河南省南阳市重点学校2023-2024学年高二上学期第四次月考数学试题（含答案）

南阳重点中学2023秋期高二年级第四次月考数学试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知，分别是平面，的法向量，则平面，交线的方向向量可以是（）A. B. C. D.2.若点，到直线的距离相等，则（）A.1 B. C.1或 D.或23.如图，在空间四边形中，若向量，，点E，F分别为线段，的中点，则的坐标为（）A. B. C. D.4.已知椭圆，点P为椭圆上的任一点，则P点到直线：的距离的取值范围为（）A. B. C. D.5.若，则下列结论中正确的是（）A. B.C. D.6.在的展开式中，项的系数为（）A.299 B.300 C. D.7.教务处准备给高三某班的学生排周六的课表，上午五节课，下午三节课.若准备英语、物理、化学、地理各排一节课，数学、语文各排两节课连堂，且数学不排上午的第一节课，则不同的排课方式有（）A.216种 B.384种 C.408种 D.432种8.如图，小明从街道的A出发，选择一条最短路径到达C处，但B处正在维修不通，则不同的路线有（）种A.66 B.86 C.106 D.126二、多选遇（每题5分，共20分）9.已知n，，，则（）A. B.C. D.10.已知圆与直线相交于C，D两点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（）A.直线过定点 B.若，则C.的最小值为 D.的面积的最大值为211.已知曲线，其中，则下列结论正确的是（）A.方程表示的曲线是椭圆或双曲线B.若，则曲线的焦点坐标为和C.若，则曲线的离心率D.若方程表示的曲线是双曲线，则其焦距的最小值为12.如图，在正方体中，点E，F满足，，且x，y，.记与所成角为，与平面所成角为，则（）A.若，三棱锥的体积为定值B.若，存在，使得平面C.，y，，D.若，则在侧面内必存在一点P，使得三、填空题（每题5分，共20分）13.某校安排高二年级（1）~（5）班共5个班去A，B，C，D四个教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则高二（1）班被安排到A基地的排法总数为______种.14.某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，4人只会日语，2人既会英语，也会日语，现从中选6人，其中3人进行英语导游，另外3人进行日语导游，则不同的选择方法有______种.15.口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，对其编号红球1，2，白球3，4，从中不放回的依次取出两个球，事件“第一次取出的是红球”，事件“第二次取出的是红球”，事件“取出的两球同色”，事件“取出的两球不同色”，则以下命题所有正确的序号是______.①.A与B互斥 ②.C与D互为对立事件③.A与C相互独立 ④.16.已知，为椭圆E的左、右焦点，斜率为的直线与椭圆E交于为B、P，若以为直径的圆过点，则椭圆E的离心率为______.四、解答题（共70分）17.（10分）三台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02，第三台出现废品的概率是0.01，加工出来的零件放在一起，已知第一台加工的零件与第二台加工的零件一样多，第三台加工的零件数是总加工零件数的一半.（1）求任意取出的1个零件是废品的概率；（2）如果任意取出的1个零件是废品，求它是第二台车床加工的概率.18.（12分）在的展开式中，前三项的二项式系数之和等于79，常数项为.（1）求n和a的值；（2）求展开式中系数最大的项.19.（12分）现有0，1，2，3四个数字可供选用，组成没有重复数字的自然数（1）把这些自然数从小到大排成一列，1230在其中排第几?（2）其中的四位数中偶数有多少个?所有这些偶数它们各个数位上的数字之和是多少?20.（12分）如图1，已知梯形中，，E是边的中点，，，.将沿折起，使点A到达点P的位置，且，如图2，M，N分别是，的中点.图1图2（1）求平面与平面夹角的余弦值；（2）求点P到平面的距离.21.（12分）如图，在三棱锥中，平面平面，平面平面，于点E，，，，，F为线段上的一点.（1）证明：平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积.22.（12分）已知椭圆与直线有唯一的公共点M，过点M且与垂直的直线交x轴，y轴于，两点.（1）求k，m满足的关系式；（2）当点M运动时，求点的轨迹的方程；（3）若轨迹与直线交于P，Q两点，O为坐标原点，求面积的最大值.月考四参考答案1-5BCBBC6-8CDB9.ABD10.ABD11.BCD12.ABC13.6014.9215.②③16.17.【解】（1）设A，表示“第i台机床加工的零件”；B表示“出现废品”；C表示“出现合格品”..（2）.18.【详解】（1）由题意可知，展开式中前三项的二项式系数之和为，整理可得，解得，又的展开式的通项为（，1，2，…，12），令，可得，所以，展开式中的常数项为，解得，故，.（2）由不等式组（，2，3，…，11），解得，所以，所以展开式中系数最大的项为.19.【详解】（1）1位自然数有个；2位自然数有个；3位自然数有个；4位自然数中小于1230的有“10XX”型个，1203共3个；所以1230是此数列的第项.（2）四位数偶数有个位是0和个位是2两种情况，其中个位是0有种；个位不是0有种.所以四位偶数共有10个.它们各个数位上的数字之和为；20.【详解】（1）因为图1中，所以图2中，，又，所以分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，.因为，，，，平面，所以平面，所以是平面的一个法向量，设平面的法向量，由得取，则，，所以平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.（2）由（1）知是平面的一个法向量，又，所以点P到平面的距离.21.【详解】（1）因为，平面平面，平面平面，且平面，可得平面，由平面，则，在中，由余弦定理可得，即，则，可得，平面平面，平面平面，平面，可得平面，由平面，则，，，平面，所以平面.（2）如图，以A为坐标原点，，分别为y，z轴所在的直线，过A作平行于的直线为x轴所在的直线，建立空间直角坐标系，因为，，可知，，则，，，，，可得，，，设平面的法向量为，则，令，则，，可得，设，，可知，即，可得，若直线与平面所成角的正弦值为，则，整理得，解得或（舍去），可