考研数学一(常微分方程)模拟试卷4(题后含答案及解析)

考研数学一（常微分方程）模拟试卷4(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．设可微函数f(x，y)在点(xo，yo)取得极小值，则下列结论正确的是A．f(xo，y)在y=yo处的导数等于零．B．f(xo，y)存y=yo处的导数大于零．C．f(xo，y)在y=yo处的导数小于零．D．f(xo，y)在y=yo处的导数不存在．正确答案：D涉及知识点：常微分方程2．设非齐次线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，C为任意常数，则该方程的通解是A．C[y1(x)-y2(x)]．B．y1(x)+C[y1(x)-y2(x)]．C．C[y1(x)+y2(x)]．D．y1(x)+C[y1(x)+y2(x)]．正确答案：B涉及知识点：常微分方程3．y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+y2是该方程的解，λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解，则A．λ=1/2,μ=1/2.B．λ=-1/2,μ=-1/2.C．λ=2/3,μ=1/3.D．λ=2/3,μ=2/3.正确答案：A涉及知识点：常微分方程4．微分方程yy”+y’2=0满足初始条件y丨x=0=1，y’丨x=0=1/2的特解是__________.正确答案：涉及知识点：常微分方程5．设A与B均为n,阶矩阵，且A与B合同，则()．A．A与B有相同的特征值B．detA=detC．A与B相似D．r(A)=r(B)正确答案：D涉及知识点：常微分方程6．已知二次型f(x1，x2，x3)=3x12+cx22+x32-2x1x2+2x1x3-2x2x3的秩为2，则c的值为()．A．0B．1C．2D．3正确答案：B涉及知识点：常微分方程7．二次型f(x1，x2，x3)=x12+4x22+3x32-4x1x2+2x1x3+8x2x3的秩等于()。A．0B．1C．2D．3正确答案：D涉及知识点：常微分方程填空题8．当x→0时，f(x)=x-sinax与g(x)=x2ln(1-bx)是等价无穷小，则a=______,b=______.正确答案：1,-1/6涉及知识点：常微分方程9．已知当x→0时，函数f(x)=3sinx-sin3x与cxk是等价无穷小，则k=_______,c=______.正确答案：3,4涉及知识点：常微分方程10．设二元函数z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则dz丨(1，0)=___________.正确答案：2edx+(e+2)dy涉及知识点：常微分方程11．设z=(x+ey)x，则θz/θx丨(1，0)=___________.正确答案：2ln2+1涉及知识点：常微分方程12．设函数z=(1+x/y)x/y,则dz丨(1，1)=___________.正确答案：-(2ln2+1)涉及知识点：常微分方程13．设z=f(xy,x/y)+g(y/x)，其中f,g均可微，则θz/θx=________.正确答案：yf1’+(1/y)f2’-(y/x2)g’涉及知识点：常微分方程14．设函数f(u)可微，且f(0)=1/2，则z=f(4x2-y2)在点(1，2)处的全微分dz丨(1，2)=_________.正确答案：4dx-2dy涉及知识点：常微分方程15．初值问题的解_____________．正确答案：y=1/2(x2-1).涉及知识点：常微分方程16．当k=________时，向量β=(1，k，5)能由向量α1=(1，-3，2)，α2=(2，-1，1)线性表示．正确答案：-8涉及知识点：常微分方程17．已知α=(3，5，7，9)，β=(-1，5，2，0)，x满足2α+3x=β，则x=________.正确答案：(-7/3，-5/3，-4,-6)涉及知识点：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18．求微分方程x2y’+xy=y2满足y丨x=1=1的特解．正确答案：所给方程可写成y’=(y/x)2-y/x，为齐次方程，令y/x=μ，方程化为xμ’+μ=μ2-μ.分离变量得+C1即（μ-2）/μ=Cx2，以μ=y/x代入上式得y-2x=Cx2y．代入y丨x=1=1，得C=-1．故所求特解为y=2x/(1+x)2．涉及知识点：常微分方程19．设f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0，f’(0)=1，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0为一全微分方程，求f(x)及此全微分方程的通解．正确答案：由全微分方程的条件，有即x2+2xy-f(x)=f”(x)+2xy，亦即f”(x)+f(x)=x2．因而f(x)是初值问题的解，从而解得f(x)=2cosx+sinx+x2-2．原方程化为[xy2+2y-(2cosx+sinx)y]dx+(x2y+2x-2sinx+cosx)dy=0．先用凑微分法求左端微分式的原函数：(1/2y2dx2<涉及知识点：常微分方程20．设向量组α1，α2，…，αs线性无关，作线性组合β1=α1+μ1αs，β2=α2+μ2αs，…，βs-1=αs-1+μs-1αs，则向量组β1，β2