2022-2023学年黑龙江省牡丹江第一高级中学高一（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2022-2023学年黑龙江省牡丹江第一高级中学高一（上）期末数学试卷一、单选题（每小题只有一个答案，每小题5分，共8题）1．（5分）与角﹣390°终边相同的最小正角是（）A．﹣30° B．30° C．60° D．330°2．（5分）已知角θ为第四象限角，则点P（sinθ，tanθ）位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（5分）“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件4．（5分）已知，且，则的值为（）A． B． C． D．5．（5分）函数图象的一条对称轴方程为（）A． B． C． D．6．（5分）若θ为第三象限角，且tanθ＝2，则的值是（）A．4 B．﹣4 C． D．7．（5分）已知α∈（0，），sin（α+）＝，则sinα的值为（）A．﹣ B． C． D．﹣8．（5分）中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，玉佩不再是简单的装饰，而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用．不同形状．不同图案的玉佩又代表不同的寓意．如图1所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分（如图2），经测量知AB＝CD＝4，BC＝4，AD＝8，则该玉佩的面积为（）A． B． C． D．二、多选题（每小题5分，选对得5分，不全得2分，选错得0分，共4题）（多选）9．（5分）下列函数以（，0）为对称中心的有（）A．y＝sinx B．y＝tanx C．y＝sin（x+） D．y＝sin2x（多选）10．（5分）已知α终边过点P（m，2），且，则m得值可以为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．4（多选）11．（5分）计算下列几个式子，结果为的是（）A．tan25°+tan35°+tan25°tan35° B．2（sin35°cos25°+sin55°cos65°） C． D．（多选）12．（5分）关于函数，下列说法正确的是（）A． B． C．不等式的解集为 D．若存在实数a，b，c，d，e（a＜b＜c＜d＜e）满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d）＝f（e），则af（a）+bf（b）+cf（c）+df（d）+ef（e）的取值范围为（0，7）三、填空题（每小题5分，共4题）13．（5分）330°化成弧度制为弧度．14．（5分）函数y＝tan（2x+）的最小正周期是．15．（5分）已知，则＝．16．（5分）的最大值是3，f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），其相邻两个对称中心的距离为2，则f（1）+f（2）+…+f（2022）＝．四、解答题（共6小题，共70分）17．（10分）已知．（1）求tanθ的值；（2）求的值．18．（12分）已知sinα，cosα是关于x的方程17x2+7x+m＝0的两根，α∈（0，π）．（1）求sin2α的值；（2）求tanα的值．19．（12分）已知函数．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若，，求的值．20．（12分）如图，有一块半径为1的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在圆周上．记梯形ABCD的周长为y．（1）设∠CAB＝θ，将y表示成θ的函数；（2）求梯形ABCD周长的最大值．21．（12分）已知函数，________．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在上的值域．请在①函数f（x）的图象关于直线x＝对称，②函数的图象关于原点对称，③函数f（x）在上单调递减，在上单调递增这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并加以解答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．22．（12分）对于函数f（x），若在其定义域内存在实数x0，t，使得f（x0+t）＝f（x0）+f（t）成立，称f（x）是“t跃点”函数，并称x0是函数f（x）的“t跃点”．（1）若函数f（x）＝sinx﹣m，x∈R是“跃点”函数，求实数m的取值范围；（2）若函数f（x）＝sin（x+m），x∈R，求证：“sinm＝0”是“对任意t∈R，f（x）为‘t跃点’函数”的充要条件；（3）是否同时存在实数m和正整数n使得函数h（x）＝cos2x﹣m在[0，nπ]上有2021个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的m和n的值；若不存在，请说明理由．

2022-2023学年黑龙江省牡丹江第一高级中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（每小题只有一个答案，每小题5分，共8题）1．（5分）与角﹣390°终边相同的最小正角是（）A．﹣30° B．30° C．60° D．330°【分析】根据终边相同角的定义转化为k360°+α形式即可．【解答】解：﹣390°＝﹣2×360°+330°，即与角﹣390°终边相同的最小正角是330°，故选：D．【点评】本题主要考查终边相同角的化简，根据条件转化为k360°+α形式是解决本题的关键．2．（5分）已知角θ为第四象限角，则点P（sinθ，tanθ）位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据角的范围以及正弦，正切的三角函数值符号即可判断求解．【解答】解：因为角θ为第四象限角，则sinθ＜0，tanθ＜0，所以点P在第三象限，故选：C．【点评】本题考查了三角函数值的符号问题，考查了学生的运算能力，属于基础题．3．（5分）“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【分析】由sinx可得﹣+2kπ＜x＜+2kπ，k∈Z．再结合充要条件的定义即可判断出关系．【解答】解：由sinx可得﹣+2kπ＜x＜+2kπ，k∈Z，∵（0，）⫋（﹣+2kπ，+2kπ）k∈Z，∴“0＜x＜”是“sinx＜”成立的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了三角函数的图像和性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（5分）已知，且，则的值为（）A． B． C． D．【分析】以为整体，结合诱导公式运算求解．【解答】解：因为，且，所以．故选：D．【点评】本题考查三角函数的诱导公式，属于基础题．5．（5分）函数图象的一条对称轴方程为（）A． B． C． D．【分析】根据正弦函数的对称性与最值之间的关系分析判断．【解答】解：由题意可知：，，，均不是最值，故ABC错误；，为最大值，可知为函数f（x）图象的一条对称轴方程，故D正确．故选：D．【点评】本题考查了正弦函数性质，属于基础题．6．（5分）若θ为第三象限角，且tanθ＝2，则的值是（）A．4 B．﹣4 C． D．【分析】根据题意结合同角三角关系分析求解，注意三角函数值的符号判断．【解答】解：由题意可得：，且θ为第三象限角，则cosθ＜0，1+sinθ＞0，1﹣sinθ＞0，可得．故选：B．【点评】本题主要考查了同角三角关系的应用，解题时要注意三角函数值的符号判断，属于基础题．7．（5分）已知α∈（0，），sin（α+）＝，则sinα的值为（）A．﹣ B． C． D．﹣【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos（α+）的值，进而利用两角差的正弦公式即可求解sinα的值．【解答】解：因为α∈（0，），sin（α+）＝，所以α+∈（，），所以cos（α+）＝＝，则sinα＝sin[（α+）﹣]＝sin（α+）cos﹣cos（α+）sin＝×﹣×＝．故选：B．【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．8．（5分）中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，玉佩不再是简单的装饰，而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用．不同形状．不同图案的玉佩又代表不同的寓意．如图1所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分（如图2），经测量知AB＝CD＝4，BC＝4，AD＝8，则该玉佩的面积为（）A． B． C． D．【分析】将玉佩的扇形形状补充完整，根据切割补形法，并结合线段成比例，扇形的面积公式即可求解．【解答】解：如图所示，延长AB，DC交于点O，过点O作OE⊥BC于E，OF⊥AD于F，则点E，F分别为BC，AD的中点，且OB＝OC，因为BC∥AD，所以＝，即＝＝，解得OB＝4＝OC＝BC，所以△OBC是边长为4的等边三角形，所以∠BOC＝，所以玉佩的面积S＝S扇形﹣S△OBC＝•∠BOC•OA2﹣BC•OE＝××82﹣×4×2＝﹣4．故选：B．【点评】本题考查扇形面积的求法，熟练掌握切割补形法，扇形的面积公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．二、多选题（每小题5分，选对得5分，不全得2分，选错得0分，共4题）（多选）9．（5分）下列函数以（，0）为对称中心的有（）A．y＝sinx B．y＝tanx C．y＝sin（x+） D．y＝sin2x【分析】分别求解x＝时的函数值判断ACD；画图说明B正确．【解答】解：∵sin＝1≠0，∴y＝sinx不关于（，0）中心对称；正切函数的图象如图：由图可知，y＝tanx关于（，0）中心对称；∵sin（+）＝sin＝≠0，∴y＝sin（x+）不关于（，0）中心对称；∵sin（2×）＝sinπ＝0，∴y＝sin2x关于（，0）中心对称．故选：BD．【点评】本题考查三角函数的对称性，考查数形结合思想，是基础题．（多选）10．（5分）已知α终边过点P（m，2），且，则m得值可以为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．4【分析】根据三角函数的定义可得m的方程，求解即可．【解答】解：根据三角函数的定义可得，，所以m＝0或m2+22＝5，即m＝±1．故选：ABC．【点评】本题主要考查了三角函数的定义，属于基础题．（多选）11．（5分）计算下列几个式子，结果为的是（）A．tan25°+tan35°+tan25°tan35° B．2（sin35°cos25°+sin55°cos65°） C． D．【分析】利用两角和的正切公式判断选项A，利用角和的正弦公式判断选项B，利用正切的二倍角公式判断选项C，利用两角和的正切公式判断选项D．【解答】解：对于A，因为，所以，故tan25°+tan35°+tan25°tan35°＝（1﹣tan25°tan35°）+tan25°tan35°＝，故选项A正确；对于B，2（sin35°cos25°+sin55°cos65°）＝2（sin35°cos25°+sin25°cos35°）＝2sin60°＝，故选项B正确；对于C，＝，故选项C错误；对于D，＝，故选项D正确．故选：ABD．【点评】本题考查了三角函数的化简求值，两角和差公式以及二倍角公式的应用，解题的关键是灵活应用三角函数的基本公式，属于基础题．（多选）12．（5分）关于函数，下列说法正确的是（）A． B． C．不等式的解集为 D．若存在实数a，b，c，d，e（a＜b＜c＜d＜e）满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d）＝f（e），则af（a）+bf（b）+cf（c）+df（d）+ef（e）的取值范围为（0，7）【分析】根据给定条件计算判断选项A，B；解不等式判断选项C；作出函数y＝f（x）的图象与直线y＝t，数形结合计算判断D作答．【解答】解：因函数，则，f（3）＝4﹣3＝1，A不正确；，，B正确；当x＞2时，，即，即得，当0≤x≤2时，0≤f（x）≤1，当x＞2，f（x）＜2，所以0≤x≤2，，即，即或，解得或，所以的解集为，C不正确；因存在实数a，b，c，d，e（a＜b＜c＜d＜e）满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d）＝f（e），令f（a）＝t，则方程f（x）＝t有5个互异实根a，b，c，d，e，即函数y＝f（x）的图象与直线y＝t有5个公共点，作出函数y＝f（x）的图象与直线y＝t，如图，因当0≤x≤2时，0≤f（x）≤1，则0＜t＜1，又f（x）＝|sinπx|在[0，1]上的图象关于直线对称，在[1，2]上的图象关于直线对称，因此有：a+b＝1，c+d＝3，e＝4﹣t，则af（a）+bf（b）+cf（c）+df（d）+ef（e）＝t（8﹣t），而函数﹣t2+8t在（0，1）上递增，则有0＜t（8﹣t）＜7，所以af（a）+bf（b）+cf（c）+df（d）+ef（e）的取值范围为（0，7），D正确．故选：BD．【点评】本题考查分段函数的性质，函数的零点与方程根的关系，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．三、填空题（每小题5分，共4题）13．（5分）330°化成弧度制为弧度．【分析】根据180°为π弧度计算即可．【解答】解：因为180°＝π，所以．故答案为：．【点评】本题考查了弧度制的应用，属于基础题．14．（5分）函数y＝tan（2x+）的最小正周期是．【分析】根据正切函数的周期公式即可得到结论．【解答】解：∵y＝tan（2x+），∴函数的周期T＝，故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数的周期的计算，利用三角函数的周期公式是解决本题的关键，比较基础．15．（5分）已知，则＝．【分析】对sinα，cosα由二倍角公式化简即可得到答案．【解答】解：因为，所以，所以．故答案为：．【点评】本题主要考查了二倍角公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16．（5分）的最大值是3，f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），其相邻两个对称中心的距离为2，则f（1）+f（2）+…+f（2022）＝4043．【分析】利用二倍角的余弦公式可求出A的值，利用f（0）＝2结合φ的取值范围可求得φ的值，由题意求出函数f（x）的最小正周期，可求出2ω的值，即可得出函数f（x）的解析式，再利用函数f（x）的周期性可求得f（1）+f（2）+……+f（2022）的值．【解答】解：因为，且A＞0，函数f（x）的最大值为，可得A＝2，所以，f（x）＝cos（2ωx+2φ）+2，因为f（0）＝cos2φ+2＝2，则cos2φ＝0，因为，则0＜2φ＜π，所以，，则，所以，，因为函数f（x）的相邻两个对称中心的距离为2，则该函数的最小正周期为T＝2×2＝4，故，所以，，因为，f（2）＝2﹣sinπ＝2，，f（4）＝2﹣sin2π＝2，且2022＝4×505+2，所以，f（1）+f（2）+……+f（2022）＝505×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）＝505×（1+2+3+2）+1+2＝505×8+3＝4043．故答案为：4043．【点评】本题考查的知识要点：函数的关系式的求法，函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．四、解答题（共6小题，共70分）17．（10分）已知．（1）求tanθ的值；（2）求的值．【分析】（1）根据题意整理可得sinθ＝﹣2cosθ，进而可得结果；（2）根据齐次式问题分析求解，注意“1”的转化．【解答】解：（1）因为，整理得sinθ＝﹣2cosθ，所以；（2）因为tanθ＝﹣2，所以＝＝＝＝＝．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18．（12分）已知sinα，cosα是关于x的方程17x2+7x+m＝0的两根，α∈（0，π）．（1）求sin2α的值；（2）求tanα的值．【分析】（1）根据韦达定理可得，，结合三角恒等变换分析求解；（2）结合（1）可得，进而可得sinα，cosα，即可得结果，注意三角函数值的符号判断．【解答】解：（1）因为sinα，cosα是关于x的方程17x2+7x+m＝0的两根，则，，又因为（sinα+cosα）2＝1+2sinαcosα，即，解得，由，解得．（2）由（1）可得，因为α∈（0，π），则2α∈（0，2π），且，可得，则，结合，解得，所以．【点评】本题考查三角恒等变换和同角三角函数的基本关系，属于中档题．19．（12分）已知函数．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若，，求的值．【分析】（1）化简三角函数的解析式为，结合正弦函数的性质可得函数f（x）的单调递增区间；（2）由得，利用平方关系得到，再利用两角和正弦公式得到的值．【解答】解：（1），令，解得，即，所以递增区间．（2）因为，所以，所以，又因为，所以，所以．【点评】本题考查三角恒等变换和三角函数的性质，属于中档题．20．（12分）如图，有一块半径为1的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在圆周上．记梯形ABCD的周长为y．（1）设∠CAB＝θ，将y表示成θ的函数；（2）求梯形ABCD周长的最大值．【分析】（1）过点C作CF垂直于AB于点F，由∠ACB＝90°可得BC＝2sinθ，BF＝BCsinθ＝2sin2θ，进而得到CD＝2﹣4sin2θ，从而求出y关于θ的表达式．（2）由（1）可知y＝﹣4sin2θ+4sinθ+4，，设t＝sinθ，则t∈（0，），所以y＝﹣4t2+4t+4，利用二次函数的性质即可求出y的最大值．【解答】解：（1）过点C作CF垂直于AB于点F，如图所示，∵下底AB是半圆的直径，∴∠ACB＝90°，AB＝2，∴BC＝ABsinθ＝2sinθ，又∵∠BCF＝∠CAB＝θ，∴BF＝BCsinθ＝2sin2θ，∴CD＝AB﹣2BF＝2﹣4sin2θ，∴梯形ABCD的周长y＝AB+CD+2BC＝2+2﹣4sin2θ+4sinθ＝﹣4sin2θ+4sinθ+4，且，即y＝﹣4sin2θ+4sinθ+4，．（2）y＝﹣4sin2θ+4sinθ+4，，设t＝sinθ，则t∈（0，），∴y＝﹣4t2+4t+4，∴当t＝时，y取得最大值5，即当θ＝时，y取得最大值5．【点评】本题主要考查了三角函数的实际应用，考查了利用二次函数的性质求最值，属于中档题．21．（12分）已知函数，________．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在上的值域．请在①函数f（x）的图象关于直线x＝对称，②函数的图象关于原点对称，③函数f（x）在上单调递减，在上单调递增这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并加以解答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【分析】（1）针对每个序号逐一分析，利用整体法代入计算φ的值；（2）利用整体法求解函数在上的最大值和最小值，即可求出值域．【解答】解：（1）若选①，函数f（x）的图象关于直线对称，则，k∈Z，即，k∈Z．又因为，所以，所以．若选②，函数的图象关于原点对称，则，k∈Z，即，k∈Z，又因为，所以，所以．若选③，函数f（x）在上单调递减，在上单调递增，则函数f（x）在处取得最小值，则，则，k∈Z，即，k∈Z．又因为，所以，所以．（2）由（1）可得函数，因为，所以，所以当时，；当时，．所以函数f（x）在上的值域为．【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题．22．（12分）对于函数f（x），若在其定义域内存在实数x0，t，使得f（x0+t）＝f（x0）+f（t）成立，称f（x）是“t跃点”函数，并称x0是函数f（x）的“t跃点”．（1）若函数f（x）＝sinx﹣m，x∈R是“跃点”函数，求实数m的取值范围；（2）若函数f（x）＝sin（x+m），x∈R，求证：“sinm＝0”是“对任意t∈R，f（x）为‘t跃点’函数”的充要条件；（3）是否同时存在实数m和正整数n使得函数h（x）＝cos2x﹣m在[0，nπ]上有2021个