点到直线的距离 高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册_第1页
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文档简介

2.2.4点到直线的距离新授课情境：

如图，在铁路的附近有一大型仓库，现要修建一公路与之连接起来，那么怎样设计能使公路最短？1.掌握点到直线、两条平行直线之间的距离公式，能应用两个距离公式解决有关距离问题知识点一：点到直线的距离.

如果已知平面直角坐标系中点的坐标以及直线的方程，如何求出点到直线的距离呢？问题：（1）求出P（-1，2）到直线l1：2x+y-5=0的距离吗？思路：

定义法，其步骤为：求l的垂线

的方程解方程组，得交点P1的坐标求|PP1|的长设直线PP1的方程为又因为直线PP1过P（-1,2），解得C=5，所以PP1的方程为x-2y+5=0

.解得P1（1,3）.（2）求

到直线

的距离d

.设直线PP1的方程为又因为直线PP1过

，直线PP1方程为所以①②解得联立方程方法一：点到直线的距离公式因此代入l1，PP1直线方程得：

设则①②方法二：③②化简得：④①两边同时减去Ax0，By0，整理得③④⑦将④与⑥两边平方后相加可得：因此从而xyOlP1

思考：（1）如图，直线PP1垂直于直线l，P2为直线上一点，

为l的法向量，则向量

可以怎样表示？设

是直线l

上任意一点，则

到直线l

的距离d

满足是直线l的一个法向量（2）从向量角度考虑，求

到直线

的距离.xyOlP1又因为

是直线l上的点，所以从而即因为1.点(1,-1)到直线

x-y+1=0的距离是(

)C练一练

例1

已知△ABC的三个顶点A(2，2)，B(2，0)，C(0，1)，求△ABC的BC边上的高.整理为一般式方程为因此所求高为A(2，2)2CxyOB1解：直线BC的方程为知识点二：两条平行直线之间的距离思考：根据点到直线距离的求法，如何求两条平行线之间的距离？两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.因此，可以借助点到直线的距离求两条平行直线之间的距离.d例2

求平行线

与之间的距离.解：在l1的方程中，令y=0，则x=-1，因此(-1，0)为直线l1上一点.又因为(-1，0)到6x-8y-5=0的距离为所以所求距离为例3

已知直线求证：两条直线的距离为解：设P（x1，y1）为l1上一点，则：从而因为P到l2的距离为所以结论成立

思考：观察直线Ax

+

By

+

C1=0与Ax

+

By

+

C2=0的形式，说说上述式子有什么需要注意的？归纳小结两平行直线间距离公式：已知两条直线Ax

+

By

+

C1=0与Ax

+

By

+

C2=0平行，则它们的距离为：

注意：①直线方程要化成一般式；②两直线方程中x，y的系数要相同．练一练已知两平行直线l1：3x+5y+1=0和l2：6x+10y+5

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