二章函数基本性质

§2.2函数的基本性质高考理数

(课标Ⅱ专用)考点一函数的单调性五年高考1.(2019课标全国Ⅱ,9,5分)下列函数中,以

为周期且在区间

单调递增的是

()A.f(x)=|cos2x|

B.f(x)=|sin2x|

C.f(x)=cos|x|

D.f(x)=sin|x|答案

A本题考查三角函数的图象与性质;通过三角函数的周期性和单调性考查运算求解

能力以及数形结合思想;考查的核心素养为逻辑推理、数学运算.对于选项A,作出f(x)=|cos2x|的部分图象,如图1所示,则f(x)在

上单调递增,且最小正周期T=

,故A正确.对于选项B,作出f(x)=|sin2x|的部分图象,如图2所示,则f(x)在

上单调递减,且最小正周期T=

,故B不正确.对于选项C,∵f(x)=cos|x|=cosx,∴最小正周期T=2π.故C不正确.对于选项D,作出f(x)=sin|x|的部分图象,如图3所示.显然f(x)不是周期函数,故D不正确.故选A.

图1

图2图3方法点拨1.y=f(x)的图象的翻折变换:(1)y=f(x)

y=f(|x|);(2)y=f(x)

y=|f(x)|.2.求三角函数的最小正周期:(1)形如y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ),则最小正周期T=

.(2)形如y=|Asin(ωx+φ)|,y=|Acos(ωx+φ)|,则最小正周期T=

.2.(2019课标全国Ⅲ,11,5分)设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+∞)单调递减,则

()A.f

>f(

)>f(

)B.f

>f(

)>f(

)C.f(

)>f(

)>f

D.f(

)>f(

)>f

答案

C本题主要考查函数的奇偶性、单调性,对数与对数函数、指数与指数函数等知识,

考查学生的运算能力,考查了转化与化归的思想以及数形结合思想,体现了数学运算的核心素

养.∵f(x)是定义域为R的偶函数,∴f(-x)=f(x).∴f

=f(-log34)=f(log34).∵log34>log33=1,且1>

>

>0,∴log34>

>

>0.∵f(x)在(0,+∞)上单调递减,∴f(

)>f(

)>f(log34)=f

.故选C.难点突破

同底指数幂比较大小,通常借助相应指数函数的单调性比较大小;指数幂与对数比

较大小,可考虑引入中间值,如0,1等.3.(2017课标全国Ⅰ,5,5分)函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)

≤1的x的取值范围是

()A.[-2,2]

B.[-1,1]C.[0,4]

D.[1,3]答案

D本题考查利用函数的性质求解不等式.已知函数f(x)在(-∞,+∞)上为奇函数,则f(-1)=-f(1)=1,所以原不等式可化为f(1)≤f(x-2)≤f(-1),

因为f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,所以-1≤x-2≤1,即1≤x≤3,故选D.思路分析由函数的奇偶性得f(-1)=1,结合单调性将不等式-1≤f(x-2)≤1化为-1≤x-2≤1,即可

求解.考点二函数的奇偶性与周期性1.(2018课标全国Ⅱ,11,5分)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,

则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=

()A.-50

B.0

C.2

D.50答案

C本题主要考查函数的奇偶性和周期性.∵f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,∴f(0)=0,f(-x)=-f(x),①又∵f(1-x)=f(1+x),∴f(-x)=f(2+x),②由①②得f(2+x)=-f(x),③用2+x代替x得f(4+x)=-f(2+x).④由③④得f(x)=f(x+4),∴f(x)的最小正周期为4.由于f(1-x)=f(1+x),f(1)=2,故令x=1,得f(0)=f(2)=0,令x=2,得f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,令x=3,得f(4)=f(-2)=-f(2)=0,故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=0+2+0=2.故选C.方法总结若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有(1)f(x+a)=-f(x)(a≠0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期.(2)f(x+a)=

(a≠0,f(x)≠0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期.(3)f(x+a)=-

(a≠0,f(x)≠0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期.2.(2015课标全国Ⅰ,13,5分)若函数f(x)=xln(x+

)为偶函数,则a=

.答案1解析解法一:由已知得f(-x)=f(x),即-xln(

-x)=xln(x+

),则ln(x+

)+ln(

-x)=0,∴ln[(

)2-x2]=0,得lna=0,∴a=1.解法二:令g(x)=ln(x+

),由题意知g(x)为奇函数,故g(x)+g(-x)=0,即lna=0,∴a=1.B组

自主命题·省(区、市)卷题组考点一函数的单调性1.(2019北京,13,5分)设函数f(x)=ex+ae-x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a=

;若f(x)是R上的

增函数,则a的取值范围是

.答案-1;(-∞,0]解析本题主要考查与指数函数有关的函数的奇偶性,利用导数研究函数单调性等有关知识;

考查学生根据定义、法则进行正确运算、变形的能力;考查的核心素养为数学运算.∵f(x)=ex+ae-x为奇函数,∴f(-x)+f(x)=0,即e-x+aex+ex+ae-x=0,∴(a+1)(ex+e-x)=0,∴a=-1.∵f(x)是R上的增函数,∴f'(x)≥0恒成立,∴ex-ae-x≥0,即e2x-a≥0,∴a≤e2x,又∵e2x>0,∴a≤0.当a=0时,f(x)=ex是增函数,满足题意,故a≤0.易错警示当f'(x)>0时,f(x)为增函数,而当f(x)为增函数时,f'(x)≥0恒成立,不能漏掉等于0,但

要检验f'(x)=0时得到的参数a是否满足题意.2.(2019上海,6,4分)已知函数f(x)的周期为1,且当0<x≤1时,f(x)=log2x,则f

=

.答案-1解析本题主要考查函数的周期及函数求值问题,以对数函数为依托,考查学生的运算求解能

力.由已知f(x)的周期为1,当0<x≤1时,f(x)=log2x,得f

=f

=log2

=-1.3.(2018北京,13,5分)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,则f(x)在[0,2]上是增函数”为

假命题的一个函数是

.答案

f(x)=sinx,x∈[0,2](答案不唯一)解析本题主要考查函数的单调性及最值.根据函数单调性的概念,只要找到一个定义域为[0,2]的不单调函数,满足在定义域内有唯一的

最小值点,且f(x)min=f(0)即可,除所给答案外,还可以举出f(x)=

等.4.(2016天津,13,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f

(2|a-1|)>f(-

),则a的取值范围是

.答案

解析由题意知函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.因为f(2|a-1|)>f(-

),f(-

)=f(

),所以f(2|a-1|)>f(

),所以2|a-1|<

,解之得

<a<

.考点二函数的奇偶性与周期性1.(2015广东,3,5分)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是

()A.y=

B.y=x+

C.y=2x+

D.y=x+ex

答案

D易知y=

与y=2x+

是偶函数,y=x+

是奇函数,故选D.2.(2015福建,2,5分)下列函数为奇函数的是

()A.y=

B.y=|sinx|C.y=cosx

D.y=ex-e-x

答案

D

y=

的定义域为[0,+∞),所以y=

为非奇非偶函数;y=|sinx|与y=cosx为偶函数;令y=f(x)=ex-e-x,x∈R,则满足f(-x)=-f(x),所以y=ex-e-x为奇函数,故选D.3.(2017北京,5,5分)已知函数f(x)=3x-

,则f(x)()A.是奇函数,且在R上是增函数B.是偶函数,且在R上是增函数C.是奇函数,且在R上是减函数D.是偶函数,且在R上是减函数答案

A本题考查指数函数的奇偶性和单调性.易知函数f(x)的定义域关于原点对称.∵f(-x)=3-x-

=

-3x=-f(x),∴f(x)为奇函数.又∵y=3x在R上是增函数,y=-

在R上是增函数,∴f(x)=3x-

在R上是增函数.故选A.4.(2017天津,6,5分)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则

a,b,c的大小关系为()A.a<b<c

B.c<b<a

C.b<a<c

D.b<c<a答案

C本题考查函数的奇偶性、单调性的应用,对数值大小的比较.奇函数f(x)在R上是增函数,当x>0时,f(x)>f(0)=0,当x1>x2>0时,f(x1)>f(x2)>0,∴x1

f(x1)>x2

f(x2),∴g

(x)在(0,+∞)上单调递增,且g(x)=xf(x)是偶函数,∴a=g(-log25.1)=g(log25.1).2<log25.1<3,1<20.8<2,

由g(x)在(0,+∞)上单调递增,得g(20.8)<g(log25.1)<g(3),∴b<a<c,故选C.解题关键本题的解题关键是得出g(x)的奇偶性和单调性.将自变量转化到同一单调区间得

出大小是比较函数值大小的常用方法.5.(2016山东,9,5分)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x>

时,f

=f

.则f(6)=

()A.-2

B.-1

C.0

D.2答案

D当x>

时,由f

=f

可得f(x)=f(x+1),所以f(6)=f(1),而f(1)=-f(-1),f(-1)=(-1)3-1=-2,所以f(6)=f(1)=2,故选D.6.(2018江苏,9,5分)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),且在区间(-2,2]上,f(x)=

则f(f(15))的值为

.答案

解析本题考查分段函数及函数的周期性.∵f(x+4)=f(x),∴函数f(x)的周期为4,∴f(15)=f(-1)=

,f

=cos

=

,∴f(f(15))=f

=

.C组

教师专用题组考点一函数的单调性(2011课标全国Ⅱ,2,5分)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是

()A.y=x3

B.y=|x|+1C.y=-x2+1

D.y=2-|x|

答案

B

y=x3是奇函数,y=-x2+1和y=2-|x|在(0,+∞)上都是减函数,故选B.错因分析不能正确判断函数在(0,+∞)上的单调性是致错的主要原因.考点二函数的奇偶性与周期性1.(2016四川,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=4x,则f

+f(1)=

.答案-2解析∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(x)=-f(-x),又∵f(x)的周期为2,∴f(x+2)=f(x),∴f(x+2)=-f(-x),即f(x+2)+f(-x)=0,令x=-1,得f(1)+f(1)=0,∴f(1)=0.又∵f

=f

=-f

=-

=-2.∴f

+f(1)=-2.2.(2016江苏,11,5分)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1)上,f(x)=

其中a∈R.若f

=f

,则f(5a)的值是

.答案-

解析∵f(x)是周期为2的函数,∴f

=f

=f

,f

=f

=f

,又∵f

=f

,所以f

=f

,即-

+a=

,解得a=

,则f(5a)=f(3)=f(4-1)=f(-1)=-1+

=-

.考点一函数的单调性三年模拟A组2017—2019年高考模拟·考点基础题组1.(2018新疆乌鲁木齐4月模拟,5)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递减的是

()A.y=x2

B.y=2xC.y=log2

D.y=cosx答案

C

y=x2是偶函数,在(0,+∞)上单调递增,故A错误;y=2x是非奇非偶函数,在(0,+∞)上单调

递增,故B错误;y=log2

是偶函数,在(0,+∞)上单调递减,故C正确;y=cosx是偶函数,在(0,+∞)上不单调,故D错误.故选C.2.(2018内蒙古赤峰4月模拟,6)已知函数f(x)=ex-

,其中e是自然对数的底数.则关于x的不等式f(2x-1)+f(-x-1)>0的解集为

()A.

∪(2,+∞)

B.(2,+∞)C.

∪(2,+∞)

D.(-∞,2)答案

B易知f(x)为奇函数且单调递增,关于x的不等式f(2x-1)+f(-x-1)>0可化为f(2x-1)>f(x+1),

∴2x-1>x+1,解得x>2,故选B.3.(2019辽宁铁岭六校联考,5)函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,且为偶函数.若f(2)=-1,则满足f(x-3)

≥-1的x的取值范围是

()A.[1,5]

B.[1,3]

C.[3,5]

D.[-2,2]答案

A解法一:因函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,且为偶函数,则函数f(x)在(-∞,0)单调递增,

由f(2)=f(-2)=-1,则-2≤x-3≤2⇒1≤x≤5.解法二:由f(x-3)≥-1得f(x-3)≥f(2),即f(|x-3|)≥f(2),即-2≤x-3≤2,得1≤x≤5.即x的取值范围是[1,

5],故选A.4.(2019陕西咸阳二模,6)已知定义在R上的函数f(x),对任意x∈R,有f(x)-f(-x)=0,且当x1,x2>0时,有

>0,设a=f(

),b=f(-2),c=f(3),则

()A.a<b<c

B.b<c<aC.a<c<b

D.c<b<a答案

A根据题意,函数f(x)满足对任意x∈R,有f(x)-f(-x)=0,则函数f(x)为偶函数,当x1,x2>0时,有

>0,则函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,a=f(

),b=f(-2)=f(2),c=f(3),且

<2<3,则有a<b<c,故选A.5.(2019青海海东一模,8)若函数f(x)=

在R上是增函数,则a的取值范围为

()A.(-∞,1]

B.(0,2)

C.(0,1]

D.[1,2)答案

C∵f(x)在R上是增函数,∴

解得0<a≤1,∴a的取值范围为(0,1].故选C.6.(2019重庆八中5月模拟,7)已知函数f(x)=

-

,且满足f(2a-1)>f(3),则a的取值范围为

(

)A.a<-1或a>2

B.-1<a<2C.a>2

D.a<2答案

B

f(x)=

-

=

-

,则f(-x)=f(x),即函数f(x)是偶函数,当x≥0时,f(x)=

-

为减函数,则不等式f(2a-1)>f(3)等价于f(|2a-1|)>f(3),即|2a-1|<3,得-3<2a-1<3,得-1<a<2,故选B.考点二函数的奇偶性与周期性1.(2019宁夏银川一中4月模拟,5)已知f(x)为R上的奇函数,g(x)=f(x)+2,g(-2)=3,则f(2)=

()A.-1

B.0

C.1

D.2答案

A根据题意,g(x)=f(x)+2,则g(-2)=f(-2)+2=3,则有f(-2)=1,又由f(x)为奇函数,则f(2)=-f(-2)

=-1,故选A.2.(2018东北三校联考,7)已知函数y=f(x)满足y=f(-x)和y=f(x+2)是偶函数,且f(1)=

,设F(x)=f(x)+f(-x),则F(3)=

()A.

B.

C.πD.

答案

B由题意得f(-x)=f(x),f(x+2)=f(-x+2)=f(x-2),故f(x)=f(x+4),则F(3)=f(3)+f(-3)=2f(3)=2f(-1)

=2f(1)=

,故选B.3.(2018吉林长春二模,4)若f(x)=

是奇函数,则f(g(-2))的值为

()A.

B.-

C.1

D.-1答案

C∵f(x)=

是奇函数,∴x<0时,g(x)=-

+3,∴g(-2)=-

+3=-1,f(g(-2))=f(-1)=g(-1)=-

+3=1.故选C.4.(2018甘肃庆阳一中5月模拟,10)设奇函数f(x)的定义域为R,且f(x+4)=f(x),当x∈(4,6]时,f(x)=2x

+1,则f(x)在区间[-2,0)上的表达式为

()A.f(x)=2x+1

B.f(x)=-2-x+4-1C.f(x)=2-x+4+1

D.f(x)=2-x+1答案

B当x∈[-2,0)时,-x∈(0,2],∴-x+4∈(4,6],又∵当x∈(4,6]时,f(x)=2x+1,∴f(-x+4)=2-x+4+1.

又∵f(x+4)=f(x),∴f(-x+4)=f(-x),又∵函数f(x)是R上的奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴-f(x)=2-x+4+1,∴当x

∈[-2,0)时,f(x)=-2-x+4-1.故选B.5.(2017宁夏银川二模,9)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=f(x)对x∈R恒成立,当x∈[0,1]

时,f(x)=2x,则f

=

()A.

B.

C.

D.1答案

B∵f(x+2)=f(x)对x∈R恒成立,∴f(x)的周期为2,∵f(x)是定义在R上的偶函数,∴f

=f

=f

.∵当x∈[0,1]时,f(x)=2x,∴f

=

.故选B.6.(2019辽宁沈阳育才学校3月模拟,8)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-6)=f(x),且当x∈(0,3)

时,f(x)=x3-3x,则f(2019)=

()A.-18

B.0

C.18

D.不能确定答案

B根据题意,函数f(x)满足f(x-6)=f(x),则函数是周期为6的周期函数,则有f(-3)=f(3),又由函数f(x)为奇函数,则f(-3)=-f(3),则有f(3)=0,又由函数是周期为6的周期函数,则f(2019)=f(3+336×6)=f(3)=0,故选B.7.(2019陕西西安二模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)=-f(x),且f(x-2)=f(-x),当x∈(-1,1)时,f

(x)=x2+1,则f(2020)=

()A.-1

B.0

C.1

D.2答案

A由函数f(x)满足f(2-x)=-f(x),可知f(x)的对称中心为(1,0),由f(x-2)=f(-x),可知f(x)的对称

轴为x=-1,所以可得f(x)的周期为8,所以f(2020)=f(4),由已知函数f(x)满足f(2-x)=-f(x),令x=4,f(-2)

=-f(4),由已知f(x-2)=f(-x),令x=0,f(-2)=f(0)=1,所以f(4)=-1.故选A.一、选择题(每小题5分,共25分)B组2017—2019年高考模拟·专题综合题组时间:15分钟分值:30分1.(2018内蒙古赤峰一模,9)已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x)的图象关于x=1对称,当x

∈[0,1]时,f(x)=2x-1.则f(2017)+f(2018)的值为

()A.-2

B.-1

C.0

D.1答案

D∵函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x)的图象关于x=1对称,∴f(-x)=-f(x),f(1+x)=f(1

-x),即f(x)=f(2-x)=-f(-x).∴f(4-x)=-f(2-x)=f(-x),∴f(x)的周期T=4,∵当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1,∴f(201

7)+f(2018)=f(1)+f(2)=f(1)+f(0)=2-1+1-1=1.故选D.思路分析易知f(x)=f(2-x)=-f(-x),∴f(4-x)=-f(2-x)=f(-x),∴f(x)的周期T=4,再由当x∈[0,1]时,f(x)=

2x-1,求出f(2017)+f(2018)的值.方法拓展若函数f(x)的图象既有对称中心又有对称轴,则函数f(x)是周期函数,且对称中心与

对称轴之间距离的4倍即为周期.2.(2018辽宁葫芦岛一模,8)设偶函数f(x)对任意x∈R,都有f(x+3)=-

,且当x∈[-3,-2]时,f(x)=4x,则f(107.5)=

()A.10

B.

C.-10

D.-

答案

B因为f(x+3)=-

,故有f(x+6)=-

=-

=f(x).函数f(x)是以6为周期的函数.f(107.5)=f(6×17+5.5)=f(5.5)=-

=-

=-

=

.故选B.解题规律本题主要考查了函数的周期性.要特别利用好f(x+3)=-

.在解题过程中,由条件f(x+a)=-

可求出函数f(x)的周期为2|a|.思路分析先由f(x+3)=-

,推断出函数f(x)是以6为周期的函数.得f(107.5)=f(5.5),再利用f(x+3)=-

以及f(x)是偶函数和x∈[-3,-2]时,f(x)=4x即可求得f(107.5)的值.3.(2018青海西宁四中模拟,7)定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,则使得f(x)>f(x2-2x+

2)成立的x的取值范围是

()A.(1,2)

B.(-∞,1)∪(2,+∞)C.(-∞,1)

D.(2,+∞)答案

A因为f(x)是奇函数且在[0,+∞)上是增函数,所以函数f(x)在(-∞,0]上也是增函数,则函

数在R上为增函数.f(x)>f(x2-2x+2)⇒x>x2-2x+2⇒x2-3x+2<0,解得1<x<2,即x的取值范围是(1,2).故

选A.思路分析根据题意,可得函数f(x)在R上为增函数,则原不等式变形可得x2-3x+2<0,解得x的取

值范围.4.(2019辽宁丹东一模,8)已知函数f(x)=ln

,则

()A.f(x)是奇函数,且在(-∞,+∞)上单调递增B.f(x)是奇函数,且在(-∞,+∞)上单调递减C.f(x)是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增D.f(x)是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减答案

C根据题意,函数f(x)=ln

,其定义域为R,有f(-x)=ln

=ln

=f(x),则函数f(x)为偶函数,设t=

,y=lnt,对于t=

,导数t'=

,当x>0时,t'>0,即函数t=

在区间(0,+∞)上为增函数,又由y=lnt在区间(0,+∞)上为增函数,则函数f(x)=ln

在(0,+∞)上为增函数,故选C.思路分析根据题意,求出函数的定义域,分析可得f(-x)=f(x),即可得函数f(x)为偶函数,设t=

,y=lnt,结合复合函数单调性的判断方法分析可得函数的单调性,综合即可得答案.5.(2019河南新乡二模,8)已知函数f(x)=log3(9x+1)+mx是偶函数,则不等式f(x)+4x<log32的解集为

()A.(0,+∞)

B.(1,+∞)C.(-∞,0)

D.(-∞,1)答案

C根据题意,函数f(x)=log3(9x+1)+mx