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文档简介
3.1.3组合与组合数第2课时新授课回顾组合数的性质组合数公式:1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.2.能解决有限制条件的组合问题.思考:下列问题是排列问题,还是组合问题?(1)a,b,c,d四支足球队争夺冠亚军,有多少种不同的结果?(2)a,b,c,d四支足球队进行单循环比赛,共需赛多少场?4支球队中有2支球队,一个是冠军,另一个是亚军.(对2支球队有顺序要求)“排列”问题,有种结果单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛.
(与选取的顺序无关)
“组合”问题,需打场.
例1
现有30件分别标有不同编号的产品,且除了2件次品外,其余都是合格品,从中取出3件.
(1)一共有多少种不同的取法?分析:只是取出3件,它们之间无需考虑顺序解:从30件产品中取出3件的组合数:
等同于“从30个不同对象中任取3个并成一组”,是“组合”问题.(2)若3件产品中恰有1件次品,则不同的取法共有多少种?第一步,取出1件次品,有
种取法;3件产品中:1件次品,2件合格品取出两类不同对象,可分成两步完成:第二步,取出2件合格品,无需考虑顺序,有
种取法.根据分步乘法计数原理,共有
种.(3)若3件产品中至少要有1件次品,则不同的取法共有多少种?3件产品中:有1件次品,2件合格品;或者:有2件次品,1件合格品;方法1:
按取出次品的件数分成两类进行:第一类,取出3件产品中有1件次品,有
种取法;第二类,取出3件产品中有2件次品:
第一步,取出2件次品,无顺序要求,有
种取法;
第二步,再取出1件合格品,有
种取法.由分步乘法计数原理,有
种取法.由分类加法计数原理,共有
种.(3)若3件产品中至少要有1件次品,则不同的取法共有多少种?方法2:排除法,反面:没有次品.即:3件全是合格品.
“任取3件”-“3件都是合格品”=“3件中至少有1件次品”
即:
种取法.取出的3件产品中至少要有1件次品,所以分成两步完成:第一步,先取出1件次品,有
种方法;第二步,再从剩余29件产品中随意取出2件,有
种方法.由分步乘法计数原理,有
种取法.思考:第(3)问按照下列做法是否可行?为什么?不妨设2件次品为a1和a2,28件合格品为b1、b2、…、b28.若3件产品中,有2件次品和1件合格品,可能会出现下面的情况:研究有关“至多”或“至少”这样的计数问题时:①直接分类研究,②运用“排除法”计数.选取产品应是无序,这里选2个次品a1、a2时考虑了先后顺序.应将有序取出2件次品产生的重复次数去掉.因此上述方法不可行.
解此类问题时,先要判断它是不是组合问题,只有当它是组合问题或能转化为组合问题时,才能运用组合数公式求出其结果;
其次要注意分类加法计数原理和分步乘法计数原理的运用,在运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时,一定要注意有无重夏和遗漏.归纳总结一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球.(1)从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有多少种取法?(2)从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法?练一练
解:(1)从口袋内取出3个球有1个是黑球,还要从7个白球中再取出2个,取法种数是
(2)由于所取出的3个球中不含黑球,也就是要从7个白球中取出3个球,取法种数是例2要把9本不同的课外书分给甲、乙、丙3名同学:(1)如果甲得4本,乙得3本,丙得2本,则共有多少种不同的分法?完成分配任务,可以分成三步完成:第一步,先选4本书给甲,无顺序要求,有
种方法;第二步,再选3本书给乙,有
种方法;第三步,最后2本书都给丙,有
种方法.由分步乘法计数原理,共有:
种方法.“定向分配问题”分析:每本书是不同的,每人分配到多少本是确定的(2)如果要求一人得4本,一人得3本,一人得2本,则共有多少种不同的分法?可以先分组,后分配,分两步完成:第一步,将9本书按照4本、3本、2本分为三组:第二步,将三组书分配给3个人,即三组书全排列:由分步乘法计数原理,共
种方法.分析:每人分配多少本不确定“不定向分配问题”(3)如果每个人都得3本,则共有多少种不同的分法?分析:每人都得3本,等同于“甲3本,乙3本,丙3本”.每个人分配到多少本书是确定的,属于“定向分配问题”,第一步,先选3本书给甲,有
种方法;第二步,再选3本书给乙,有
种方法;第三步,最后3本书都给丙,有
种方法.共有:
种方法.(无需3组书全排列)归纳总结不同元素的分配问题分为两类:(1)若将元素分配时,直接分配到具体的对象,则运用分步乘法计数原理、组合数公式求解即可.(2)若将元素分配时,不指定某个对象得到多少个元素,则应先分组,再分配,即用分步乘法计数原理、排列数公式以及组合数公式计算求解.
例3
现要从A,B,C,D,E,F这6人中选出4人安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上,如果A不能安排在甲岗位上,那么一共有多少种不同的安排方法?限制条件:A不能
安排在甲岗位上特殊元素特殊位置排除法方法1:
从特殊元素“A”入手,可按照4个岗位中是否含A,分成两类:甲乙丙丁第一类,4个岗位中含A,分成两步完成:第一步:A的位置:由分步乘法计数原理,含A的方法共有第二步:再确定其他岗位人选,共
种方法.第二类,4个岗位中不含A:综上,根据分类加法计数原理,共有
种方法.从剩余5人中选4人排到4个岗位中,有
种方法.甲乙丙丁方法2:从特殊位置“甲”入手,分成两步完成:根据分步乘法计数原理,共有:
种方法.甲乙丙丁非A:方法3:排除法.共
种方法.先忽略题目中的限制要求:先“从6人中任意选4人安排到这4个岗位”,再从中去掉“A在甲岗位上”,剩余的就是“A不在甲岗位上”.练一练男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1名,选派5人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法?(1)男运动员3名,女运动员2名.(2)至少有1名女运动员.解:(1)第一步:选3名男运动员,有种选法;第二步:选2名女运动员,有种选法,故共有种选法.方法二(间接法):不考虑条件,从10人中任选5人,有种选法,其中全是男运动员的选法有种,故“至少有1名女运动员”的选法有
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