倾斜角与斜率 高二上学期数学人教A版2019选择性必修第一册

2.1直线的倾斜角与斜率2.1.1倾斜角与斜率1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程；3.掌握倾斜角和斜率之间的关系及过两点的直线的斜率公式.知识点1：直线的倾斜角复习引入：点是构成直线的基本元素.在平面直角坐标系中，可用坐标表示点；那么，如何用坐标表示直线呢？Oxyl问题1：确定一条直线的几何要素是什么？对于平面直角坐标系中的一条直线l（如右图），如何利用坐标系确定它的位置？OxyAB基本事实：两点确定一条直线；设A，B为直线上的两点，则

是该直线的方向向量；两点确定一条直线⇔一点和一个方向确定一条直线；结论：一点和一个方向确定一条直线.问题2：在平面直角坐标系中，经过一点P

可以作无数条直线l1，l2，l3，…，它们组成一个直线束.观察右图说说这些直线的区别是什么？Oxyα3α2α1规定：平面直角坐标系中，水平直线的方向向右；区别：各直线相对于x轴的倾斜程度不同；即直线向上的方向与x轴的正方向所成的角不同.l1l2l3l'Pα'概念讲解直线倾斜角的定义：当直线

l与

x轴相交时，以

x轴为基准，

x轴正向与直线

l向上的方向

之间所成的角

α

叫做直线

l的倾斜角；Oxyα3α2α1l1l2l3l'Pα'

l：倾斜角为

0°小结：直线上的一个定点以及它的倾斜角即可确定平面直角坐标系中一条直线位置.问题3：在平面直角坐标系中，只需要知道直线上一个定点及它的倾斜角，就可以确定直线吗？在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等；因此，可用倾斜角表示一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向.练一练C

知识点2：直线的斜率

αOxy

l（1）

Oxy

P1(–1，1)

ααP（2）

（3）若直线l经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α与P1，P2的坐标有怎样的关系？（3）①xαOyP1P2PαxαOyP1P2Pα（3）②xαOyP2P1PαxαOyP2P1Pα思考：观察上述结果，说说你有什么发现？（3）分情况讨论：①当向量

的方向向上时，②当向量

的方向向上时，问题2：当直线P1P2与x轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？

OxyP2P1P2P1思考：当直线P1P2与y轴平行或重合时，式子还成立吗？不成立；当直线的倾斜角α=90°时，x1=x2，上述式子没有意义.总结归纳

xαOyP1P2PαxαOyP2P1Pα

概念讲解斜率的定义：当一条直线的倾斜角α

的正切值叫做这条直线的斜率；斜率常用小写字母k

表示，即：k=tanα

(α≠90°)

问题3：根据斜率的定义，完成下列填空：图示倾斜角

(范围)α=0°0°<α<90°α=_____90°<α<180°斜率

(范围)__________________不存在_________90°0(0，+∞)(–∞，0)思考：结合上述结果，说说当直线的倾斜角由0°逐浙增大到180°时，其斜率如何变化？为什么？总结归纳

在平面直角坐标系中，倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度.例：如图，已知A(3，2)，B(–4，1)，C(0，–1)，求直线AB、BC、CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.OxyA–2–1–4–3213213–1BC典例剖析由kAB>0及

kCA>0可知，直线AB

与CA

的倾斜角均为锐角；由kBC<0可知，直线BC

的倾斜角为钝角.解：直线AB的斜率：直线BC的斜率：直线CA的斜率：练一练1.判断正误，并说出理由.（1）任一直线都有倾斜角且都存在斜率（）（2）倾斜角为135°的直线的斜率为1（）（3）若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k=tanα

（）（4）直线斜率的取值范围是(–∞，+∞)（）​√×××思考：直线的方向向量与斜率之间有什么关系？xOyP1P2若直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，则直线l的方向向量

的坐标为：(x2–x1，y2–y1)；