湖南省雅礼教育集团2022年中考数学模试卷含解析

湖南省雅礼教育集团2022年中考数学模试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.如图，正比例函数y=x与反比例函数二=I的图象交于A（2,2）、B（-2,-2）两点，当y=x的函数值大于二=4

的函数值时，x的取值范围是（）

A.x>2B.x<-2

C.-2VxV0或0<xV2D.-2VxV0或x>2

2.如图，在AABC中，8C边上的高是（）

3.在AABC中，点D、E分别在边AB、AC±,如果AD=LBD=3,那么由下列条件能够判断DE〃BC的是（）

空」B匹，空」D名」

BC3BC4CAC3AC4

4.如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图是（

□0

由

5.一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是（）

俯视图主视图左视图

A.棱柱B.正方形C.圆柱D.圆锥

6.如图，在AABC和ABDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F,若AC=BD,AB=ED,BC=BE,则NACB

等于（）

A.ZEDBB.ZBEDC.NEBDD.2NABF

7.下列各图中，既可经过平移，又可经过旋转，由图形①得到图形②的是（）

8.如图，。0是等边△ABC的外接圆，其半径为3,图中阴影部分的面积是（）

2

9.如图，AB//CD,尸”平分N3FG,ZEFB=5S°,则下列说法错误的是（）

C.NFHG=61°D.FG=FH

10.“龟兔赛跑”是同学们熟悉的寓言故事.如图所示，表示了寓言中的龟、兔的路程S和时间，的关系（其中直线段

表示乌龟，折线段表示兔子）.下列叙述正确的是（）

B.乌龟在这次比赛中的平均速度是0.1米/分钟

C.兔子比乌龟早到达终点10分钟

D.乌龟追上兔子用了20分钟

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗

细），则所得的扇形ABD的面积为.

12.如图，在平面直角坐标系中，四边形0A8C的顶点O是坐标原点，点A的坐标（6,0）,5的坐标（0,8）,点C

的坐标（-26，4）,点M,N分别为四边形O4BC边上的动点，动点M从点。开始，以每秒1个单位长度的速度

沿。TAT/J路线向终点8匀速运动，动点N从。点开始，以每秒2个单位长度的速度沿路线向终点A

匀速运动，点M,N同时从。点出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动，设动点运动的时间为，秒（/

>0）,AOMN的面积为S.贝！|：45的长是,8c的长是,当f=3时，S的值是.

13.关于x的方程ax=x+2（a*1）的解是.

14.如图，AB是。O的切线，B为切点，AC经过点O,与。O分别相交于点D,C,若NACB=30。，AB=6,则

阴影部分的面积是

15.已知抛物线y=-x2+mx+2—m,在自变量x的值满足一IWxg的情况下.若对应的函数值y的最大值为6,则

m的值为，

16.将一副三角板如图放置，若NAOO=20。，则N3。。的大小为

17.在一个不透明的口袋中，有3个红球、2个黄球、一个白球，它们除颜色不同之外其它完全相同，现从口袋中随

机摸出一个球记下颜色后放回，再随机摸出一个球，则两次摸到一个红球和一个黄球的概率是.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）若关于x的方程-Y-—--CL--巳3=1无解，求”的值.

X—1X

19.（5分）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销

售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件.降

价前商场每月销售该商品的利润是多少元？要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则

每件商品应降价多少元？

20.（8分）如图，在四边形A8CD中，BD为一条对角线,AD//BC,AD=2BC,NA8D=9O°.E为的中

点，连结BE.

（1）求证：四边形8COE为菱形;

（2）连结AC,若AC平分44。，BC=\,求AC的长.

21.（10分）如图，已知△ABC,按如下步骤作图：

①分别以A、C为圆心，以大于；AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N；

②连接MN,分别交AB、AC于点D、O；

③过C作CE〃AB交MN于点E,连接AE、CD.

（1）求证：四边形ADCE是菱形；

（2）当NACB=90。，BC=6,AADC的周长为18时，求四边形ADCE的面积.

22.（10分）小李在学习了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”之后做了如下思考，请你帮他完成如下问

题：

AD

他认为该定理有逆定理：“如果一个三角形某条边上的中线等于该边长的

8DC

图①图②

一半，那么这个三角形是直角三角形”应该成立.即如图①，在AABC中，AO是边上的中线，若AD=BD=CD,

求证：44c=90。.如图②，已知矩形A8C。，如果在矩形外存在一点E，使得AE_LCE,求证：BELDE.（可

以直接用第（1）问的结论）在第（2）问的条件下，如果八4£。恰好是等边三角形，请求出此时矩形的两条邻边A3

与3c的数量关系.

23.（12分）如图，四边形A8Q9的顶点在。。上，83是。。的直径，延长5A交于点E,连接AC、80交于

点F,作A"_LCE,垂足为点H,已知NAOE=NAC8.

(1)求证：A”是。。的切线；

(2)若08=4,AC=6,求sinNACB的值;

DF2

(3)若——=-,求证：CD=DH.

FO3

24.（14分）如图，点4在NMON的边ON上，ABLOM^B,AE=OB,DELON于E,AD=AO,OCJ_OM于C.求

证：四边形ABC。是矩形；若OE=3,OE=9,求48、40的长.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D

【解析】

试题分析：观察函数图象得到当-2Vx<0或x>2时，正比例函数图象都在反比例函数图象上方，即有y=x的函数值

大于二=三的函数值.故选D.

考点：1.反比例函数与一次函数的交点问题；2.数形结合思想的应用.

2、D

【解析】

根据三角形的高线的定义解答.

【详解】

根据高的定义，4尸为△A3C中8c边上的高.

故选D.

【点睛】

本题考查了三角形的高的定义，熟记概念是解题的关键.

3、D

【解析】

如图，・.・AD=1,BD=3,

•..-A-D=一1•

AB4

AE/…ADAE

3-----=一时,---=---,

AC4ABAC

XVZDAE=ZBAC,

.".△ADE^AABC,

；.NADE=NB,

.\DE〃BC,

而根据选项A、B、C的条件都不能推出DE〃BC,

故选D.

4、D

【解析】

找到从正面、左面、上看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中.

【详解】

解：此几何体的主视图有两排，从上往下分别有1,3个正方形；

左视图有二列，从左往右分别有2,1个正方形；

俯视图有三列，从上往下分别有3,1个正方形，

故选A.

【点睛】

本题考查了三视图的知识，关键是掌握三视图所看的位置.掌握定义是关键.

此题主要考查了简单组合体的三视图，准确把握观察角度是解题关键.

5、C

【解析】试题解析：根据主视图和左视图为矩形可判断出该几何体是柱体，

根据俯视图是圆可判断出该几何体为圆柱.

故选C.

6、C

【解析】

根据全等三角形的判定与性质，可得NACB=/DBE的关系，根据三角形外角的性质，可得答案.

【详解】

AC=BD

在△ABC和△DEB中，\AB=ED,所以△ABC三△BDE(SSS),所以NACB=NDBE.故本题正确答案为C.

BC=BE

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟悉掌握是关键.

7、D

【解析】

A,B,C只能通过旋转得到，D既可经过平移，又可经过旋转得到，故选D.

8、D

【解析】

根据等边三角形的性质得到NA=60。，再利用圆周角定理得到NBOC=120。，然后根据扇形的面积公式计算图中阴影部

分的面积即可.

【详解】

•••△ABC为等边三角形，

.*.ZA=60o,

.,.ZBOC=2ZA=120°,

二图中阴影部分的面积==3兀

360

故选D.

【点睛】

本题考查了三角形的外接圆与外心、圆周角定理及扇形的面积公式，求得NBOC=120。是解决问题的关键.

9、D

【解析】

根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到正确的结论.

【详解】

解：vABUCD,NEFB=58。,

E,

AB

C/G八口

.•.NEGD=58°,故A选项正确；

•••FH平分NBFG,

..4FH=/GFH,

又「ABIICD

..4FH=/GHF,

.•./GFH=/GHF,

，GF=GH,故B选项正确；

•.•NBFE=58°,FH平分NBFG,

NBFH=1（180c-58°）=61°,

­.AB||CD

.•./BFH=/GHF=61°,故C选项正确；

•.•々GHH^FHG,

.•.FGHFH,故D选项错误；

故选D.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等.

10、D

【解析】

分析：根据图象得出相关信息，并对各选项一一进行判断即可.

详解：由图象可知，在赛跑中，兔子共休息了：50-10=40（分钟），故A选项错误；

乌龟跑500米用了50分钟，平均速度为：—=10（米/分钟），故B选项错误；

50

兔子是用60分钟到达终点，乌龟是用50分钟到达终点，兔子比乌龟晚到达终点10分钟，故C选项错误;

在比赛20分钟时，乌龟和兔子都距起点200米，即乌龟追上兔子用了20分钟，故D选项正确.

故选D.

点睛：本题考查了从图象中获取信息的能力.正确识别图象、获取信息并进行判断是解题的关键.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11、25

【解析】

试题解析：由题意OB=CD+BC=10

s

mD=x=1x10x5=25

12、10,1,1

【解析】

作C£>_Lx轴于。，CE_L。〃于E,由勾股定理得出45=旧百而'=10,OC=J(2厨+4?=1,求出BE=OB

-OE=4,得出0E=8E,由线段垂直平分线的性质得出8C=OC=1；当f=3时，N到达C点，M到达04的中点，

OM=3,ON=OC=1,由三角形面积公式即可得出AOMN的面积.

【详解】

解：作COJLx轴于O,CE工OB于E,如图所示：

由题意得：04=1,03=8,

"：ZAOB=9()°,

二48=y/o^+OB2=10；

•.•点C的坐标（-2逐，4）,

.•.0C=J（2扃+4?=1，0E=4,

：.BE=OB-OE=4,

：.OE=BE,

：.BC=OC=1；当f=3时，N到达C点，M到达。4的中点，OM=3,0N=0C=\,

:AOMN的面积S=-x3x4=l；

2

故答案为：10,1,1.

【点睛】

本题考查了勾股定理、坐标与图形性质、线段垂直平分线的性质、三角形面积公式等知识；熟练掌握勾股定理是解题

的关键.

【解析】

分析：依据等式的基本性质依次移项、合并同类项、系数化为1即可得出答案.

.2

详解：移项，得：or-合并同类项，得：（〃-l）x=l.-1对，方程两边都除以Q-1,得:x=-----.故

a-\

答案为户三2.

a-1

点睛：本题主要考查解一元一次方程的能力，熟练掌握等式的基本性质及解一元一次方程的基本步骤是解题的关键.

14月兀

14、-------

26

【解析】

连接OB.

•.•AB是。O切线，

/.OB±AB,

VOC=OB,NC=30。，

.,.NC=NOBC=30。，

NAOB=NC+NOBC=60。，

在RSABO中，VZABO=90°,AB=V5，NA=30°,

/.OB=1,

【解析】

求出抛物线的对称轴__分___三种情况进行讨论即可.

匚=-亡T<-A-2<T<2,T>2

4，J/

【详解】

抛物线的对称轴__,抛物线开口向下,

当一，即二<_-时，抛物线在一1金32时，二随-的增大而减小，在二=_:时取得最大值，即

T<--

二=_（一/）；一二+二一二=人解得.符合题意.

--.—

当一即_，V-V时，抛物线在一1WXS2时，在_时取得最大值，即一无解.

-7<T<2,□=jE=-DJ+yXD+2-n=5,

当一，即二>《时，抛物线在一lSxS2时，二随二的增大而增大，在二='时取得最大值，即二=_1+厂+。_二=6

y>2~~~'

解得二=&符合题意.

综上所述，m的值为8或.

故答案为：8或.

【点睛】

考查二次函数的图象与性质，注意分类讨论，不要漏解.

16、160°

【解析】

试题分析：先求出NCOA和NBOD的度数，代入NBOC=NCOA+NAOD+NBOD求出即可.

解：VZAOD=20°,ZCOD=ZAOB=90°,

:.ZCOA=ZBOD=90°-20°=70°,

.,.ZBOC=ZCOA+ZAOD+ZBOD=70o+20o+70o=160°,

故答案为160°.

考点：余角和补角.

1

17、-

3

【解析】

先画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出两次摸到一个红球和一个黄球的结果数，然后根据概率公式求解.

【详解】

画树状图如下：

红红红

黄

红红红黄黄白

由树状图可知，共有36种等可能结果，其中两次摸到一个红球和一个黄球的结果数为12,

171

所以两次摸到一个红球和一个黄球的概率为7=-,

363

故答案为2.

【点睛】

本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的

结果数目m,然后根据概率公式求出事件A或B的概率.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、。=1或-2

【解析】

x—a3

分析：该分式方程一7—-=1无解的情况有两种：(1)原方程存在增根；(2)原方程约去分母后，整式方程无解.

x-1x

详解：去分母得：x(x-a)-1(x-1)=x(x-1),

去括号得：x2-ax-lx+l=x2-x,

移项合并得：(a+2)x=l.

(1)把x=0代入(a+2)x=L

•'a无解；

把x=l代入(a+2)x=L

解得a=l；

(2)(a+2)x=l,

当a+2=0时，Oxx=l,x无解

即a=・2时，整式方程无解.

综上所述，当a=l或a=-2时，原方程无解.

故答案为a=l或a=2

点睛：分式方程无解，既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形.

19、(1)4800元；⑵降价60元.

【解析】

试题分析：(D先求出降价前每件商品的利润，乘以每月销售的数量就可以得出每月的总利润；(2)设每件商品应降

价x元，由销售问题的数量关系“每件商品的利润x商品的销售数量=总利润”列出方程，解方程即可解决问题.

试题解析：

(1)由题意得60x(360-280)=4800(元).即降价前商场每月销售该商品的利润是4800元；

(2)设每件商品应降价x元，

由题意得(360-X-280)(5x4-60)=7200,

解得xi=8,*2=60.

要更有利于减少库存，则*=60.

即要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元.

点睛：本题考查了列一元二次方程解实际问题的销售问题，解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键.

20、(1)证明见解析；(2)AC=6；

【解析】

(1)由DE=BC,DE/7BC,推出四边形BCDE是平行四边形，再证明BE=DE即可解决问题；

(2)只要证明△ACD是直角三角形，ZADC=60°,AD=2即可解决问题；

【详解】

(1)证明：•.•AD=2BC,E为AD的中点，

.•.DE=BC,

VAD/7BC,

工四边形BCDE是平行四边形，

VZABD=90°,AE=DE,

.*.BE=DE,

四边形BCDE是菱形.

(2)连接AC,如图所示：

VZADB=30°,ZABD=90°,

.,.AD=2AB,

VAD=2BC,

AAB=BC,

.•.ZBAC=ZBCA,

VAD/7BC,

/.ZDAC=ZBCA,

:.ZCAB=ZCAD=30°

.,.AB=BC=DC=1,AD=2BC=2,

VZDAC=30°,ZADC=60°,

在RtAACD中，AC=J[〃2_缪2=也.

【点睛】

考查菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法.

21、(1)详见解析；(2)1.

【解析】

(1)利用直线DE是线段AC的垂直平分线，得出AC_LDE,即NAOD=NCOE=90。，从而得出△AOD乡ZiCOE,

即可得出四边形ADCE是菱形.

(2)利用当NACB=90。时，OD〃BC,即有△ADOSAABC,即可由相似三角形的性质和勾股定理得出OD和AO

的长，即根据菱形的性质得出四边形ADCE的面积.

【详解】

(1)证明：由题意可知：

•••分别以A、C为圆心，以大于；AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N；

...直线DE是线段AC的垂直平分线，

.\AC_LDE,即NAOD=NCOE=90。；

且AD=CD、AO=CO,

又：CE〃AB,

/.Z1=Z2,

在4AOD和4COE中

'UJ=口2

二二二二=二二二二=90z

/.△AOD^ACOE(AAS),

.*.OD=OE,

VAO=CO,DO=EO,

四边形ADCE是平行四边形,

又；AC_LDE,

四边形ADCE是菱形；

(2)解：当NACB=90。时，

OD//BC,

即有△ADO^AABC,

又；BC=6,

.*.OD=3,

又1•△ADC的周长为18,

，AD+AO=9,

即AD=9-AO,

•・

二二二\二二-一二二’二3,

可得AO=4,

ADE=6,AC=8,

••

□=：匚匚♦匚口=^x8x6=24.

1/

【点睛】

考查线段垂直平分线的性质，菱形的判定，相似三角形的判定与性质等，综合性比较强.

22、(1)详见解析；(2)详见解析；(3)BC=6AB

【解析】

(1)利用等腰三角形的性质和三角形内角和即可得出结论；

(2)先判断出OE=」AC,即可得出OE=』BD,即可得出结论；

22

(3)先判断出△ABE是底角是30。的等腰三角形，即可构造直角三角形即可得出结论.

【详解】

(1)VAD=BD,

；.NB=NBAD,

VAD=CD,

.".ZC=ZCAD,

在△ABC中，NB+NC+NBAC=180。，

.•.ZB+ZC+ZBAD+ZCAD=ZB+ZC+ZB+ZC=180°

.,.ZB+ZC=90°,

*

..ZBAC=90°>

(2)如图②，连接AC与BD，交点为。，连接OE

•.•四边形ABC。是矩形

OA^OB=OC^OD^-AC^-BD

22

-,-AELCE

,-.ZAEC=90°

:.OE=-AC

2

OE=-BD

2

:"BED=90°

.BE工DE

(3)如图3,过点8做于点尸

AD

E

••・四边形ABCD是矩形

：.AD^BC,N班0=90°

•.•A4DE是等边三角形

:.AE^AD^BC,ZZME=ZA££>=60°

由(2)知，/BED=90。

.-.ZBAE=ZBEA=30°

：.AE=2AF

••,在心ZVIB/7中，NR4£=30。

:.AB=2AF,AF=6BF

AE=6AB

-.-AE=BC

BC=6AB

【点睛】

此题是四边形综合题，主要考查了矩形是性质，直角三角形的性质和判定，含30。角的直角三角形的性质，三角形的

内角和公式，解(1)的关键是判断出NB=NBAD,解(2)的关键是判断出OE=」AC,解(3)的关键是判断出4ABE

2

是底角为30。的等腰三角形，进而构造直角三角形.

3

23、(1)证明见解析；(2)—；(3)证明见解析.

4

【解析】

(1)连接。4,证明AIMB丝ZWAE,得至l」A5=AE,得到04是△5DE的中位线，根据三角形中位线定理、切线的

判定定理证明；

(2)利用正弦的定义计算；

(3)证明AC。尸S/VIOF,根据相似三角形的性质得到CQ=，CE,根据等腰三角形的性质证明.

4

【详解】

(1)证明：连接0A,

由圆周