函数及其表示方法+第2课时 高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

3.1.1函数及其表示方法新授课3.1函数的概念与性质第2课时1.会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，理解函数图像的作用3.了解分段函数的概念及表示方式2.掌握函数解析式求解方法

前面给出的关于中国创新指数的函数,实际上是用列表的形式给出了函数的对应关系,这种表示函数的方法称为列表法.知识点1：函数的表示方法思考：用代数式(或解析式)来表示函数的方法称为解析法，例如f(x)=2x+1.那么，所有函数都能用解析法表示吗？只有函数值随自变量的变化发生有规律的变化时，这样的函数才可能有解析式，否则写不出解析式，也就不能用解析法表示．如果将这个函数的定义域记为D,值域记为S,则有年度20082009201020112012201320142015创新指数116.5125.5131.8139.6148.2152.6158.2171.5D={2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015},S={116.5,125.5,131.8,139.6,148.2,152.6,158.2,171.5}.如果将这个函数记为i=f(y),则从表格中可以看出f(2013)=152.6，f(2015)=171.5.

与心电图有关的函数，实际上是用图的形式给出了函数的对应关系.一般地，将函数y=f(x),x∈A中的自变量x和对应的函数值y,分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点(x,y)组成的集合F称为函数的图像，即

如果F是函数y=f(x)的图像，则图像上任意一点的坐标(x,y)都满足函数关系y=f(x);反之，满足函数关系y=f(x)的点(x,y)都在函数的图像F上.用函数的图像表示函数的方法称为图像法.

作图时，经常先描出函数图像上一些有代表性的点，然后再根据有关性质作出函数图像，这称为描点作图法.

例如，一次函数y=-x+1的图像是一条直线，又易知图像过点(0,1)和(1,0),所以容易作出其图像.常见的函数图像：一次函数的图像是一条直线，二次函数的图像是抛物线，反比例函数的图像是双曲线.x11Oy思考：1.判断一个图形是不是函数图象的依据是什么？2.三种函数表示法各自的特点是什么？若垂直于x轴的直线与图形至多有一个交点，则这个图形可以作为某个函数的图象.笔记本数x12345钱数y510152025·····255102015y012345x

y=5x，x∈{1,2,3,4,5}函数三种表示方法的特点归纳总结解析法：表格法：图像法：简明、全面地概括了变量间的对应关系；可通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值；不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值；直观形象地表示随着自变量的变化，相应的函数值变化的趋势.例1

已知函数

，指出这个函数的定义域、值域，并作出这个函数的图像.O21y123x4解：函数的定义域为[0,+∞).由

在y≥0时有解可知，函数的值域为[0,+∞).通过描点作图法，可以作出这个函数的图像.例2

已知二次函数的图像过点(-1,4),(0,1),(1,2),求这个二次函数的解析式.解：设函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),由此可解得a=2,b=-1,c=1,因此所求函数解析式为y=2x2-x+1.用待定系数法解题的关键是依据已知条件正确列出含有未定系数的等式.则例3

已知f(x)=x2,求f(x-1).f(0)=02=0，分析：可先求出f(0),f(1),f(2),f(a),f(a-1)的值，找出规律.解：由已知可得f(x-1)2=(x-1)=x2-2x+1.f(1)=12=1，f(2)=22=4，f(a)=a2，f(a-1)=(a-1)2=a2-2a+1.f(x)中对应关系f作用的对象是x，f(x-1)中，对应关系f作用的对象是x-1.问题1：f(a)与f(x)之间的区别是什么？如果设g(x)=f(x-1),则有g(x)=x2-2x+1，因此g(x)与f(x)是不同的函数.f(a)表示当自变量x=a时函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数.即f(a)是f(x)的一个特殊值.问题2：f(x)和f(x-1)表示同一函数吗？已知函数f(x)=x2-1,求f(0)，f(1)，的值，

并求f(x-1)，

的表达式.练一练解：f(0)=-1，f(1)=0，f(x-1)=(x-1)2-1=x2-2x，知识点2：分段函数的概念及表示方法思考：怎么画出函数y=|x|的图象.解：由绝对值的概念，可得所以,函数y=|x|的图像如图所示.0321-1-2-312345yx如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数.要点辨析（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数，处理分段函数的问题时，首先要明确自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系.（2）分段函数在书写的时候左边用大括号把几个对应关系括在一起，在每段对应关系表达式的后面用小括号写上相应的取值范围.（3）分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集，写分段函数的定义域时，区间端点应不重不漏；值域是各段函数值取值范围的并集.已知函数

用分段函数的形式表示该函数.练一练解：因为当-2＜x＜0时，当0≤x≤2时，f(x)=1,综上，狄利克雷函数的定义域为R，值域为{0,1}，图像不能形象的展示出来.思考：函数被称为狄利克雷函数，你能说出这个函数的定义域、值域吗？能作出这个函数的图像吗？特殊分段函数取整函数：记作y=[x]，也称高斯函数.O1y1x

作分段函数的图像时，一定要考虑区间端点是否包含在内，若端点包含在内，则用实心点表示，若端点不包含在内，则用空心圈表示.其中不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，其定义域是R，值