河南省商开九校联考2024届数学高一下期末学业质量监测试题含解析

河南省商开九校联考2024届数学高一下期末学业质量监测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若函数，又，，且的最小值为，则正数的值是（）A． B． C． D．2．设集合,则（）A． B． C． D．3．若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（）A． B． C． D．4．等差数列中，，则的值为()A．14 B．17 C．19 D．215．若直线被圆截得弦长为4，则的最小值是（）A．9 B．4 C． D．6．函数的值域为A．[1,] B．[1,2] C．[,2] D．[7．若圆的圆心在第一象限，则直线一定不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．数列的通项公式，则（）A． B． C．或 D．不存在9．函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，若为偶函数，则的值为（）A． B． C． D．10．在中，，且面积为1，则下列结论不正确的是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知曲线与直线交于A，B两点，若直线OA，OB的倾斜角分别为、，则__________12．一圆柱的侧面展开图是长、宽分别为3、4的矩形，则此圆柱的侧面积是________．13．若角的终边经过点，则___________.14．已知数列，其中，若数列中，恒成立，则实数的取值范围是_______.15．已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围为______.16．函数的最小值为____________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在等差数列中，，，等比数列中，，．（1）求数列，的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．18．解下列三角方程：（1）；（2）.19．已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，且，，三点共线．（1）求实数的值；（2）若，，求的坐标；（3）已知，在（2）的条件下，若，，，四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标．20．已知数列满足，.（1）证明：数列为等差数列；（2）求数列的前项和.21．已知抛物线的焦点为，过的直线交轴正半轴于点，交抛物线于两点，其中点在第一象限.（Ⅰ）求证：以线段为直径的圆与轴相切；（Ⅱ）若,,，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】，由，得，，由，得，则，当时，取得最小值，则，解得，故选D.2、B【解题分析】试题分析：由已知得，，故，选B．考点：集合的运算．3、C【解题分析】，且是纯虚数，，故选C.4、B【解题分析】

利用等差数列的性质，.【题目详解】，解得：.故选B.【题目点拨】本题考查了等比数列的性质，属于基础题型.5、A【解题分析】

圆方程配方后求出圆心坐标和半径，知圆心在已知直线上，代入圆心坐标得满足的关系，用“1”的代换结合基本不等式求得的最小值．【题目详解】圆标准方程为，圆心为，半径为，直线被圆截得弦长为4，则圆心在直线上，∴，，又，∴，当且仅当，即时等号成立．∴的最小值是1．故选：A．【题目点拨】本题考查用基本不等式求最值，解题时需根据直线与圆的位置关系求得的关系，然后用“1”的代换法把凑配出可用基本不等式的形式，从而可求得最值．6、D【解题分析】

因为函数，平方求出的取值范围，再根据函数的性质求出的值域.【题目详解】函数定义域为：，因为，又，所以的值域为.故选D.【题目点拨】本题考查函数的值域，此题也可用三角换元求解.求函数值域常用方法：单调性法，换元法，判别式法，反函数法，几何法，平方法等.7、A【解题分析】

由圆心位置确定，的正负，再结合一次函数图像即可判断出结果.【题目详解】因为圆的圆心坐标为，由圆心在第一象限可得，所以直线的斜率，轴上的截距为，所以直线不过第一象限.【题目点拨】本题主要考查一次函数的图像，属于基础题型.8、B【解题分析】

因为趋于无穷大,故,分离常数即可得出极限.【题目详解】解：因为的通项公式,要求,即求故选：B【题目点拨】本题考查数列的极限,解答的关键是消去趋于无穷大的式子.9、B【解题分析】f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位，得到g（x）=2sin（2x-2φ﹣）．为偶函数，故得到，故得到2sin（-2φ﹣）=-2或2，．因为，故得到，k=-1,的值为.故答案为B．10、C【解题分析】

根据三角形面积公式列式，求得，再根据基本不等式判断出C选项错误.【题目详解】根据三角形面积为得，三个式子相乘，得到，由于，所以.所以，故C选项错误.所以本小题选C.【题目点拨】本小题主要考查三角形面积公式，考查基本不等式的运用，属于中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

曲线即圆曲线的上半部分，因为圆是单位圆，所以，，，，联立曲线与直线方程，消元后根据韦达定理与直线方程代入即可求解.【题目详解】由消去得，则，由三角函数的定义得故.【题目点拨】本题主要考查三角函数的定义，直线与圆的应用.此题关键在于曲线的识别与三角函数定义的应用.12、12【解题分析】

直接根据圆柱的侧面展开图的面积和圆柱侧面积的关系计算得解.【题目详解】因为圆柱的侧面展开图的面积和圆柱侧面积相等，所以此圆柱的侧面积为.故答案为：12【题目点拨】本题主要考查圆柱的侧面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.13、3【解题分析】

直接根据任意角三角函数的定义求解，再利用两角和的正切展开代入求解即可【题目详解】由任意角三角函数的定义可得：．则故答案为3【题目点拨】本题主要考查了任意角三角函数的定义和两角和的正切计算，熟记公式准确计算是关键，属于基础题．14、【解题分析】

由函数（数列）单调性确定的项，哪些项取，哪些项取，再由是最小项，得不等关系．【题目详解】由题意数列是递增数列，数列是递减数列，存在，使得时，，当时，，∵数列中，是唯一的最小项，∴或，或，或，综上．∴的取值范围是．故答案为：．【题目点拨】本题考查数列的单调性与最值．解题时楞借助函数的单调性求解．但数列是特殊的函数，它的自变量只能取正整数，因此讨论时与连续函数有一些区别．15、0＜a≤或a．【解题分析】

运用偶函数的性质，作出函数f（x）的图象，由5[f（x）]2﹣（5a+4）f（x）+4a＝0，解得f（x）＝a或f（x），结合图象，分析有且仅有6个不同实数根的a的情况，即可得到a的范围．【题目详解】函数是定义域为的偶函数，作出函数f（x）的图象如图：关于x的方程5[f（x）]2﹣（5a+4）f（x）+4a＝0，解得f（x）＝a或f（x），当0≤x≤2时，f（x）∈[0，]，x＞2时，f（x）∈（，）．由，则f（x）有4个实根，由题意，只要f（x）＝a有2个实根，则由图象可得当0＜a≤时，f（x）＝a有2个实根，当a时，f（x）＝a有2个实根．综上可得：0＜a≤或a．故答案为0＜a≤或a．．【题目点拨】本题考查函数的奇偶性和单调性的运用，考查方程和函数的转化思想，运用数形结合的思想方法是解决的常用方法．16、【解题分析】

将函数构造成的形式，用换元法令，在定义域上根据新函数的单调性求函数最小值，之后可得原函数最小值。【题目详解】由题得，，令，则函数在递增，可得的最小值为，则的最小值为.故答案为：【题目点拨】本题考查了换元法，以及函数的单调性，是基础题。三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），（2）【解题分析】

（1）根据等差数列的通项公式求出首项，公差和等比数列的通项公式求出首项，公比即可.

(2)由用错位相减法求和.【题目详解】（1）在等差数列中，设首项为，公差为.由，有，解得：所以又设的公比为，由，，得所以.(2)…………………①……………②由①－②得所以【题目点拨】本题考查求等差、等比数列的通项公式和用错位相减法求和,属于中档题.18、（1）；（2）或.【解题分析】

（1）先将等式变形为，并利用两角和的余弦公式得出，即可得出，即可得出该方程的解；（2）由，将该方程变形为，求出的值，即可求出该方程的解.【题目详解】（1），，即，，解得；（2），整理得，即，，得或，解得；解，得.因此，原方程的解为或.【题目点拨】本题考查三角方程的求解，对等式进行化简变形是计算的关键，考查运算求解能力，属于中等题.19、（1）；（2）；（3）．【解题分析】

（1）根据，，三点共线，列出向量与共线的表达式，然后根据坐标求解即可；（2）根据，列坐标即可求解；（3）根据平行四边形可以推出对边的向量相等，根据向量相等代入坐标求解即可求出点的坐标.【题目详解】（1），∵，，三点共线，∴存在实数，使得，即，得，∵，是平面内两个不共线的非零向量，∴，解得，；（2）；（3）∵，，，四点按逆时针顺序构成平行四边形，∴，设，则，∵，∴，解得，即点的坐标为．【题目点拨】本题主要考查了平面向量共线，平面向量的线性运算，平面向量的相等，属于一般题.20、(1)证明见解析；(2)【解题分析】

（1）将已知条件凑配成，由此证得数列为等差数列.（2）由（1）求得数列的通项公式，进而求得的表达式，利用分组求和法求得.【题目详解】（1）证明：∵∴又∵∴所以数列是首项为1，公差为2的等差数列；（2）由（1）知，，所以.所以【题目点拨】本小题主要考查根据递推关系式证明等差数列，考查分组求和法，属于中档题.21、（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解题分析】

试题分析：（Ⅰ）题意实质上证明线段的中点到轴的距离等于线段长的一半，根据抛物线的定义设可证得；（Ⅱ）同样设，，把已知