吉林省长春市2021年中考数学试卷【含答案】

2021年长春市中考数学

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1.-（-2）的值为（）

A.1B.-1C.2D.-2

22

2.据报道，我省今年前4个月货物贸易进出口总值为52860000000元人民币，比去年同期增长28.2%.其

中52860000000这个数用科学记数法表示为（）

A.0.5286X1011B.5.286X1O10

C.52.86X109D.5286X107

3.如图是一个几何体的三视图，这个几何体是（）

A.圆锥B.长方体C.球D.圆柱

4.关于x的一元二次方程*-6矛+卯=0有两个不相等的实数根，则加的值可能是（）

A.8B.9C.10D.11

5.如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图.已知48两点间的距离为30米，ZA=a,则缆车

从4点到达6点，上升的高度（回的长）为（）

A.30sina米B.3°米c.30cosa米D.30米

sinCI.cosa

6.如图，力8是。。的直径，8c是。。的切线，若/胡片35°,则N48的大小为（）

A.35°B.45°C.55°D.65°

7.在△/叫7中，/胡。=90°,AB^AC.用无刻度的直尺和圆规在a'边上找一点〃，使切为等腰三

角形.下列作法不正确的是（）

8.如图，在平面直角坐标系中，点4、6在函数y=K（A>0,x>0）的图象上，过点力作x轴的垂线,

X

与函数y=~K（%>0）的图象交于点C,连结BC交x轴于点D.若点A的横坐标为1,BC=3BD,则

X

点3的横坐标为（）

A.3B.2C.5D.3

22

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

9.分解因式：a'+2a=.

10.不等式组(2x1-1的所有整数解为.

\x4l

11.将一副三角板按如图所示的方式摆放，点。在边检上，BC//EF,则的大小为度.

12.如图是圆弧形状的铁轨示意图，半径处的长度为200米，圆心角NN仍=90°,则这段铁轨的长度

为米.(铁轨的宽度忽略不计，结果保留五)

13.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形力出的斜边物在y轴上，以=2,点6在第一象限.标

记点3的位置后，将△/必沿x轴正方向平移至△4Q3的位置，使4a经过点B,再标记点5的位置，

继续平移至△4”区的位置，使4a经过点A,此时点区的坐标为.

14.如图，在平面直角坐标系中，点力(2,4)在抛物线夕=由2上，过点/作y轴的垂线，交抛物线于

另一点6,点C、〃在线段四上，分别过点C、〃作x轴的垂线交抛物线于昆尸两点.当四边形如F

为正方形时，线段⑦的长为.

三、解答题(本大题共10小题，共78分)

15.先化简，再求值：(a+2)(a-2)+a(1-a),其中a=J^+4.

16.在一个不透明的口袋中装有三个小球，分别标记数字1、2、3,每个小球除数字不同外其余均相同.小

明和小亮玩摸球游戏，两人各摸一个球，谁摸到的数字大谁获胜，摸到相同数字记为平局.小明从口

袋中摸出一个小球记下数字后放回并搅匀，小亮再从口袋中摸出一个小球.用画树状图(或列表)的

方法，求小明获胜的概率.

17.为助力乡村发展，某购物平台推出有机大米促销活动，其中每千克有机大米的售价仅比普通大米多

2元，用420元购买的有机大米与用300元购买的普通大米的重量相同.求每千克有机大米的售价为

多少元？

18.如图，在菱形加力中，对角线力。与物相交于点0,AC=4,BD=8,点E在边AD上,AE=XAD,

3

连结应1交于点机

(1)求4"的长.

(2)tan乙监。的值为.

19.稳定的粮食产量是人民幸福生活的基本保障，为了解粮食产量情况，小明查阅相关资料得到如下信

息：长春市2020年的粮食总产量达到960万吨，比上年增长约9九其中玉米产量增长约12除水稻

产量下降约2%,其他农作物产量下降约10%

根据以上信息回答下列问题：

(1)2020年玉米产量比2019年玉米产量多万吨.

(2)扇形统计图中〃的值为.

(3)计算2020年水稻的产量.

(4)小明发现如果这样计算2020年粮食总产量的年增长率：12%+(-2%)+(-1O%)=O,就与2020年

3

粮食总产量比上年增长约9%不符，请说明原因.

20.图①、图②、图③均是4X4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为

格点，点力、反。均为格点.只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点版按下列要求作图:

（1）在图①中，连结MA、MB,使物=,监；

（2）在图②中，连结MA、MB、MC,使MA=MB=MC；

（3）在图③中，连结物、加；使N4必

21.（8分）《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内

装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读

数计算时间.某学校S7E4"小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：

【实验观察】实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表：

供水时间x（小时）02468

箭尺读数y（厘米）618304254

【探索发现】①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间无纵轴表示箭尺读数片描出以

表格中数据为坐标的各点.

②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所

对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由.

【结论应用】应用上述发现的规律估算：

①供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？

②如果本次实验记录的开始时间是上午8：00,那当箭尺读数为90厘米时是几点钟？（箭尺最大读

数为100厘米）

22.（9分）实践与探究

操作一：如图①，已知正方形纸片/况〃将正方形纸片沿过点力的直线折叠，使点8落在正方形/腼

的内部，点8的对应点为点必，折痕为四，再将纸片沿过点/的直线折叠，使助与4"重合，折痕为

AF,则/皮伊=度.

操作二：如图②，将正方形纸片沿旗继续折叠，点C的对应点为点A：我们发现，当点£的位置不

同时，点川的位置也不同.当点£在a1边的某一位置时，点/¥恰好落在折痕4E上，则N45F=度.

在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：

（1）设4"与A行的交点为点尸.求证：△ANP^XFNE；

（2）若AB=M，则线段/尸的长为.

23.如图，在△46。中，ZC=90°,AB=5,6。=3,点〃为边力。的中点.动点尸从点力出发，沿折线

%以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点尸不与点/、。重合时，连结".作点4关于直

线外的对称点“，连结/D、A'A.设点尸的运动时间为t秒.

（1）线段4〃的长为；

（2）用含Z的代数式表示线段第的长；

(3)当点，在△/回内部时，求t的取值范围；

(4)当NA4'〃与N8相等时，直接写出Z的值.

24.在平面直角坐标系中，抛物线尸2(*-加？+2加(而为常数)的顶点为4

(1)当加=」时，点4的坐标是，抛物线与y轴交点的坐标是；

2

(2)若点4在第一象限，且勿=旄，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x

的增大而减小时x的取值范围；

(3)当xW2/时，若函数y=2(x-加？+卯的最小值为3,求卯的值；

(4)分别过点尸(4,2)、0(4,2-2加作y轴的垂线，交抛物线的对称轴于点以N.当抛物线y

=2(x-m)2+2勿与四边形尸QW的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点8、点、C,且点8的纵

坐标大于点C的纵坐标.若点8到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，直接写出加的值.

参考答案

1.C.

2.B.

3.D.

4.A.

5.A.

6.C.

7.A.

8.B.

9.0、1.

11.75.

12.100n.

13.(3,1).

14.一2+2旄.

15.解：原式=#-4+a-4

=a-4,

当且=旄+4时,原式=遥+4-4=75.

16.-1.

3

17.每千克有机大米的售价为7元.

18.1.

4

19.解：(1)792-707=85(万吨),

故答案为：85；

(2)1-82.5%-2.5%=15%,

.'.z?=15,

故答案为：15；

(3)147X(1-2%)=144.06(万吨)，

答：2020年水稻的产量为144.06万吨；

(4)正确的计算方法为:(792+144.06+24-707-147-27)4-(707+147+27)X100%^9%,

因为题中式子中的几个百分数基数不同，所以不能这样计算.

20.(7分)图①、图②、图③均是4X4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的

顶点称为格点，点从反。均为格点.只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点也按下列

要求作图：

(1)在图①中，连结物、场，使例=物；

(2)在图②中，连结物、物、/加使始=奶=.呢?；

(3)在图③中，连结肠1、MC,使N4必=2/四£

【分析】(1)根据勾股定理得以=，妫=J而.

(2)连接47,取47中点〃，物="=,/=标.

(3)取△/回内心乱由圆周角定理得/4必=2/48。.

【解答】解：如图，

21.(8分)《九章算术》中记载，浮箭漏(图①)出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内

装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读

数计算时间.某学校S7E4"小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：

【实验观察】实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表：

供水时间x(小时)02468

箭尺读数y(厘米)618304254

【探索发现】①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x.纵轴表示箭尺读数外描出以

表格中数据为坐标的各点.

②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所

对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由.

【结论应用】应用上述发现的规律估算：

①供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？

②如果本次实验记录的开始时间是上午8：00,那当箭尺读数为90厘米时是几点钟？(箭尺最大读

数为100厘米)

【分析】【探索发现】①在平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点即可；

②观察上述各点的分布规律，可得它们是否在同一条直线上，设这条直线所对应的函数表达式为y=

kx+b,利用待定系数法即可求解；

【结论应用】应用上述发现的规律估算：

①利用前面求得的函数表达式求出*=12时，y的值即可得出箭尺的读数；

②利用前面求得的函数表达式求出尸90时，x的值，由本次实验记录的开始时间是上午8：00,即

可求解.

【解答】解：【探索发现】①如图②，

②观察上述各点的分布规律，可得它们是否在同一条直线上，

设这条直线所对应的函数表达式为尸kx+b,

则(b=6,

|2k+b=18

解得：。=6,

lb=6

p=6x+6；

结论应用】应用上述发现的规律估算：

①x=12时，y=6X12+6=78,

供水时间达到12小时时，箭尺的读数为78厘米；

②产=90时，6^+6=90,解得：-¥=14,

,供水时间为14小时，

•••本次实验记录的开始时间是上午8：00,8：00+14=22：00,

•••当箭尺读数为90厘米时是22点钟.

22.(9分)实践与探究

操作一：如图①，已知正方形纸片4况〃将正方形纸片沿过点/的直线折叠，使点8落在正方形力腼

的内部，点6的对应点为点忆折痕为力£，再将纸片沿过点/的直线折叠，使/〃与4方重合，折痕为

AF,则NE4F=45度.

操作二：如图②，将正方形纸片沿厮继续折叠，点。的对应点为点从我们发现，当点£的位置不

同时，点/V的位置也不同.当点£在a1边的某一位置时，点N恰好落在折痕4后上，则/4绪=60

度.

在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：

(1)设用/与的交点为点R求证：侬△£AE；

(2)若AB=M，则线段4°的长为2\6-2.

【分析】操作一：由正方形的性质得N氏”=90°,再由折叠的性质得：/BAE=/MAE,ZDAF=AMAF,

即可求解；

操作二：证明'是等腰直角三角形，得/4W=45°,则+ZNFE,求出/加野=

/。石=30°,即可求解；

(1)由等腰直角三角形的性质得4V=用；再证乙物々NM/=30°,由/倒即可得出结论;

（2）由全等三角形的性质得力々阳PN=EN,再证/力宓=60°,然后由含30°角的直角三角形的

性质得BE=返46=1,AE=2BE=2,AN=JiPN=yRa,AP=2PN=2a,由A2EN=得出方程，求解

3

即可.

【解答】操作一：

解：•；四边形48⑦是正方形，

：.ZC=ZBAD=90°,

由折叠的性质得：ABAE=ZMAE,NDAF=NMAF,

:/MAE+/MAF=/BAR/DAF=工NBAD=45°,

2

即NE4-=45°,

故答案为:45；

操作二：

解：•.•四边形/如是正方形，

：.ZB=ZC=^Q°,

由折叠的性质得：4NFE=4CFE,N£W=NU90°,/AFD=NAFM,

...N4AF=180°-90°=90°,

由操作一得：N氏/=45°,

二△4W是等腰直角三角形，

.../制=45°,

：.ZAFD=ZAFM=45°+ZNFE,

：.2（45°+Z；W）+ZCFE=18Q°,

：.4NFE=/CFE=3Q°,

：.ZAEF=90°-30°=60°,

故答案为：60；

（1）证明：•••△4W是等腰直角三角形，

：.AN=FN,

•.•/4即=/4快=90°,乙APN=4FPM,

:./NAP=/NFE=3Q°,

在△4W和△川E中，

fZANP=ZFNE=90°

,AN=FN，

ZNAP=ZNFE

:.XANPQXFNECASA）；

（2）由（1）得：XAN2XFNE,

：.AP=FE,PN=EN,

•：2NFE=2CFE=3G°,N£W=NC=90°,

:./NEF=/CEF=6Q",

:.NAEB=60°,

VZ5=90°,

：.ZBAE=30°,

:.BE=®AB=\,

3

：.AE=2BE=2,

没PN=EN=a,

'：ZAW^=90°,/A%—30°,

:.AN=4iPN=&a,AP2PN=2a,

'：AN^EN=AE,

"\/"^a+a=2,

解得：a=«-1,

:.AP=2a=2M-2,

故答案为：2a-2.

23.（10分）如图，在△46。中，NC=90°,AB=5,8。=3,点〃为边4。的中点.动点P从点/出发，

沿折线AB-交以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点尸不与点4、。重合时，连结功.作点A

关于直线划的对称点力'，连结〃D、A'A.设点。的运动时间为t秒.

（1）线段/〃的长为2；

（2）用含Z的代数式表示线段鳍的长；

（3）当点/在欧内部时，求t的取值范围；

（4）当N44'〃与N8相等时，直接写出匕的值.

【分析】（1）由勾股定理求解.

（2）分类讨论点尸在小及比上运动两种情况.

（3）分别求出点4落在18与优上两个临界值求解.

（4）分类讨论点夕在43及比'上两种情况，通过添加辅助线求解.

【解答】解：（1）在Rt△力比'中，由勾股定理得：

/J6>=VAB2-BC2=4,

:.AD=XAC=2.

2

故答案为：2.

（2）当0VtW5时，点尸在线段48上运动，PB=AB-AP=5-3

当5VtV8时，点尸在a'上运动，PB=t-5.

5-t(0<t<5)

综上所述，PB=

t-5(5<t<8)

(3)如图，当点落在上时，DPLAB,

AP=t,AD=2,cosZ=_l,

5

在RtAAPD中，COS/4=-^£.=JL=A,

AD25

/.t=3..

5

如图，当点4落在回边上时，DPLAC,

''AP=t,AD=2,cos/=4,

5

/.在RS4PD中，cos/=—=—=A,

APt5

t=—.

2

如图，点/'运动轨迹为以〃为圆心，/〃长为半径的圆上,

时，点A在内部.

52

(4)如图，0<1<5时，

,/NA4'D=ZB=Z/AD,

ZAD1^ZA，AD=ZBAC+ZB=^°,

...4ADP=ABAC,

：.AE=^AD=\,

2

vcosyi=-^-=A=A,

APt5

t=—.

4

如图，当5VtV8时，

AAAB=ZB=Z/AD,

/胡小N8=90°,

C.ABAC+AAAD=^°,

J.PE//BA,

：./DPC=/B,

•.•在Rt△尸勿中，67?=1AC=2,CP=3-t,tanZDPC=l,

23

/.tanZZy3C=^=—=A,

PC8-t3

.♦"=里

2

综上所述，或工■.

42

24.(12分)在平面直角坐标系中，抛物线y=2(x-m),+2/(加为常数)的顶点为4

(1)当勿=工时，点/的坐标是(工，1)，抛物线与y轴交点的坐标是(0,-)；

222

(2)若点力在第一象限，且力=遥，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x

的增大而减小时x的取值范围；

(3)当xW2加时，若函数y=2Qx-m)°+勿的最小值为3,求力的值；

(4)分别过点0(4,2)、Q(4,2-2加作y轴的垂线，交抛物线的对称轴于点KM当抛物线y

=2(才-加斗2加与四边形AQA"的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点6、点&且点8的纵

坐标大于点。的纵坐标.若点6到y轴的距离与点。到x轴的距离相等，直接写出R的值.

【分析】(1)将必=上代入抛物线解析式中，即可得出顶点坐标，再令x=0,即可求得答案；

2

(2)运用勾股定理建立方程求解即可；

(3)分两种情况进行讨论：①当Z0时，2(2m-m)2+/z?=3,解方程即可得出答案；②当加＞0时，

2(加-加？+加=3,解方程即可得出答案；

(4)分情况讨论：当加＞0时，若点6在网边上，点。在腑边上，令y=2,则2=2(x-加、2勿,

解方程即可；若点8在月加边上，点。在阳边上，则2-2%=研后，解方程即可；若点8在附边

上，点。在M边上，则4=2-2加，不符合题意；当/V0时，若点8