最大值，由绝对值不等式的性质，以及绝对值不等式的解法，可得所求范围．【题目详解】解：（1）由题意可得|x﹣1|+|1x+3|＞4，当x≥1时，x﹣1+1x+3＞4，解得x≥1；当x＜1时，1﹣x+1x+3＞4，解得0＜x＜1；当x时，1﹣x﹣1x﹣3＞4，解得x＜﹣1．可得原不等式的解集为（﹣∞，﹣