2023-2024学年四川省成都市蓉城名校联盟高一（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2023-2024学年四川省成都市蓉城名校联盟高一（上）期末数学试卷一、选择题。本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合A＝{x|0⩽x⩽4}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∪B＝（）A．[0，2） B．（﹣1，4] C．（﹣1，2） D．（﹣1，2]2．（5分）命题“∀x≥0，2x+x﹣1≥0”的否定是（）A．∀x≥0，2x+x﹣1＜0 B． C．∃x≥0，2x+x﹣1＜0 D．3．（5分）cos＝（）A． B． C． D．4．（5分）函数f（x）＝3x+2x﹣15的零点所在大致区间为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）5．（5分）函数的部分图象大致为（）A． B． C． D．6．（5分）已知函数在R上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．（1，2） B． C． D．7．（5分）若，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b8．（5分）已知函数，若f（x）在区间[﹣1，+∞）上单调递增，则m的取值范围为（）A．（﹣∞，2] B．[2，+∞） C． D．（1，2]二、多选题。本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）下列论述中，正确的有（）A．集合{a，b，c}的非空子集的个数有7个 B．第一象限角一定是锐角 C．若f（x）为定义在区间（a，b）上的连续函数，且有零点，则f（a）•f（b）＜0 D．x＞2是x＞1的充分不必要条件（多选）10．（5分）下列函数中，既是奇函数，又在定义域内是增函数的有（）A． B．y＝2x+2﹣x C．y＝2x﹣2﹣x D．y＝2x3+x（多选）11．（5分）已知，则下列结论正确的有（）A． B． C． D．（多选）12．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且满足以下三个条件：①f（﹣x）+f（x）＝0；②f（x）＝f（2﹣x）；③f（1）＝2，则下列说法正确的有（）A．f（x）的图象关于直线x＝﹣1轴对称 B．f（x）的图象关于点（2，0）中心对称 C．f（x+4）＝f（x） D．f（1）+f（2）+f（3）+…+f（17）＝10三、填空题。本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若扇形的弧长为8，圆心角为4rad，则扇形的面积为．14．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b＝2，则的最小值为．15．（5分）已知f（x）为定义在R上的偶函数，在区间[0，+∞）上单调递减，且满足f（3）＝0，则不等式的解集为．16．（5分）若函数f（x）＝恰有四个零点，则a的取值范围是．四、解答题．本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）化简求值（需要写出计算过程）．（1）；（2）．18．（12分）已知．（1）求tanα；（2）求2sin2α﹣sinαcosα的值．19．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣x+a（a＜0）．（1）若a＝﹣2，求函数在区间[﹣2，1]上的最大值与最小值；（2）求不等式f（x）＜0的解集．20．（12分）若函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a的值，并证明函数f（x）的单调性；（2）若存在实数x∈[﹣1，1]使得不等式f（k•4x）+f（1﹣2x+1）≥0能成立，求实数k的取值范围．21．（12分）某环保组织自2023年元旦开始监测某水域中水葫芦生长的面积变化情况并测得最初水葫芦的生长面积，此后每隔一个月（每月月底）测量一次，通过近一年的观察发现，自2023年元旦起，水葫芦在该水域里生长的面积增加的速度越来越快．最初测得该水域中水葫芦生长的面积为n（单位：m2），二月底测得水葫芦的生长面积为24m2，三月底测得水葫芦的生长面积为64m2，水葫芦生长的面积y（单位：m2）与时间x（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是y＝nax（n＞0，a＞1）；另一个是，记2023年元旦最初测量时间x的值为0．（1）请你判断哪个函数模型更适合，说明理由，并求出该函数模型的解析式；（2）该水域中水葫芦生长的面积在几月起是元旦开始研究时其生长面积的240倍以上？（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）．22．（12分）已知函数f（x）＝ln（ae2x﹣3ex+4）的定义域为R．（1）求实数a的取值范围；（2）若∃m，n∈R，使得f（x）在区间[m，n]上单调递增，且值域为[m，n]，求实数a的取值范围．

2023-2024学年四川省成都市蓉城名校联盟高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题。本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合A＝{x|0⩽x⩽4}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∪B＝（）A．[0，2） B．（﹣1，4] C．（﹣1，2） D．（﹣1，2]【分析】利用并集定义、不等式性质直接求解．【解答】解：集合A＝{x|0⩽x⩽4}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∪B＝（﹣1，4]．故选：B．【点评】本题考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）命题“∀x≥0，2x+x﹣1≥0”的否定是（）A．∀x≥0，2x+x﹣1＜0 B． C．∃x≥0，2x+x﹣1＜0 D．【分析】根据全称命题的否定从而可求解．【解答】解：由题意可得“∀x≥0，2x+x﹣1≥0”的否定为“∃x≥0，2x+x﹣1＜0”，故C项正确．故选：C．【点评】本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．3．（5分）cos＝（）A． B． C． D．【分析】直接利用三角函数的诱导公式化简求值．【解答】解：cos＝cos（）＝cos＝．故选：A．【点评】本题考查利用诱导公式化简求值，是基础的计算题．4．（5分）函数f（x）＝3x+2x﹣15的零点所在大致区间为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【分析】利用零点的存在性定理判断零点所在区间．【解答】解：因为f（x）＝3x+2x﹣15为单调递增函数，满足f（2）＝﹣2＜0，f（3）＝18＞0，f（2）•f（3）＜0，由零点的存在性定理可知，∃x0∈（2，3），使得f（x0）＝0．故选：C．【点评】本题考查函数零点的判定定理，属于基础题．5．（5分）函数的部分图象大致为（）A． B． C． D．【分析】判断函数的奇偶性，再取特殊值．【解答】解：因为，，所以函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除C项、D项，∵f（1）＝﹣2+1＝﹣1＜0，B项正确，A错误．故选：B．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，利用排除法是解决本题的关键，是基础题．6．（5分）已知函数在R上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．（1，2） B． C． D．【分析】根据分段函数单调性的性质进行求解即可．【解答】解：∵函数f（x）为增函数，∴，即，得≤a＜2．故选：D．【点评】本题主要考查函数单调性的应用，根据分段函数单调性的性质建立不等式关系是解决本题的关键．7．（5分）若，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b【分析】利用幂函数和对数函数的单调性比较．【解答】解：∵，∵，∴，又∵ln2＜lne＝1，∴b＜a＜c．故选：A．【点评】本题主要考查了幂函数和对数函数的性质，属于基础题．8．（5分）已知函数，若f（x）在区间[﹣1，+∞）上单调递增，则m的取值范围为（）A．（﹣∞，2] B．[2，+∞） C． D．（1，2]【分析】将问题转化为mx2+4x+3＞0在[﹣1，+∞）上恒成立，且t＝mx2+4x+3在[﹣1，+∞）上单调递增，进而可求得结果．【解答】解：因为f（x）在区间[﹣1，+∞）上单调递增，所以mx2+4x+3＞0在[﹣1，+∞）上恒成立，且t＝mx2+4x+3在[﹣1，+∞）上单调递增，所以．故选：D．【点评】本题考查复合函数的单调性的应用，是基础题．二、多选题。本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）下列论述中，正确的有（）A．集合{a，b，c}的非空子集的个数有7个 B．第一象限角一定是锐角 C．若f（x）为定义在区间（a，b）上的连续函数，且有零点，则f（a）•f（b）＜0 D．x＞2是x＞1的充分不必要条件【分析】将集合{a，b，c}的非空子集一一列举，即可判断A，举出反例，比如370°即可判断B，举出反例即可判断C，由充分不必要条件的定义即可判断D．【解答】解：集合{a，b，c}的非空子集有{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}共7个，故A正确；因为370°是第一象限角，但不是锐角，故B错误；函数f（x）＝x2在区间（﹣1，1）上有零点，但不满足f（﹣1）•f（1）＜0，故C错误；x＞2是x＞1的充分不必要条件，故D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查非空子集的定义，象限角，以及充分条件、必要条件的定义，属于基础题．（多选）10．（5分）下列函数中，既是奇函数，又在定义域内是增函数的有（）A． B．y＝2x+2﹣x C．y＝2x﹣2﹣x D．y＝2x3+x【分析】根据题意，由对勾函数的性质可判断A项，由偶函数定义可判断B项，由奇函数定义及单调性的性质可判断C项、D项，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A项，由对勾函数的性质可知，在定义域内不是增函数，故A项不成立；对于B项，因为f（﹣x）＝2﹣x+2x＝f（x），所以f（x）＝2x+2﹣x为偶函数，故B项不成立；对于C项，因为f（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣f（x），所以f（x）＝2x﹣2﹣x为奇函数，又因为y＝2x在R上是增函数，y＝2﹣x在R上是减函数，所以由单调性的性质可知，f（x）＝2x﹣2﹣x在R上是增函数，故C项成立；对于D项，因为f（﹣x）＝﹣2x3﹣x＝﹣f（x），所以f（x）＝2x3+x为奇函数，又因为y＝2x3在R上是增函数，y＝x在R上是增函数，所以由单调性的性质可知，y＝2x3+x在R上是增函数，故D项成立．故选：CD．【点评】本题考查函数奇偶性、单调性的判断，注意常见函数的奇偶性和单调性，属于基础题．（多选）11．（5分）已知，则下列结论正确的有（）A． B． C． D．【分析】利用sin2θ+cos2θ＝1，根据完全平方公式，可得，（cosθ﹣sinθ）2＝，再结合θ的取值范围，以及三角函数在各象限的符号，求解即可．【解答】解：将两边平方得，，因为sin2θ+cos2θ＝1，所以，所以，又，所以，即选项A正确；此时sinθ＜0，cosθ＞0，即cosθ﹣sinθ＞0，所以，即选项D正确；因为，所以，所以，即选项B错误，选项C正确．故选：ACD．【点评】本题考查三角函数的求值，熟练掌握同角三角函数的基本关系，三角函数在各象限的符号是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．（多选）12．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且满足以下三个条件：①f（﹣x）+f（x）＝0；②f（x）＝f（2﹣x）；③f（1）＝2，则下列说法正确的有（）A．f（x）的图象关于直线x＝﹣1轴对称 B．f（x）的图象关于点（2，0）中心对称 C．f（x+4）＝f（x） D．f（1）+f（2）+f（3）+…+f（17）＝10【分析】由题意可得函数的奇偶性与对称性，借助赋值法推导出其周期性与其它性质，运用所得性质及f（1）＝2计算其它值即可得．【解答】解：∵f（﹣x）+f（x）＝0，∴f（x）为奇函数，又∵f（x）＝f（2﹣x），∴f（x）的对称轴为x＝1；A选项：∵f（x）＝f（2﹣x），∴﹣f（x）＝f（x﹣2），∴f（﹣x）＝f（x﹣2），∴f（x）的图象关于直线x＝﹣1轴对称，故A正确；C选项：∵f（x）＝f（2﹣x），∴f（x﹣2）＝﹣f（x），∴f（x﹣4）＝f（x），∴f（x+4）＝f（x），故C正确；B选项：∵f（﹣x）+f（x）＝0，∴f（﹣x）+f（4+x）＝0，∴f（x）的图象关于点（2，0）中心对称，故B正确；D选项：∵f（1）＝2，f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，f（4）＝f（0）＝0，f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（17）＝4[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）＝2，故D错误．故选：ABC．【点评】本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算求解能力，属于中档题．三、填空题。本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若扇形的弧长为8，圆心角为4rad，则扇形的面积为8．【分析】由弧长公式求出扇形的半径r，再由扇形的面积公式求解即可．【解答】解：∵l＝8，α＝4，∴，∴．故答案为：8．【点评】本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题．14．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b＝2，则的最小值为+．【分析】由题意整体代入可得＝（）（a+b）＝（3++），由基本不等式可得．【解答】解：∵a＞0，b＞0，且a+b＝2，∴＝（）（a+b）＝（3++）≥（3+2）＝+，当且仅当＝即b＝a时取等号，结合a+b＝2可解得a＝2﹣2且b＝4﹣2，故答案为：+．【点评】本题考查基本不等式求最值，整体代入并变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题．15．（5分）已知f（x）为定义在R上的偶函数，在区间[0，+∞）上单调递减，且满足f（3）＝0，则不等式的解集为（﹣3，0）∪（3，+∞）．【分析】根据给定条件，利用偶函数的性质及函数单调性求解即得．【解答】解：因为f（x）为定义在R上的偶函数，原不等式可转化为，化为或，而f（﹣3）＝f（3）＝0，于是为或，又函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，则f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，解，得x＞3，解，得﹣3＜x＜0，所以原不等式的解集为（﹣3，0）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣3，0）∪（3，+∞）．【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查运算求解能力，属于基础题．16．（5分）若函数f（x）＝恰有四个零点，则a的取值范围是[2，4）．【分析】由二次函数的性质可得当a≥2时，函数f（x）在[2，+∞）上有两个零点，由题意可得当x＜2时，f（x）＝2|x|﹣a＝0也有两个不同的解，即有y＝a与y＝2|x|在（﹣∞，2）上有两个不同的交点，由指数函数的性质可求得a的范围，即可得答案．【解答】解：因为当x≥2时，f（x）＝（x﹣a）（x﹣2a），令f（x）＝0，则有x1＝a，x2＝2a，所以a≥2时，函数f（x）在[2，+∞）上有两个零点，又因为函数y＝f（x）有四个零点，所以当x＜2时，f（x）＝2|x|﹣a＝0也有两个不同的解，即a＝2|x|在（﹣∞，2）上有两个不同的解，所以y＝a与y＝2|x|在（﹣∞，2）上有两个不同的交点，所以1＜a＜4，综上所述，2≤a＜4．故答案为：[2，4）．【点评】本题考查了函数的零点、二次函数的性质、指数函数的性质、转化思想及分类讨论思想，属于中档题．四、解答题．本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）化简求值（需要写出计算过程）．（1）；（2）．【分析】（1）根据指数、根式运算的性质计算可得答案；（2）根据指数、对数运算的性质计算可得答案．【解答】解：（1）＝＝2；（2）＝＝3×2+lg（2×5）＝6+1＝7．【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．18．（12分）已知．（1）求tanα；（2）求2sin2α﹣sinαcosα的值．【分析】（1）上下同除cosα，将正余弦化成正切，计算得解；（2）借助sin2α+cos2α＝1，将原式化为齐次分式后上下同除cos2α，将正余弦化成正切后，借助tanα的值即可得解．【解答】解：（1）∵，∴7（tanα﹣1）＝3+2tanα，解得tanα＝2．（2）＝．【点评】本题考查三角函数的化简求值，熟练掌握同角三角函数的基本关系是解题的关键，考查运算求解能力，属于中档题．19．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣x+a（a＜0）．（1）若a＝﹣2，求函数在区间[﹣2，1]上的最大值与最小值；（2）求不等式f（x）＜0的解集．【分析】（1）根据二次函数的单调性来求最值；（2）分，，讨论，分别求解即可．【解答】解：（1）∵f（x）＝﹣2x2﹣x﹣2，∴对称轴为，∴f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减，∴，∵f（﹣2）＝﹣8，f（1）＝﹣5，∴f（x）min＝﹣8；（2）易知函数f（x）的判别式Δ＝1﹣4a2，①当时，Δ＝0，f（x）＜0等价于（x+1）2＞0，则f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）；②当时，Δ＞0，方程f（x）＝0的两根分别为，且x1＞x2，则f（x）＜0的解集为；③当时，Δ＜0，则f（x）＜0的解集为R．综上所述：当时，解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）；当时，解集为；当时，解集为R．【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查不等式的解法，训练了利用配方法及函数的单调性求函数的最值，是中档题．20．（12分）若函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a的值，并证明函数f（x）的单调性；（2）若存在实数x∈[﹣1，1]使得不等式f（k•4x）+f（1﹣2x+1）≥0能成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）由f（0）＝0求得a的值，运用函数单调性的定义证明即可．（2）由f（x）在R上的奇函数可得f（k•4x）≥f（2x+1﹣1），由f（x）在[﹣1，1]上单调递增可得∃x∈[﹣1，1]，k•4x≥2x+1﹣1成立，进而可得∃x∈[﹣1，1]，成立，令，运用换元法将问题转化为，k≥﹣（t﹣1）2+1，进而求y＝﹣（t﹣1）2+1在上的最小值即可．【解答】解：（1）因为函数为定义在R上的奇函数，所以，解得a＝2，经检验a＝2符合题意，所以，证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则＝因为x1＜x2，所以，所以，，，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在R上单调递增．（2）因为f（k•4x）+f（1﹣2x+1）≥0，f（x）在R上的奇函数，所以f（k•4x）≥﹣f（1﹣2x+1）＝f（2x+1﹣1），由（1）知函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增，所以∃x∈[﹣1，1]，k•4x≥2x+1﹣1成立，即∃x∈[﹣1，1]，成立，设，则，所以，k≥2t﹣t2＝﹣（t﹣1）2+1，所以k≥[﹣（t﹣1）2+1]min，，设g（t）＝﹣（t﹣1）2+1，，则g（t）在上单调递增，在[1，2]上单调递减，又，g（2）＝0，所以g（t）min＝0，所以k的范围为{k|k≥0}．【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的判断，还考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．21．（12分）某环保组织自2023年元旦开始监测某水域中水葫芦生长的面积变化情况并测得最初水葫芦的生长面积，此后每隔一个月（每月月底）测量一次，通过近一年的观察发现，自2023年元旦起，水葫芦在该水域里生长的面积增加的速度越来越快．最初测得该水域中水葫芦生长的面积为n（单位：m2），二月底测得水葫芦的生长面积为24m2，三月底测得水葫芦的生长面积为64m2，水葫芦生长的面积y（单位：m2）与时间x（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是y＝nax（n＞0，a＞1）；另一个是，记2023年元旦最初测