小波变换在图像处理中的应用

摘要小波分析是当前应用数学和工程学科中的一个迅速开展的新领域,小波函数在空间域和频率域均有良好的局部性,因而在图像处理领域有着日益广泛的应用。小波分析是非冗余的,分解后的总数据量不大,小波分解后各分量是相互正交的,这些优点使的小波变换在图像压缩中应用能取得较好的效果。随着数字图像处理需求的不断增长，相关应用也不断的增长。小波变换是近些年开展起来的集数学、信息处理于一体的时频分析工具。目前，小波变换技术已广泛地应用于图像处理、视频处理、语音处理以及数字信号处理等领域。本文简要介绍了小波变换方法，对小波分析在数字图像预处理的应用进行了简要讨论，并对图像去噪、图像压缩、以及图像增强等应用进行了一些有意义的尝试。关键词:图像处理；小波变换；图像增强；图像压缩AbstractWaveletanalysisisthecurrentappliedmathematicsandengineeringdisciplinesarapiddevelopmentofnewarea,thewaveletfunctioninthespacedomainandfrequencydomainallhavegoodlocal,sotheimageprocessingareahasdaybydaythewidespreadapplication.Waveletanalysisisredundant,decompositionofthetotalquantityisnotbig,waveletdecompositionafterthecomponentismutualorthogonal,theseadvantagesofwavelettransformintheimagecompressionapplicationscanobtaingoodeffect.Alongwiththedigitalimageprocessingdemandisgrowing,andtherelatedapplicationisalsoconstantlygrowth.Wavelettransformisdevelopedinrecentyearswithmathematics,informationprocessingintheintegrationoftime-frequencyanalysistool.Atpresent,thewavelettransformtechnologyhasbeenwidelyappliedtoimageprocessing,videoprocessing,speechprocessinganddigitalsignalprocessing,etc.Thispaperbrieflyintroducesthewavelettransformmethodofwaveletanalysisintheapplicationofdigitalimagepretreatmentarebrieflydiscussed,andtheimagedenoising,imagecompression,andimageenhancementapplicationssuchassomesignificanttotry.Keyword:Imageprocessing;Wavelettransform;Imageenhancement;Imagecompression1小波变换的分析方法引言小波变换实际上是生成特殊问题域中正交基的一套技术。小波变换是一种常用工具,它把函数、算子和数据分开,放进不同频率的组件中,小波变换允许研究者分别研究每个组件。术语小波是根据[Daubechies]在1982年形成的。小波分析被看作是希尔伯特(H)空间中的一般分析方法。在H空间中,问题会被生成为研究者感兴趣的空间中的一个直交基,在此空间中的方程式能够以基的方式解出。H空间技术对解线性常微分方程特别有用,同时允许求解者将某些偏微分方程简化成两个或者多个常微分方程,简化出的常微分方程通过别离的变量相互关联。近年来,为近似任意非线性函数,小波网络也得到了开展,尤其是前馈神经网络,以及基于后向繁殖学习算法的小波分解技术的开展,很大的推动了小波网络的开展。1.1希尔伯特空间分析对H空间分析过程做出正确的评价,有助于理解小波变换。H空间分析过程如下:1.1一个内积空间(IPS)包含一个(闭的)向量空间和定义在该空间上的一个内积。例如,令V是该空间中,定义在实数域(R)上的实函数集,对于任意包含在集合V中的函数f、g,f与g的内积可以定义为:〔1〕当<f,g>=0时,我们称函数f和函数g直交。1.1.2定义感兴趣的函数f的范数以内积的形式给出,即从内积推导出的范数,类似于欧几里德空间的长度。使用这个范数,一个H空间Lp(V)可被定义为:,很自然,在令P=2的时候,这个感兴趣的空间包含在V中所有平方可积的函数f。1.1.3H空间上的线性算子L对所有包含其中的常数c和函数f、g,具有如下性质:通常,这个算子被指定为两个局部,第一局部是一个线性微分表达式L(y),第二局部是一个被独立指定的算子域Dom(L),算子域来自于算子L的上确界,上确界定义了最大算子,最大算子可能会进一步被某些强制性的边界条件所限制。再重复一下,上面提到的矩阵一定是双线性矩阵:且具有共轭对称性,正定性:这些内积的性质可以用来证明Schwarz不等式以及三角不等式:以上性质对任意内积空间均成立。最后,类似空间中两个点的几何距离,可以定义一个均方度量来表征函数之间的距离。在内积空间中的函数f和g的距离可以定义为:。内积空间中任意一个函数以正交基的形式存在,当正交基的维数增加时,可以用该度量方法来论证函数的收敛性。线性算子的本征值可以通过解下面的方程找到:该方程可以决定存在的本征值,,...,然后找到相关的本征方程,,...,这组本征方程满足方程,。H空间(R)中不止有一个正交基。例如,傅立叶变换能生成H空(R)中4个别离的正交基。通过确定特殊算子的本征空间,直交基也能被发现。这些本征空间的直接叠加就是算子的域,假设算子的域是整个H空间,那么可以找到该空间中的一个基。1.2小波分析技术H空间的主要价值在于,算子可以用与之相关的本征空间来分析,例如基函数。哈尔基是一种直交基,1910年由哈尔发现,它是的最早的小波基。在H空间分析中,可以找到线性算子的本征空间联合,并确定这个空间的基。例如,可以选择某种带常系数的常微分方程来描述某种简单的谐振。本征空间的基可以很容易的由无限区间上的正弦函数、余弦函数构成。对于对应问题域的基,小波分析还提供了其它的意义。例如,哈尔基可以由一个公式形式的所谓母函数生成。这个策略是生成小波族的一般模式。下面介绍一个方法,从适宜的函数生成小波族,n:m,n(x)(2)对特别选择的和a0,b0,,n构成空间的一个正交基。特殊的,当取a0=2,b0=1时,存在满足:m,n(x)形成一个L2(R)空间中的正交基。这是我们将会使用的生成函数。哈尔基能在这个意义下,由哈尔函数生成:哈尔函数如图1所示:图1哈尔函数(x)为了构建一个由正交基构成的哈尔族函数m,n,必须满足以下条件:(1)m,n是直交的,赋范的。(2)任意f(R)能被m,n中的一局部扩展计算出任意精度的近似值。首先,我们检查直交性,m,n的支持域很容易被看作,,因此可得出结论当。注意另外一个方面的问题,具有相同刻度m的哈尔小波不会重迭,除非它们有相同的n。这个性质可以导出积分:因此,有在不同刻度m下检查直交性有一点困难。给出函数,可得到支和。对哈尔小波和(刻度m=0时的4个小波)的情况如图2所示。很容易检查,如果,那么的支持域完全存在于是常数的区域中。因此,在积分中,的支持被它自己取消。通过切换小波,对我们能看到同样的事情。注意小波的高度是宽度的平方根分之一,结合前面的结果,可得:。因此,是紧支正交基小波。现在可以显示,对任意f(R),被扩展为有限数目的是可能的,因此有:,为任意小数。换言之,就是在平方度量的意义上,寻找一个局部和来逼近真值。在此,我们概括一下该证明。因为任意函数f(R)是勒贝格可积的,所以可知f能被一个紧支函数任意逼近,这个紧支函数在区间上是分段常数(对足够大的支持和j)。选择两个紧连的区间,令其恰恰重迭某个哈尔小波的区间,并用一个常数表示它们之间的差异。这个过程不断重复,直到f的支持域被刻度为-j+1的小波覆盖。然后,选择一个常数,使用刻度为-j+2的小波覆盖f的支持域。重复这个过程,直到小波的支持域吞没f函数的支持域,在每一点,连续小波开始表示(递减的)局部和的总误差。这个过程能够不明确的延伸,直到到达给定的误差限。因此,f可以被哈尔小波的局部序列任意逼近。1.3一个抽样应用用哈尔小波来表示一个熟悉的函数f(x)=sin2x。使用熟悉的H空间方式来生成傅立叶-哈尔系数:。通过把内积显式的写成积分,有:(3)(3)式也可写为:。这样,就找到了f的傅立叶-哈尔系数,它非常简单,是f在两个相邻有限域上积分的差值。 上面对函数f的处理过程,系数可以由下式决定:,该式积分可得:使用该函数生成的结果,我们可以看到,m,n在区间,可以很好的近似。原函数的域为[0,1]。该结果如图3所示。图3当m>-4时,的哈尔近似下面讨论能生成直交族的平滑函数。一些适合生成直交族的原函数如图4所示。图4哈尔小波基函数的一些常见应用函数图4-a中哈尔函数是紧支的阶梯函数。对称的母函数是方波。注意,哈尔函数已经在内积空间L2(R)被赋范。小波框架函数可以立即被生成基函数族。这个基在单比特信号处理中被广泛应用,使用这个基来揭示小波变换的特性也是很有用的。图4-b是墨西哥草帽函数,这个对称原函数正好是高斯分布函数的二阶导:。这是给原函数赋范的一个简单情况,然后使用离散小波框架函数生成基函数族,这个函数广泛应用在图像处理中。小波变换实际上是生成特殊问题域中正交基的一套技术,小波分析能够在空间域和频率域,同时对信号进行多分辨分析,小波变换在数学领域、电子信息、图像分析等工程领域有着独立的起源和开展,使用VLSI电路实现小波变换的方法已经实现,小波变换的工程应用将更广泛。2小波变换在图像压缩中的应用2.1引言小波分析是当前应用数学和工程学科中一个迅速开展的新领域,经过近10年的探索研究,重要的数学形式化体系已经建立,理论根底更加扎实。小波变换具有空间—频率局部性、方向性、多分辨率性和带宽在对数频率轴上等宽的优点,并与视觉特性接近,所以不仅可以利用统计特性,还可以利用视觉特性来提高编码效率,并且用QMF和金字塔算法还可以实现图像的正交、无冗余分解。从这些优点看,小波变换是一种很好的图像的分解、表示方法,利用小波变换可以较好地实现图像的变换编码。2.2图像压缩简介图像压缩编码技术可以追溯到1948年提出的电视信号数字化,到今天已经有5O余年的历史了。到了上世纪7O年代和8O年代,图像压缩技术的主要成果表达在变换编码技术上,矢量量化编码技术也有较大开展,有关于图像编码技术的科技成果和科技论文与日俱增,图像编码技术开始走向繁荣。自80年代后期以后,由于小波变换理论、分形理论、人工神经网络理论、视觉仿真理论的建立,人们开始突破传统的信源编码理论,例如不再假设图像是平稳的随机场。图像压缩编码向着更高的压缩比和更好的压缩质量的道路前进,进入了一个崭新的、欣欣向荣的大开展时期。数字图像压缩技术可以分为无损压缩技术和有损压缩技术。图像无损压缩技术主要有:位平面编码、无损预测编码(DP(、M)以及有损编码与残差无损编码的组合编码技术。传统的数字图像有损压缩技术主要有预测(PCM、DPCM)、方块化(BlockTruncationCoding)、向量量化VQ(VectorQuantization)、层次化(Hierarchicalcoding)、子频带(SubbandCoding)和变换(TransformCoding)等等。近年来,人们又提出了神经网络法、几何模型化、分形和小波变换等编码技术。通常认为,JBIG、JPEG、MEPG一1、MPEG一2、MEPG一4以及酝酿中MPEG一7图像压缩的国际标准是针对不同应用的最正确压缩算法之一。在这些标准之中成功地采用了以上的一种或多种混合压缩技术。一般说来,DPCM对于保持物体在景像中的位置是最正确的,能提供良好的潜像与灰度性能,保存背景信息,实现简单。但边缘清晰度幅界,缩减比率有限;同时,由于误差会传播,所以抗通道误码的能力较弱。JBIG是针对二值图像的压缩标准。JPEG那么是处理彩色或单色静止图像的压缩标准。利用它可以获得较高的压缩比,并保持较好的信噪比,从而大大节省图获得较高的压缩比,并保持较好的信噪比,从而大大节省图像存储空间,降低通信带宽,但是编码过程会使物体在景像中的位置略有移动(即发生几何畸变)。另外,在高压缩比场合,JPEG的重建图像在水平和垂直方向可能有晕圈、幻影,产生‘‘方块〞效应。MPEG是针对运动图像压缩的国际标准,它能到达比JPEG更高的压缩比。2.3去噪处理去噪处理是图像预处理中的重要课题。由于实际图像的空间频率成份复杂，用普通的方法直接提取边缘往往不是十分有效。而用小波变换可以将图像分解成不同频率成份的小波分量，然后再从这些不同层次的小波分量中找出信号本身的特征以提取边缘就比拟有效了。基于小波变换域阈值法的去噪依据是通过对图像进行小波变换，得到小波变换系数，信号对应的小波系数包含有重要的信息，其数据较少，幅值变化较大。而噪声对应的小波系数的分布那么恰好相反，通过设定特定的阈值对小波系数进行取舍，得到估计小波系数，最后通过估计小波系数进行小波重构，得到去噪后的图像。在对图像进行去噪的过程中比拟常用的方法有硬阈值法和软阈值法。硬阈值估计法的定义如下：(4)软阈值方法是把小于阈值的数值都设为0,而把大于阈值的数值都减去一个常数：(5)我们采用软阈值法对待测图像进行计算机模拟实验,结果如图1所示，由上图可以看出，消噪滤去了大局部高频噪声，消噪效果较好。图1图像去噪2.4图像压缩图像压缩是多媒体的关键技术之一，它解决了图像数据间存在着各种数据信急的冗余的问题。小波变换用于图像压缩具有压缩比大、压缩速率快和压缩后保持图像特征根本不变等特点，因此在图像压缩中被广泛使用。小波变换压缩根本的原理是将图像信号做域的变换，通过变换图像的主要能量大都集中在少数的变换系数上，对少数的变换系数进行量化编码就可以实现对图像压缩。对要压缩的图像作小波分解后，可得到一系列不同分辨率的子图像，对一个图像来说，表现一个图像最主要的局部是低频局部，所以一个最简单的压缩方法是利用小波分解，去掉图像的高频局部而只保存低频局部。离散小波变换后的系数分布为：{Sjf(n,m){W1jf(n,m),W2jf(n,m),W3jf(n,m)}j=-j,…-1}(n,m)∈Z×Z，(6)W1jf(n,m)、W2jf(n,m)、W3jf(n,m)分别代表f(x,y)垂直方向、对角方向和水平方向的高频分量的小波分解系数，Sjf给出了f(x,y)的低频分量的小波分解系数。对该方法进行计算机模拟实验,结果如图2所示。从上图可以看出，第一次压缩我们是提取原始图像中小波分解第一层的低频信号，此时压缩效果较好;第二次压缩是提取第一层分解低频局部的低频局部，其压缩比比拟大，但在图像的清晰度方面看不出明显的区别。图2图像压缩2.3图像增强基于小波变换的图像增强技术在目前图像处理领域研究中尚处于探索性阶段，图像增强是指按特定的需要突出图像上的某些信息，同时削弱或去除某些不重要的信息的图像处理方法。应用小波分析的多分辨率特性进行图像增强处理需指明具体方法。我们采用基于小波变换进行图像增强的高频加强法进行研究。高频加强法是在小波分解与精确重建的根底上，对分解图像进行线性运算处理，抓住其中代表纹理的高频成分进行增强，然后再经过小波反变换恢复图像。设{Vj}是一张量积空间，构成L2(R)上的一个多分辨率分析，φ和准分别是相应的尺度函数和小波函数，f∈Vj为任一图像函数，那么有分解:(7)如果引进一些加权值，得到(8)那么可以起到增强高频的效果。选择固定的加权因子K，增强所得到的全部高频成分。所以如果在反变换后再通过对度增强处理，就能够得到质量很好的增强图像。采用高频加强法对该待测图像进行计算机模拟实验，结果如图3所示：图3图像增强3结论小波变换继承了Fourier分析的优点,同时又克服它的许多缺点,所以它在静态和动态图像压缩领域得到广泛的应用,并且已经成为某些图像压缩国际标准(如MPEG一4)的重要环节。当然,像其他变换编码一样,在压缩比特别高的时候,小波变换压缩量化后的重建图像也会产生几何畸变。这些年来关于小波变换图像压缩算法的研究和应用都十分活泼。国外一些公司将这种技术用于Internet环境中的图像数据传输,提供商业化的效劳,对于缓解网络带宽缺乏、加快图像信息传播速度起到了很好的推进作用。作为一种优秀的图像压缩算法,小波变换在这一领域具有非常好的应用前景。小波变换在图像去噪、图像压缩和图像增强中的应用，在图像去噪过程中，我们采用小波变换阈值法，该方法计算量小，简单使用，在实际中有着广泛的应用；在图像压缩过程中，我们采用了小波分解去掉图像的高频局部而只保存低