冀教版2021~2022年九年级数学下册期末综合检测试卷（含答案与解析）

冀教版2021-2022年下册期末综合检测试卷

九年级数学

（本试题卷共4页，满分120分，考试时间100分钟）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条形码粘贴

在答题卡上指定位置。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效。

3.非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答

在试题卷上无效。作图一律用2B铅笔或0.5毫米的黑色签字笔。

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题（共10题；共30分）

1.在1,2,3,一4这四个数中，任选两个数的积作为k的值，使反比例函数y=X的图象在第二、四象限

x

的概率是（）

1123

A-B.-C.-D.-

4238

2.有6个相同的立方体搭成的儿何体如图所示，则它的主视图是（）

士视方向

Bc

人由0PR'h

3

3.某班级中男生和女生各若干，若随机抽取1人，抽到男生的概率是：，则抽到女生的概率是（）

321

A.不确定B.-C.-D.-

4.抛物线y=5（x-l）2的对称轴是（）

A.直线x=-lB.直线x=lC.y轴D.x轴

5.已知。。的半径为5cm,点P到。。的最近距离是2,那么点P到。。的最远距离是（）

A7cmB.8cmC.7cm或12cmD.8cm或12cm

6.在一个不透明的口袋中有6个除颜色外其余都相同的小球，其中1个白球，2个

红球，3个黄球.从口袋中任意摸出一个球是红球的概率是：【】

]_]_5

A.C.

6326

7.某口袋里现有6个红球和若干个绿球（两种球除颜色外，其余完全相同），某同学随机的从该口袋里摸出

一球，记下颜色后放回，共试验50次，其中有25个红球，估计绿球个数为（）

A.6B.12C.13D.25

8.做重复实验同一枚啤酒瓶盖1000次.经过统计得“凸面向上"的频率0.48,则可以由此估计抛掷这枚啤

酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为（）

A.0.24B.0.48C.0.50D.0.52

9.若对于任意非零实数a,抛物线产ax2+ax-2a总不经过点P（x0-3,x°2-16）,则符合条件的点P（）

A.有且只有1个B.有且只有2个C.有且只有3个D.有无穷多个

10.对于二次函数尸（x-1A+2的图象，下列说法正确的是（）

A.开口向下B.对称轴是x=-lC.顶点坐标是（1,2）D.与x轴有两个交点

二、填空题（共10题；共30分）

11.正多边形的一个内角等于144。，则这个多边形的边数是.

12.一个几何体从正面、左面、上面看都是同样大小的圆，这个几何体是.

13.如图,。0是边长为2的等边三角形ABC的内切圆，则。0的面积为.

14.已知抛物线y=（m-1）x2+4的顶点是此抛物线的最高点，那么m的取值范围是

15.飞机着陆后滑行的距离S（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数关系式是S=80t-2t2,飞机着

陆后滑行的最远距离是m.

16.如图,四边形ABCD的各边与O。分别相切于点E、F,G、H.若A如4cm,AD=3cm,BC=3.6cm,则

CD=cm.

G

D.

17.边长为20cm的正六边形的内切圆的半径为

18.如图，用一个平面从正方体的三个顶点处截去正方体的一角变成一个新的多面体，这个多面体共有

19.如图是由若干个小正方形搭建的儿何体的三视图，那么此几何体由个小正方形搭建而成.

20.如图4所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中建立的直角坐标系，右面的一条抛物

线的解析式为y=x2-4x+5表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称，则左面钢缆的表达式为

三、解答题（共8题；共60分）

21.现有小莉，小罗，小强三个自愿献血者，两人血型为O型，一人血型为A型.若在三人中随意挑选一

人献血，两年以后又从此三人中随意挑选一人献血，试求两次所抽血的血型均为。型的概率.（要求：用列

表或画树状图的方法解答）

22.甲班56人，其中身高在160厘米以上的男同学10人，身高在160厘米以上的女同学3人，乙班80人,

其中身高在160厘米以上的男同学20人，身高在160厘米以上的女同学8人.如果想在两个班的160厘米

以上的女生中抽出一个作为旗手，在哪个班成功的机会大？为什么？

23.如图，AB是。0的直径，点F、C在。O上且或二=&,连接AC、AF,过点C作CDJ_AF交AF的延

长线于点D.

(1)求证：CD是00的切线；

(2)若泰=应；，CD=4,求。。的半径.

24.在一个不透明的口袋里有分别标注2、4、6的3个小球(小球除数字不同外，其余都相同)，另有3张

背面完全一样、正面分别写有数字6、7、8的卡片.现从口袋中任意摸出一个小球，再从这3张背面朝上

的卡片中任意摸出一张卡片.

(1)请你用列表或画树状图方法，表示出所有可能出现的结果；

(2)小红和小莉做游戏，制定了两个游戏规则：

规则1：若两次摸出的数字，至少有一次是“6”，小红赢；否则，小莉赢.

规则2：若摸出的卡片上的数字是球上数字的整数倍时，小红赢；否则，小莉赢.

小红要想在游戏中获胜，她会选择哪一种规则，并说明理由.

25.如图所示，抛物线y=ax?+bx+c(a*0)经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点.点D从C出发，

沿线段CO以1个单位/秒速度向终点0运动，过点D作0C的垂线交BC于点E,作EFII0C,交抛物线于

点F.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)小明在探究点D运动时发现，①当点D与点C重合时，EF长度可看作。；②当点D与点。重合时，

EF长度也可以看作0,于是他猜想：设点D运动到0C中点位置时，当线段EF最长，你认为他猜想是否正

确，为什么？

(3)连接CF、DF,请直接写出4CDF为等腰三角形时所有t的值.

26.有一个渔具包，包内装有A,B两只鱼竿，长度分别为3.6m,4.5m,包内还装有绑好鱼钩的ai,a2,

b三根钓鱼线，长度分别为3.6m,3.6m,4.5m.若从包内随即取出一支鱼竿，再随即取出一根钓鱼线，则

鱼竿和鱼钩线长度相同的概率是多少？(请画树状图或列表说明)

27.已知直线1：y=kx和抛物线C：y=ax2+bx+l.

(1)当k=l,b=l时，抛物线C：y=ax?+bx+l的顶点在直线1：y=kx上，求a的值；

(2)若把直线1向上平移k2+l个单位长度得到直线r,则无论非零实数k取何值，直线r与抛物线C都只

有一个交点；

(i)求此抛物线的解析式；

(ii)若P是此抛物线上任一点，过点P作PQ〃y轴且与直线y=2交于点Q,0为原点，

求证：OP=PQ.

28.如图所示是长方体的表面展开图，折叠成一个长方体.

(1)与字母F重合的点有哪几个？

(2)若AD=4AB,AN=3AB,长方形DEFG的周长比长方形ABMN的周长少8,求原长方体的容积.

参考答案

一、单选题(共10题；共30分)

I.在L2,3,一4这四个数中，任选两个数的积作为k的值，使反比例函数y=&的图象在第二、四象限

x

的概率是()

11人23

A.-B.-C.-D.一

4238

【1题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】四个数任取两个有12种可能.要使图象在第四象限，则k<0,找出满足条件的个数，除以12即可

得出概率.

【详解】依题意共有12种，

要使图象二、四象限厕k<0,

积123-4

23

22

满足条件的有6种,

因此概率为--.

122

故答案选：B.

【点睛】本题考查的知识点是列表法与树状图法，反比例函数的性质，解题的关键是熟练的掌握列表法与树

状图法，反比例函数的性质.

2.有6个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（）

支祝方向

【2题答案】

【答案】D

【解析】

【详解】分析：根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案.

详解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，

故选D.

点睛：本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图.

3

3.某班级中男生和女生各若干，若随机抽取1人，抽到男生的概率是则抽到女生的概率是（）

1

32

A.不确定B.-C.—D.5-

【3题答案】

【答案】C

【解析】

3

【分析】由某班级中男生和女生各若干，若随机抽取1人，抽到男生的概率是?，根据概率的意义，即可

得抽到女生的概率是：1-31.

【详解】解：；某班级中男生和女生各若干，若随机抽取1人，抽到男生的概率是三3，

32

...抽到女生的概率是：1-二=—•

故选C.

【点睛】此题考查了概率的意义.此题比较简单，注意掌握概率的意义是解此题的关键.

4.抛物线y=5(x-l)2的对称轴是()

A.直线x=；B.直线x=lC.y轴D.x轴

【4题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】二次函数的顶点式是：y=a(x-h)2+k(a/0,且a,h,k是常数)，它的对称轴是x=h.

【详解】抛物线y=5(x-l)2是抛物线的顶点式，

根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标(1,0)，

所以，对称轴是直线x=l.

故答案选：B.

【点睛】本题考查的知识点是二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质.

5.已知。。的半径为5cm,点P到。。的最近距离是2,那么点P到。。的最远距离是()

A.7cmB.8cmC.7cm或12cmD.8cm或12cm

【5题答案】

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：解：的半径为5cm,

：.QO的直径为10cm,

•.•点P到。O的最近距离是2,

若点P在圆内，则点P到。O的最远距离是：10-2=8(cm)；

若点P在圆内，则点P到。O的最远距离是：10+2=12(cm),

点P到。O的最远距离是，8cm或12cm.

故选D

考点：点与圆的位置关系

点评：此题考查了点与圆的位置关系.此题难度不大，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键

6.在一个不透明的口袋中有6个除颜色外其余都相同的小球，其中1个白球，2个

红球，3个黄球.从口袋中任意摸出一个球是红球的概率是：【】

【6题答案】

【答案】B

【解析】

【详解】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就

是其发生的概率.因此，

口袋中小球的总数为6,红球有2个，

21

,从口袋中任意摸出一个球是红球的概率是故选B.

63

7.某口袋里现有6个红球和若干个绿球（两种球除颜色外，其余完全相同），某同学随机的从该口袋里摸出

一球，记下颜色后放回，共试验50次，其中有25个红球，估计绿球个数为（）

A.6B.12C.13D.25

【7题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入

手，设未知数列出方程求解.

【详解】设袋中有绿球X个，由题意得——=总，

x+650

解得x=6个.

故答案选：A.

【点睛】本题考查的知识点是利用频率估计概率，解题的关键是熟练的掌握利用频率估计概率.

8.做重复实验同一枚啤酒瓶盖1000次.经过统计得“凸面向上”的频率0.48,则可以由此估计抛掷这枚啤

酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为（）

A.0.24B.0.48C.0.50D.0.52

【8题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】根据对立事件的概率和为1计算.

【详解】在大量重复实验下，随机事件发生的频率可以作为概率的估计值，

因此抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上''的概率约为1-0.48=0.52.

故答案选：D.

【点睛】本题考查的知识点是利用频率估计概率，解题的关键是熟练的掌握利用频率估计概率.

9.若对于任意非零实数a,抛物线y=ax2+ax-2a总不经过点P(x0-3,xo?-16),则符合条件的点P()

A.有且只有1个B.有且只有2个C.有且只有3个D.有无穷多个

【9题答案】

【答案】B

【解析】

【详解】分析：根据题意可以得到相应不等式，然后根据对于任意非零实数a,抛物线y=ax2+ax-2a总不

经过点P(xo-3,xo2-16),即可求得点P的坐标，从而可以解答本题.

2

详解：•••对于任意非零实数a,抛物线y=ax2+ax-2a总不经过点P(x0-3,x0-16),

.".xo2-16/a(xo-3)2+a(xo-3)-2a

/.(xo-4)(xo+4)/a(xo-1)(xo-4)

(xo+4)/a(xo-1)

.*.xo=4或xo=l,

.•.点P的坐标为(-7,0)或(-2,-15)

故选B.

点睛：本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.

10.对于二次函数产(片1>+2的图象，下列说法正确的是()

A.开口向下B.对称轴是尸-1C.顶点坐标是(1,2)D.与x轴有两个交点

【10题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】根据抛物线的性质由a=l得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为(1,2),对称轴为直线

x=l,从而可判断抛物线与x轴没有公共点.

【详解】解：二次函数丫=(x-1)2+2的图象开口向上，顶点坐标为(1,2),对称轴为直线x=l,抛物线与

x轴没有公共点.

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，其顶

点坐标为（h,k）,对称轴为x=h.当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下.

二、填空题（共10题；共30分）

11.正多边形的一个内角等于144。，则这个多边形的边数是

【11题答案】

【答案】10

【解析】

【分析】先根据已知条件设出正多边形的边数，再根据正多边形的计算公式得出结果即可.

【详解】解：设这个正多边形是正〃边形，根据题意得：

（M-2）X180°=144°〃，

解得：〃=10.

故答案为：10.

【点睛】本题考查了正多边形的内角，在解题时要根据正多边形的内角和公式列出式子是本题的关键.

12.一个几何体从正面、左面、上面看都是同样大小的圆，这个几何体是.

【12题答案】

【答案】球.

【解析】

【详解】试题分析：只有球的三视图都是圆，故这个几何体是球.

考点：由三视图判断几何体.

13.如图尸O是边长为2的等边三角形ABC的内切圆，则。。的面积为.

【13题答案】

71

【答案】y

【解析】

【分析】欲求。O的面积，需先求出。。的半径；可连接OC,由切线长定理可得到/OCB=/OCA=30。，

再连接OD（设BC切于D）,在RtAOCD中通过解直角三角形即可求得。O的半径，进而可求出。O

的面积.

【详解】设BC切。。于点D,连接OC、0D；

VCA.CB都与。0相切,

.\ZOCD=ZOCA=30°；

RTbOCD中，CD=-BC=1,ZOCD=30°.

2

因为OD=CDtan3(T=走

3

7T

所以Soo=7t(OD)2=—.

3

【点睛】掌握三角形与内接圆的关系，熟练解出圆的半径是解答本题的关键.

14.已知抛物线y=(m-1)x2+4的顶点是此抛物线的最高点，那么m的取值范围是

【14题答案】

【答案】m<l

【解析】

【分析】根据二次函数y=(m+1)x2+2的顶点是此抛物线的最高点，得出抛物线开口向下,即m+l<0,即

可得出答案.

【详解】•••抛物线y=(m-l)x2+4的顶点是此抛物线的最高点，

抛物线开口向下，

m-l<0>

m<l,

故答案为：m<l.

【点睛】本题考查的知识点是二次函数的最值，解题的关键是熟练的掌握二次函数的最值.

15.飞机着陆后滑行的距离S(单位：m)与滑行的时间t(单位：s)的函数关系式是S=80-t2t2,飞机着

陆后滑行的最远距离是m.

【15题答案】

【答案】800

【解析】

【分析】根据飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函数的最大值.

【详解】解：

.,.函数有最大值.

80

当t=一=20时,

2x(-2)

—802

s最大值=:一——=800(米),

4x(-2)

即飞机着陆后滑行800米才能停止.

故答案为800.

16.如图，四边形ABCD的各边与00分别相切于点E、F、G、H.若AB=4cm,AD=3cm,BC=3.6cm,则

【16题答案】

【答案】2.6

【解析】

【分析】直接利用切线长定理求出DC+AB=AD+BC,进而得出答案.

【详解】；.DG=DH,CG=CF,BF=BE,AE=AH,

贝！］DC+AB=AD+BC

VAB=4cm,AD=3cm>BC=3.6cm,

，CD=3+3.6-4=2.6.

故答案2.6.

【点睛】本题考查的知识点是切线长定理，解题的关键是熟练的掌握切线长定理.

17.边长为20cm的正六边形的内切圆的半径为.

【17题答案】

【答案】10月cm

【解析】

【分析】根据题意画出图形，利用正六边形中的等边三角形的性质求解即可.

C如图，连接OA、OB,OG；

•.•六边形ABCDEF是边长为4的正六边形,

.'.△OAB是等边三角形，

/.OA=AB=20cm,

.,.OG=OAsin600=20x2/1=1073cm,

2

边长为4的正六边形的内切圆的半径为1073cm.

故答案为10右cm.

【点睛】本题考查的知识点是正多边形和圆，解题的关键是熟练的掌握正多边形和圆.

18.如图，用一个平面从正方体的三个顶点处截去正方体的一角变成一个新的多面体，这个多面体共有

【18题答案】

【答案】12

【解析】

【分析】截去正方体一角变成一个多面体，这个多面体多了一个面、棱不变，少了一个顶点.

【详解】正方体有12条棱，被截去了3条棱，截面为三角形，增加了3条棱，故棱数不变.

故答案为12.

【点睛】本题考查的知识点是截一个几何体，解题的关键是熟练的掌握截一个几何体.

19.如图是由若干个小正方形搭建的几何体的三视图，那么此几何体由个小正方形搭建而成.

主视图俯视图左视图

【19题答案】

【答案】6

【解析】

【详解】试题分析：综合三视图，我们可以得出，这个几何体的底层应该有4个小正方体，第二层应该有2

个小正方体，因此搭成这个几何体的小正方体的个数为2+4=6个.

20.如图4所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中建立的直角坐标系，右面的一条抛物

线的解析式为y=x2—4x+5表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称，则左面钢缆的表达式为.

【答案】x2+4x+5

【解析】

【详解】由于两个函数图象都交于y轴上的同一点，所以c的值相等；两条抛物线的形状及开口方向相同，

所以a的值相等；由于两条抛物线关于y轴对称，所以两个函数的b值互为相反数.

解：把y=x?-4x+5中的一次项系数-4变成相反数得到：y=x2+4x+5.

故答案为y=x''+4x+5.

“点睛”本题考查了关于y轴对称的两条抛物线的特征：二次项系数、常数项不变，一次项系数互为相反

数.

三、解答题（共8题；共64分）

21.现有小莉，小罗，小强三个自愿献血者，两人血型为O型，一人血型为A型.若在三人中随意挑选一

人献血，两年以后又从此三人中随意挑选一人献血，试求两次所抽血的血型均为。型的概率.（要求：用列

表或画树状图的方法解答）

[21题答案】

4

【答案】--

【解析】

【分析】列举出所有情况，看两次所抽血的血型均为。型的情况占总情况的多少即可.

【详解】画树状图如下：

开始

共有9种情况，两次都为0型的有4种情况，所以概率是

22.甲班56人，其中身高在160厘米以上的男同学10人，身高在160厘米以上的女同学3人，乙班80人，

其中身高在160厘米以上的男同学20人，身高在160厘米以上的女同学8人.如果想在两个班的160厘米

以上的女生中抽出一个作为旗手，在哪个班成功的机会大？为什么？

【22题答案】

【答案】甲班成功的机会大，理由见解析.

【解析】

【详解】分析：首先分别求出在两个班的160厘米以上的女生中抽出一个作为旗手的概率，然后进行比较，

哪个大在哪个班成功的机会大.

本题解析：

•••已经限定在身高160厘米以上的女生中抽选旗手，甲班身高在160厘米以上的女同学3人，乙班身高在

160厘米以上的女同学8人，

，在甲班被抽到的概率为1，在乙甲班被抽到的概率为,，

1138

>

3-8-.♦•在甲班被抽到的机会大.

23.如图，AB是。。的直径，点F、C在。0上且/c=&,连接AC、AF,过点C作CDJ_AF交AF的延

长线于点D.

(1)求证：CD是OO的切线；

(2)若检=F七，CD=4,求。。的半径.

【23题答案】

【答案】（1）证明见解析；（2）土.

3

【解析】

【分析】（1）连结0C,由&；=&,根据圆周角定理得NFAC=NBAC,而NOAC=NOCA,则

NFAC=NOCA,可判断OC〃AF,由于CDJ_AF,所以OCLCD,然后根据切线的判定定理得到CD是。0

的切线；

（2）连结BC,由AB为直径得/ACB=90。，由F,C,B三等分半圆得/BOC=60。，则/BAC=30。，所以

ZDAC=30°,在Rt^ADC中，利用含30度的直角三角形三边的关系得AC=2CD=8,在Rt^ACB中，根据

勾股定理求得AB,进而求得。。的半径.

【详解】（1）证明：连结OC,如图，

•.AA

•BC=CF'

AZFAC=ZBAC,

VOA=OC,

.,.ZOAC=ZOCA,

；.NFAC=NOCA,

；.C）C〃AF,

VCD±AF,

AOC1CD,

.••CD是。。的切线；

（2）解：连结BC,如图，

VAB为直径，

.,.ZACB=90°,

..八A_A

-BC=CF=AF9

.,.ZBOC=-X180°=60°,

3

.\ZBAC=30°,

・・・ZDAC=30°,

在Rt/kADC中，CD=4,

・・・AC=2CD=8,

在Rt/kACB中，BC2+AC2=AB2,

即82+(-AB)2=AB2

2

.AR-16V3

•(AJL5-------------,

3

【点睛】考查切线的判定，勾股定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系等，比较基础，站我切线的判

定方法是解题的关键.

24.在一个不透明的口袋里有分别标注2、4、6的3个小球（小球除数字不同外，其余都相同），另有3张

背面完全一样、正面分别写有数字6、7、8的卡片.现从口袋中任意摸出一个小球，再从这3张背面朝上

的卡片中任意摸出一张卡片.

（1）请你用列表或画树状图的方法，表示出所有可能出现的结果；

（2）小红和小莉做游戏，制定了两个游戏规则：

规则1：若两次摸出的数字，至少有一次是“6”，小红赢；否则，小莉赢.

规则2：若摸出的卡片上的数字是球上数字的整数倍时，小红赢；否则，小莉赢.

小红要想在游戏中获胜，她会选择哪一种规则，并说明理由.

【24题答案】

【答案】（1）见解析（2）规则1,理由见解析

【解析】

【详解】解：（1）列表如下：

小球、\678

2(2,6)(2,7)(2,8)

4(4,6)(4,7)(4,8)

6(6,6)(6,7)(6,8)

或画树状图如下:

/T\/N/1\

卡片678678678

.••共有9种可能,分别是(2,6),(2,7),(2,8),(4,6),(4,7),

(4,8),(6,6),(6,7),(6,8).

(2)规则1：由(1)可知，至少有一次是“6”的情况有5种，

54

...小红赢的概率是P(至少有一次是“6")=?,小莉赢的概率是

54

・；八，；•此规则小红获胜的概率大.

99

规则2：卡片上的数字是球上数字的整数倍的有：(2,6)(2,8)(4,8)(6,6)共4种情况，

45

•••小红赢的概率是P(卡片上的数字是球上数字的整数倍)=一，小莉赢的概率是

99

54

：'>X，；•此规则小莉获胜的概率大.

小红要想在游戏中获胜，她应该选择规则1.

(1)利用列表法或者画出树状图，然后写出所有的可能情况即可.

(2)分别求出“至少有一次是“6””和“卡片上的数字是球上数字的整数倍”的概率，小红选择自己获胜的概率

比小莉获胜的概率大的一种规则即可在游戏中获胜.

25.如图所示，抛物线y=ax?+bx+c(a*0)经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点.点D从C出发，

沿线段CO以1个单位/秒的速度向终点。运动，过点D作0C的垂线交BC于点E,作EFII0C,交抛物线于

点F.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)小明在探究点D运动时发现，①当点D与点C重合时，EF长度可看作。；②当点D与点。重合时，

EF长度也可以看作0,于是他猜想：设点D运动到0C中点位置时，当线段EF最长，你认为他猜想是否正

确，为什么？

(3)连接CF、DF,请直接写出4CDF为等腰三角形时所有t的值.

p\

A'0

【25题答案】

【答案】(1)y=-x?+2x+3(2)点D为0C的中点时，线段EF最长(3)当t=2或|■或3时，4CDF为等腰

三角形

【解析】

【分析】(1)由于已知抛物线与X轴交点坐标，则设交点式y=a(x+1)(x-3),然后把C点坐标代入求出

a即可得到抛物线解析式；

(2)先利用待定系数法求出直线BC的解析式，再设E(t,-t+3),接着表示出

D(0,-t+3),F(t,W+2t+3),然后用t表示出EF的长,再利用二次函数的性质确定EF最大时的t的值，

从而判断点D是否为OC的中点；

(3)先由C(0,3),D(0,-t+3),F(t,-t2+2t+3)和利用两点间的距离公式表示出CD2,CF2,DF2,

然后分类讨论：当CD=CF或FC=FD或DC=DF时得到关于t的方程，接着分别解关于t的方程即可.

【详解】(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),

把C(0,3)代入得(-3)=3,解得a=-l,

所以抛物线解析式y=-(x+1)(x-3),即y=-x°+2x+3：

(2)他猜想正确.理由如下：

设直线BC的解析式为y=mx+n,

n=3[m=—\

把C(0,3),B(3,0)代入得Lc，解得《.，则直线BC的解析式为y=-x+3,

3m+n-01〃=3

设E(t,-t+3),则D(0,-t+3),F(t,-t2+2t+3),

39

所以EF=-t?+2t+3-(-t+3)=-t2+3t=-(t——)■一,

24

当t=32时，EF最大，最大值为9二，

24

3

此时D点坐标为(0,-),

2

所以点D为0C的中点时，线段EF最长；

(3)VC(0,3),D(0,-t+3),F(t,-t2+2t+3),

.*.CD2=(-t+3-3)2=t2,CF2=t2+(-t2+2t+3-3)2=t2+(-t2+2t)2,DF2=t2+(-t2+2t+3+t-3)2=t2+

(-t2+3t)2,

当CD=CF时，即/=/+(-t>2t)2,解得3=0,t2=2；

222222

当FC=FD,即t+(-t+2t)=t+(-t+3t),解得t.=0,t2=-；

2

当DC=DF时,即t2=t%(-t43t)2,解得3=0,t2=3；

综上所述，当t=2或1■或3时，4CDF为等腰三角形.

2

c

Ai0\\Bx

【点睛】本题考查的知识点是二次函数综合题，解题的关键是熟练的掌握二次函数综合题.

26.有一个渔具包，包内装有A,B两只鱼竿，长度分别为3.6m,4.5m,包内还装有绑好鱼钩的ai,a2，

b三根钓鱼线，长度分别为3.6m,3.6m,4.5m.若从包内随即取出一支鱼竿，再随即取出一根钓鱼线，则

鱼竿和鱼钩线长度相同的概率是多少？(请画树状图或列表说明)

【26题答案】

【答案】工

【解析】

【详解】试题分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与鱼竿和鱼钩线长度

相同的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案.

试题解析：

解：画树状图得：

开始

AB

/T\/N

a：a?b3fb

•••共有6种等可能的结果，鱼竿和鱼钩线长度相同的有：(A4),(4%),(8b),

31

鱼竿和鱼钩线长度相同的概率是：-=

62

27.已知直线1：y=kx和抛物线C：y=ax2+bx+l.

(1)当k=l,b=l!M,抛物线C：y=ax2+bx+l的顶点在直线1：y=kx上，求a的值；

(2)若把直线1向上平移k2+l个单位长度得到直线r,则无论非零实数k取何值，直线r与抛物线C都只

有一个交点；

(i)求此抛物线的解析式；

(ii)若P是此抛物线上任一点，过点P作PQ〃y轴且与直线y=2交于点Q,0为原点，

求证：OP=PQ.

[27题答案】