两点间的距离公式 高二上学期数学人教A版2019选择性必修第一册_第1页
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2.3直线的交点坐标与距离公式2.3.2两点间的距离公式1.推导并掌握两点间的距离公式；2.会用坐标法解决平面几何中的问题.知识点1：两点间的距离公式问题1：已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求P1，P2间的距离|P1P2|？思考：当P1为原点时，距离公式该如何变化？

由此得到两点间的距离公式：思考：你能利用

P1(x1，y1)，P2(x2，y2)构造直角三角形，再用勾股定理推导两点间的距离公式吗？与向量法比较，你有什么体会？分类讨论：

①x1=x2，

y1≠y2：|P1P2|=|y2–y1|；②x1≠x2，

y1=y2：|P1P2|=|x2–x1|；xyOP2(x2，y2)P1(x1，y1)①xyOP1(x1，y1)P2(x2，y2)②

xyOP1(x1，y1)P2(x2，y2)③Q

(x2，y1)归纳小结

1.两点间的距离公式：2.两点间的距离公式与两点的先后顺序无关：例1：求下列两点间的距离：

（1）P(6，0)，Q(0，−2)；（2）M(2，1)，N(5，−1).典例剖析

练一练1.求下列两点间的距离：（1）A(6，0)，B(−2，0)；（2）C(0，−4)，D(0，−1).解：（1）代入两点间距离公式得：|AB|=|6−(−2)|=8；

（2）代入两点间距离公式得：|CD|=|−4−(−1)|=3.

典例剖析

𝑥2+2𝑥+5=𝑥2−4𝑥+11，解得x

=1，即所求点为P(1，0)；

练一练2.已知A(a，−5)与B(0，10)两点间的距离是17，求

a

的值.

注意：运用距离公式求解时，需注意二次方程有两个根：

两根相等时，是一个点：两根不相等时，是两个点.知识点2：坐标法解平面几何问题例3：用坐标法证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.yxO(b,c)(a+b,c)(a,0)(0,0)ABDC解：如右图,以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，则有A(0,0).设B(a,0),D(b,c),由平行四边形的性质，得C(a+b,c).|AD|²=|BC|²=b²+c²,|AC|²=(a+b)²+c²,BD|²=(b-a)²+c².由两点间的距离公式，得|AB|²=|CD|²=a²，∴|AB|²+|CD|²+|AD|²+|BC|²=2(a²+b²+c²),|AC|²+|BD|²=2(a²+b²+c²)∴|AB|²+|CD|²+|AD|²+|BC|²=|AC|²+|BD|².练一练用坐标法证明：直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等.yxOB

CAM(0,0)(a,0)(0,b)解：以顶点C为坐标原点，AC所在直线为x轴，建立直角坐标系，则有C(0,0).设A(a,0),B(0,b)，则故直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等.归纳小结思考：根据上述【例3与练习】的条件，你是否还有其他建立坐标系的方法？

你能说说建立适当坐标系对证明的重要性吗？利用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤：第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量；第二步：进行有关的代数运算第三步：

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