组合与组合数+第2课时 高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

3.1.3组合与组合数第2课时新授课回顾组合数的性质组合数公式：1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.2.能解决有限制条件的组合问题.思考：下列问题是排列问题，还是组合问题？（1）a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？（2）a，b，c，d四支足球队进行单循环比赛，共需赛多少场？4支球队中有2支球队，一个是冠军，另一个是亚军.（对2支球队有顺序要求）“排列”问题，有种结果单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛.

(与选取的顺序无关)

“组合”问题，需打场.

例1

现有30件分别标有不同编号的产品，且除了2件次品外，其余都是合格品，从中取出3件.

（1）一共有多少种不同的取法？分析：只是取出3件，它们之间无需考虑顺序解：从30件产品中取出3件的组合数：

等同于“从30个不同对象中任取3个并成一组”，是“组合”问题.（2）若3件产品中恰有1件次品，则不同的取法共有多少种？第一步，取出1件次品，有

种取法；3件产品中：1件次品，2件合格品取出两类不同对象，可分成两步完成：第二步，取出2件合格品，无需考虑顺序，有

种取法.根据分步乘法计数原理，共有

种.（3）若3件产品中至少要有1件次品，则不同的取法共有多少种？3件产品中：有1件次品，2件合格品；或者：有2件次品，1件合格品；方法1：

按取出次品的件数分成两类进行：第一类，取出3件产品中有1件次品，有

种取法；第二类，取出3件产品中有2件次品：

第一步，取出2件次品，无顺序要求，有

种取法；

第二步，再取出1件合格品，有

种取法.由分步乘法计数原理，有

种取法.由分类加法计数原理，共有

种.（3）若3件产品中至少要有1件次品，则不同的取法共有多少种？方法2：排除法，反面：没有次品.即：3件全是合格品.

“任取3件”-“3件都是合格品”=“3件中至少有1件次品”

即：

种取法.取出的3件产品中至少要有1件次品，所以分成两步完成：第一步，先取出1件次品，有

种方法；第二步，再从剩余29件产品中随意取出2件，有

种方法.由分步乘法计数原理，有

种取法.思考：第（3）问按照下列做法是否可行？为什么？不妨设2件次品为a1和a2，28件合格品为b1、b2、…、b28.若3件产品中，有2件次品和1件合格品，可能会出现下面的情况：研究有关“至多”或“至少”这样的计数问题时:①直接分类研究，②运用“排除法”计数.选取产品应是无序，这里选2个次品a1、a2时考虑了先后顺序.应将有序取出2件次品产生的重复次数去掉.因此上述方法不可行.

解此类问题时，先要判断它是不是组合问题，只有当它是组合问题或能转化为组合问题时，才能运用组合数公式求出其结果；

其次要注意分类加法计数原理和分步乘法计数原理的运用，在运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一定要注意有无重夏和遗漏.归纳总结一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球.(1)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？练一练

解：(1)从口袋内取出3个球有1个是黑球，还要从7个白球中再取出2个，取法种数是

(2)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是例2要把9本不同的课外书分给甲、乙、丙3名同学：（1）如果甲得4本，乙得3本，丙得2本，则共有多少种不同的分法？完成分配任务，可以分成三步完成：第一步，先选4本书给甲，无顺序要求，有

种方法；第二步，再选3本书给乙，有

种方法；第三步，最后2本书都给丙，有

种方法.由分步乘法计数原理，共有：

种方法.“定向分配问题”分析：每本书是不同的，每人分配到多少本是确定的（2）如果要求一人得4本，一人得3本，一人得2本，则共有多少种不同的分法？可以先分组，后分配，分两步完成：第一步，将9本书按照4本、3本、2本分为三组：第二步，将三组书分配给3个人，即三组书全排列：由分步乘法计数原理，共

种方法.分析：每人分配多少本不确定“不定向分配问题”（3）如果每个人都得3本，则共有多少种不同的分法？分析：每人都得3本，等同于“甲3本，乙3本，丙3本”.每个人分配到多少本书是确定的，属于“定向分配问题”，第一步，先选3本书给甲，有

种方法；第二步，再选3本书给乙，有

种方法；第三步，最后3本书都给丙，有

种方法.共有：

种方法.（无需3组书全排列）归纳总结不同元素的分配问题分为两类：(1)若将元素分配时，直接分配到具体的对象，则运用分步乘法计数原理、组合数公式求解即可.(2)若将元素分配时，不指定某个对象得到多少个元素，则应先分组，再分配，即用分步乘法计数原理、排列数公式以及组合数公式计算求解.

例3

现要从A，B，C，D，E，F这6人中选出4人安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，那么一共有多少种不同的安排方法？限制条件：A不能

安排在甲岗位上特殊元素特殊位置排除法方法1：

从特殊元素“A”入手，可按照4个岗位中是否含A，分成两类：甲乙丙丁第一类，4个岗位中含A，分成两步完成：第一步：A的位置：由分步乘法计数原理，含A的方法共有第二步：再确定其他岗位人选，共

种方法.第二类，4个岗位中不含A：综上，根据分类加法计数原理，共有

种方法.从剩余5人中选4人排到4个岗位中，有

种方法.甲乙丙丁方法2：从特殊位置“甲”入手，分成两步完成：根据分步乘法计数原理，共有：

种方法.甲乙丙丁非A：方法3：排除法.共

种方法.先忽略题目中的限制要求：先“从6人中任意选4人安排到这4个岗位”，再从中去掉“A在甲岗位上”，剩余的就是“A不在甲岗位上”.练一练男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1名,选派5人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法?(1)男运动员3名,女运动员2名.(2)至少有1名女运动员.解：(1)第一步:选3名男运动员,有种选法;第二步:选2名女运动员,有种选法,故共有种选法.方法二(间接法):不考虑条件,从10人中任选5人,有种选法,其中全是男运动员的选法有种,故“至少有1名女运动员”的选法有