组合数 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.2.4组合数新授课 1.了解组合数的定义，并能区别组合与组合数 2.通过利用计数原理分析和解决具体的组合问题，掌握组合数公式，并能利用公式求具体问题的组合数

上节课已知从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，通过列举数数知有3种组合方式：甲、乙；甲、丙；乙、丙.

若从50名同学中选择选择2名同学参加一项活动，求有多少种组合方式，上述方法是否便捷？知识点一：组合数的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合数.用符号

.概念生成例如，从3个不同元素中取出2个元素的组合数表示为从4个不同元素中取出3个元素的组合数表示为思考：根据以上例子，组合和组合数有什么区别？

“组合”是指“从n个不同元素中取m(m≤n)个元素作为一组”，它不是一个数，而是具体的一件事； “组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数.

问题：组合和排列有对应关系，能否利用这种关系，由排列数来求组合数呢？知识点二：组合数公式的推导组合：甲乙

甲丙乙丙甲乙，乙甲

甲丙，丙甲乙丙，丙乙排列：

(1)：由排列数公式知：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动的排列数为

，能否在此基础上求出其组合数？(2):能否用与(1)相同的方法,求从4个不同元素中取出3个元素的组合数?取出3个元素的排列数以“元素相同”为标准分为4个组，因此设这4个元素为a，b，c，d.abcabdacdbcd组合abcbaccabacbbcacbaabdbaddabadbbdadbaacdcaddacadccdadcabcdcbddbcbdccdbdcb排列①方法一：abcabdacdbcd组合abcbaccabacbbcacbaabdbaddabadbbdadbaacdcaddacadccdadcabcdcbddbcbdccdbdcb排列②方法二：根据分布乘法原理，有即：第2步，将取出的3个元素作全排列，共有

种不同的排法.第1步，从4个元素中取出3个元素作为一组，共有

种不同的取法；(3)：依据求组合

和

的方法，如何求组合数

？由以下两个步骤得到：第2步，将取出的m个元素作全排列，共有

种不同的排法.

第1步，从n个不同元素中取出m个元素作为一组，共有的排列数

种不同的取法；因此，这里n,m∈N*,并且m≤n.这个公式叫做组合数公式.因为另外，规定所以，上面的组合数公式还可以写成

问题2：组合数公式有什么特点？与排列式公式比较，二者有什么相似和不同？

组合数公式

分子

右边第一个因数是n，后边每个因数都比它前面的一个因数少1，最后一个因数是n-m+1，共有m个连续的正整数相乘，分母为m！.例1

计算：解：根据组合数公式，可得思考：1.观察例1的(1)与(2)，(3)与(4)的结果，你有什么发现？2.比较不同形式的组合数公式，你对公式的选择有什么想法？2.公式一般用于求值计算；

公式

一般用于m，n较大时的计算，或对于含有字母的组合数的式子进行化简或证明. 例2在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件. (1)有多少种不同的抽法？ (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？解：(1) (2)从2件次品中抽出1件的抽法有种，从98件合格品中抽出2件的抽法有种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为 (3)方法1：从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为 方法2：抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？练一练

有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门考试成绩.(1)共有多少种不同的选法？(2)如果物理和化学恰有1门被选，那么共有多少种不同的选法？(3)如果物理