信号与系统 第四版 第二章 连续系统的时域分析

第二章连续系统的时域分析§2.1LTI连续系统的响应

一、微分方程的经典解

二、关于0－和0＋初始值

三、零输入响应与零状态响应§2.2冲激响应和阶跃响应§2.3卷积积分§2.4卷积积分的性质一、微分方程的经典解y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y

(t)=bmf(m)(t)+bm-1f(m-1)(t)+…+b1f(1)(t)+b0f

(t)经典解：y(t)(完全解)=yh(t)(齐次解)+yp(t)(特解）齐次解:y(n)+an-1y(n-1)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0的解yh(t)的形式:由微分方程的特征根确定齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应；特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。例:

描述某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)

求（1）当f(t)=2e-t，t≥0；y(0)=2，y’(0)=-1时的全解；

（2）当f(t)=e-2t，t≥0；y(0)=1，y’(0)=0时的全解;

（3）当f(t)=10cos(t)，t≥0；y(0)=2，y’(0)=0时的全解。

不同特征根所对应的齐次解:单实根lr重实根l齐次方程:y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0特征方程:

l(n)+an-1l(n-1)+…+a1l(1)+a0l=0不同激励（输入）所对应的特解:解:特征方程λ2+5λ+6=0λ1=–2，λ2=–3。∴

齐次解为yh(t)=C1e–2t+C2e–3t(1)f(t)=2e–t，设特解为yp(t)=Pe

–t

代入微分方程Pe

–t+5(–Pe

–t)+6Pe–t=2e–t

解得P=1∴

yp(t)=e–t全解y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e–2t+C2e–3t+e–t由初始条件

y(0)=C1+C2+1=2，y’(0)=–2C1–3C2–1=–1解得C1=3，C2=–2∴

全解y(t)=3e–2t–2e–3t+e–t,t≥0例：

y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)（1）当f(t)=2e-t，t≥0；y(0)=2，y’(0)=-1时的全解齐次解同上:

yh(t)=C1e–2t+C2e–3tf(t)=e–2t，而–2为特征根之一，∴特解yp(t)=P1te–2t

代入得P1e-2t=e–2t全解为y(t)=C1e–2t+C2e–3t+te–2t

代入初始条件，得

y(0)=C1+C2=1，y’(0)=–2C1–3C2+1=0得C1=2,C2=–1∴y(t)=2e–2t–e–3t+te–2t,t≥0y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)（2）当f(t)=e-2t，t≥0；y(0)=1，y’(0)=0时的全解。

y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)（3）当f(t)=10cos(t)，t≥0；y(0)=2，y’(0)=0时的全解。

齐次解同上:

yh(t)=C1e–2t+C2e–3tf1(t)、yp1(t)代入、有:由y(0)=2，y’(0)=0可求得：c1=2、c2=-1暂态分量ytr

(t)稳态分量ys

(t)齐次或自由yh

(t)特解或强迫yp

(t)参见P43二、关于0－和0＋初始值1、基本概念：当激励于t=0加到系统上，系统的起始状态有可能出现突变2、确定方法：利用物理（电路）分析和数学解析y”(t)+5y’(t)+6y(t)=3f(t)f(t)=2e-te(t)；y(0-)=2，y’(0-)=-1,y”(t)+5y’(t)+6y(t)=3f(t)+f’(t)f(t)=2e-te(t)；y(0-)=2，y’(0-)=-1=4e-te(t)+2d(t)易知：y’’(t)=2d(t)+r1(t);y’(t)=r2(t);y(t)=r3(t);

ri(t）为不含有d(t)、d’(t)等的函数因此：y(0+)=y(0-)=

2，y’(0+)=y’(0-)+2=1=6e-te(t)则：y(0+)=2，y’(0+)=-1没有冲激、冲激偶等只有冲激y”(t)+5y’(t)+6y(t)=3f(t)+f’(t)+2f’’(t)f(t)=2e-te(t)；y(0-)=2，y’(0-)=-1=8e-te(t)-2d(t)+4d’(t)因此：y’(0+)=y’(0-)-22=

-20，y(0+)=y(0-)+4=3y’’(t)=4d’(t)-22d(t)+r1(t);y’(t)=4d(t)+r2(t);

y(t)=r3(t);

代入方程：出现冲激、冲激偶等设：y’’(t)=ad’(t)+bd(t)+r1(t);

y’(t)=ad(t)+r2(t);

y(t)=r3(t);

ri(t）为不含有d(t)、d’(t)等的函数三、零输入响应与零状态响应y(t)(完全解)=yh(t)(齐次解)+yp(t)(特解）

=yx(t)(零输入)+yf(t)(零状态）

=ytr(t)(瞬态解)+yss(t)(稳态解)稳定系统1、概念：当输入为零、起始状态不为零时系统的响应为零输入响应；当输入不为零、起始状态为零时系统的响应为零状态响应。2、解法：零输入解具有齐次解的形式；零状态解则由部分齐次解和特解组成。设：系统有n个单实根li,i=1,2,3…….,n零输入解yx(t)=

其中，Cxi由零状态解yf(t)=

其中，Cfi由3、例：见p50例2.1－7f(t)*h(t)Chi=Cxi+Cfi例：y’’(t)+3y’(t)+2y(t)=2f’(t)+6

f(t)y(0-)=2,y’(0-)=1,f(t)=e(t),求yzi(t)、yzs(t)

∵

y(0-)=2、y’(0-)=1∴

yzi(t)=5e-t-3e-2tt≥0∴

yzi(0+)=2、yzi’(0+)=1解:特征方程λ2+3λ+2=0∴λ1=–1，λ2=–2(1)零输入解为yzi(t)=Czi1e–t+Czi2e–2t+0Czi1+Czi2=2-Czi1-2Czi2=1Czi1=5Czi2=-3=2d(t)+6e(t)(2)零状态解为yzs(t)=Czs1e–t+Czs2e–2t+3t≥0设yzs’’(t)=ad(t)+r1(t);yzs’(t)=r2(t);yzs(t)=r3(t);

∴

yzs’(0+)-yzs’(0-)=2yzs(0+)-yzs(0-)=0yzs’(0+)=2yzs(0+)=0∴

Czs1=-4

Czs=1可得：a=2

∴yzs(t)=－4e–t+e–2t+3t≥0（3）全解y

(t)=yzs(t)+yzi(t)=

e-t

-2e-2t+3t≥0暂态分量ytr

(t)稳态分量yss

(t)§2.2冲激响应和阶跃响应一、基本概念冲激响应：由单位冲激函数d(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。h(t)=T[{0},d(t)]

阶跃响应：由单位阶跃函数e(t)所引起的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，记为g(t)。g(t)=T[{0},e(t)]

二、求解方法1、经典解法23、变换域（s域）法*****（第五章）三、例：p54例2.2－2、p56例2.2-3、p572.2-4一次解出叠加原理h’’(t)+5h’(t)+6h(t)=d’’(t)+2

d’(t)+

3d(t)解法一：一次解出由题意h(0-)=h’(0-)=0,f(t)=d(t)特征方程λ2+5λ+6=0λ1=–2，λ2=–3已知y’’(t)+5y’(t)+6y(t)=f’’(t)+2

f’(t)+

3f(t);求h(t)设：h’’(t)=ad’’(t)+b

d’(t)+

cd(t)+r0(t)h’(t)=ad’(t)+b

d(t)+r1(t)h(t)=ad

(t)+r2(t)a=1b+5a=2c+5b+6a=3a=1b=-3c=12h(0+)=h(0-)+b=0-3=-3h’(0+)=h’(0-)+c=0+12=12所以、h(t)=d

(t)+(3e-2t-6e-3t)e(t)ch1=3ch2=-6h’’(t)+5h’(t)+6h(t)=d’’(t)+2

d’(t)+

3d(t)解法二：线性叠加法由题意h(0-)=h’(0-)=0,f(t)=d(t)已知y’’(t)+5y’(t)+6y(t)=f’’(t)+2

f’(t)+

3f(t)求:h(t)设：∑-3f(t)-2∑y(t)∫∫2-1y’’(t)+3y’(t)+2y(t)=-f’(t)+2

f(t)

由y(0-)=1、y’(0-)=2

y(0-)=1y’(0-)=2、求零输入响应yx(t)因为、l1=-1、l2=-2

所以、yx(t)=Cx1e-t+Cx2e-2tt≥0有：yx(t)=4e-t-3e-2tt≥0(2)f1

(t)=e(t)

求零状态响应yf1(t)yf1(t)=[Cf1e-t+Cf2e-2t+1]e(t)由方程右边=-d(t)+2e(t)

、有y’’

(t)=-d(t)+r1(t);y’(t)=r2(t)

∴y’f

(0+)=-1;yf(0+)=0

∴

yf1(t)=[-

3e-t+2e-2t+1]e(t)(3)f2

(t)=d(t)

求yf2(t)yf2(t)=[Cf1e-t+Cf2e-2t+0]e(t)∵右边=-d’(t)+2d(t)

、∴y’’

(t)=-d’(t)+5

d(t)+r1(t);y’(t)=-d(t)+

r2(t)

∴y’f

(0+)=5;yf(0+)=-1

yf1(t)=[3e-t-

4e-2t]e(t)=h(t)=g(t)求导p56二阶系统时域特性w02=1/LCy’’(t)+2ay’(t)+w02y(t)=w02f

(t)§2.3卷积积分一、信号的时域分解与卷积积分1.信号的冲激分解“0”号脉冲高度f(0),宽度为△，用p(t)表示为：f(0)p(t)△“1”号脉冲高度f(△),宽度为△，用p(t-△)表示为：f(△)p(t

-△)△“-1”号脉冲高度f(-△)、宽度为△，用p(t+△)表示为：f(-△)p(t

+△)△p(t)D1t02D2D-信号的冲激分解2.任意信号作用下的零状态响应yf(t)f(t)根据h(t)的定义：δ(t)

h(t)由时不变性：δ(t

-τ)h(t-τ)f(τ)δ(t

-τ)由齐次性：f(τ)h(t-τ)由叠加性：‖f(t)‖yf(t)卷积积分1.卷积积分的定义已知在区间（–∞，∞）上的f1(t)和f2(t)，则定义积分注意：积分是在虚设的变量τ下进行的，τ为积分变量，

t为参变量。结果仍为t的函数。

二、卷积积分的定义与计算2.卷积积分的过程卷积过程可分解为四步：（1）换元：t换为τ→得f1(τ)，f2(τ)（2）反转平移：由f2(τ)反转→f2(–τ)右移t→f2(t-τ)（3）乘积：f1(τ)f2(t-τ)（4）积分：τ从–∞到∞对乘积项积分。***

注意：t

为参变量。对于不同的t的取值区间，被积函数可能不同，积分区间也可能不同。3.卷积积分的计算方法适用于非时间有限信号适用于时间有限信号式中，积分变量为。由于时，；而时，,所以积分限应是，且，t>0，所以：解：例1:例2:例3:例4

：f(t),h(t)

如图所示，求yf(t)=h(t)*f(t)

。[解]

采用图形卷积。f(t-τ)f(τ)反折f(-τ)平移t①t<0时,f(t-τ)向左移f(t-τ)h(τ)=0，故

yf(t)=0②0≤t≤1

时,③1≤t≤2时⑤3≤t时f(t-τ)h(τ)=0，故

yf(t)=0h(t)函数形式复杂换元为h(τ)。

f(t)换元f(τ)④2≤t≤3

时0§2.4卷积积分的性质一、卷积代数1、交换律：f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)2、分配律：f1(t)*[f2(t)+f3(t)]=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)3、结合律：[f1(t)*f2(t)]*f3(t)]=f1(t)*[f2(t)*f3(t)]二、奇异函数的卷积特性1.f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t)=f(t)f(t)*δ(t–t0)=f(t–t0)2.f(t)*δ’(t)=f’(t)f(t)*δ(n)(t

–t0)=f(n)(t

–t0)3.f(t)*ε(t)ε(t)*ε(t)=tε(t)对应系统并联对应系统串联tε(t)*ε(t)=0.5t2ε(t)移位43-1210f(t)2t10h(t)(1)(2)*0-1212yf(t)=f(t)+2f(t-1)f(t)2f(t-1)=yf(t)=?例1：-1210f(t)2*d’(2-t)=?f(t)＊

d’(2-t)=f(t)＊

[-d’(t-2)]=-f’(t-2)-121034f’(t)-12-f’(t-2)=-2e(t-1)+3e(t)-e(t)例2：例：f1(t),f2(t)如图，求f1(t)*f2(t)解：f1(t)=2ε

(t)–2ε

(t–1)f2(t)=ε

(t+1)–ε

(t–1)f1(t)*f2(t)=2

ε

(t)*ε

(t+1)–2

ε

(t)*ε

(t–1)–2ε

(t–1)*ε

(t+1)+2ε

(t–1)*ε

(t–1)由于ε

(t)*ε

(t)=tε

(t)据时移特性，有f1(t)*f2(t)=2(t+1)ε

(t+1)-2(t–1)ε

(t–1)–2tε

(t)+2(t–2)ε

(t–2)-1210f(t)2三、卷积的时移特性若f(t)=f1(t)*f2(t)，则f1(t–t1)*f2(t–t2)=f(t–t1–t2)***卷积后信号的取值上下限分别为原信号上下限之和f(t)

0.5t1t22h(t)

四、卷积的微积分性质1.证：上式=δ(n)(t)*[f1(t)*f2(t)]=[δ(n)(t)*f1(t)]*f2(t)=f1(n)(t)*f2(t)2.证：上式=ε(t)*[f1(t)*f2(t)]=[ε(t)*f1(t)]*f2(t)=f1(–1)(t)*f2(t)****3.在f1(–∞)=0和f2(-∞)=0的前提下

[f1(t)*f