2024届江西省吉安市四校联考数学高一下期末预测试题含解析

2024届江西省吉安市四校联考数学高一下期末预测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知，，则()A． B． C． D．2．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A．中位数 B．平均数C．方差 D．极差3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则4．设，，，若则，的值是（）A．， B．，C．， D．，5．已知函数，，的零点分别为a，b，c，则（）A． B． C． D．6．圆与圆的位置关系为()A．相交 B．相离 C．相切 D．内含7．已知数列为等比数列，且，则（）A． B． C． D．8．以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点,顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率为（）A． B． C． D．9．已知2弧度的圆心角所对的弧长为2，则这个圆心角所对的弦长是（）A． B． C． D．10．对任意实数x，表示不超过x的最大整数，如，，关于函数，有下列命题：①是周期函数；②是偶函数；③函数的值域为；④函数在区间内有两个不同的零点，其中正确的命题为()A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知三棱锥的底面是腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长都等于，则其外接球的体积为______.12．已知数列满足则的最小值为__________.13．方程，的解集是__________．14．下列结论中正确的是______.（1）将图像向左平移个单位，再将所有点的横坐标扩大为原来的倍，得到的图像；（2）将图像上所有点的横坐标扩大为原来的倍，再将图像向左平移个单位，得到的图像；（3）将图像上所有点的横坐标扩大为原来的倍，再将图像向左平移个单位，得到的图像；（4）将图像上所有点的横坐标变为原来的倍，再将图像向左平移个单位，得到的图像；（5）将图像向左平移个单位，再将所有点的横坐标扩大为原来的倍，得到的图像；15．已知，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则_______________.16．设当时，函数取得最大值，则______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在△ABC中，AC=6，cosB=，C=.(1)求AB的长；(2)求△ABC的面积.18．已知函数，将的图象向左平移个单位后得到的图象，且在区间内的最大值为.（1）求实数的值；（2）求函数与直线相邻交点间距离的最小值.19．已知圆与轴交于两点，且（为圆心），过点且斜率为的直线与圆相交于两点（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）若，求的取值范围；（Ⅲ）若向量与向量共线（为坐标原点），求的值20．手机支付也称为移动支付，是指允许移动用户使用其移动终端（通常是手机）对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式.继卡类支付、网络支付后，手机支付俨然成为新宠.某金融机构为了了解移动支付在大众中的熟知度，对15-65岁的人群随机抽样调查，调查的问题是“你会使用移动支付吗？”其中，回答“会”的共有100个人，把这100个人按照年龄分成5组，然后绘制成如图所示的频率分布表和频率分布直方图.组数第l组第2组第3组第4组第5组分组频数203630104（1）求；（2）从第l，3，4组中用分层抽样的方法抽取6人，求第l，3，4组抽取的人数：（3）在（2）抽取的6人中再随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一个组的概率.21．已知数列满足，.(Ⅰ)求，的值，并证明：0<≤1；(Ⅱ)证明：；(Ⅲ)证明：.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】

利用二倍角公式变形为，然后利用弦化切的思想求出的值，可得出角的值．【题目详解】，化简得，，则，，因此，，故选C．【题目点拨】本题考查二倍角公式的应用，考查弦切互化思想的应用，考查给值求角的问题，着重考查学生对三角恒等变换思想的应用能力，属于中等题．2、A【解题分析】

可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案．【题目详解】设9位评委评分按从小到大排列为．则①原始中位数为，去掉最低分，最高分，后剩余，中位数仍为，A正确．②原始平均数，后来平均数平均数受极端值影响较大，与不一定相同，B不正确③由②易知，C不正确．④原极差，后来极差可能相等可能变小，D不正确．【题目点拨】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.3、D【解题分析】

根据各选项的条件及结论，可画出图形或想象图形，再结合平行、垂直的判定定理即可找出正确选项．【题目详解】选项A错误，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面；选项B错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面；选项C错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，不一定和另一平面垂直，可能斜交；选项D正确，由，便得，又，，即.故选：D.【题目点拨】本题考查空间直线位置关系的判定，这种位置关系的判断题，可以举反例或者用定理简单证明，属于基础题.4、B【解题分析】

由向量相等的充要条件可得：，列出方程组，即可求解，得到答案．【题目详解】由题意，向量，，，又因为，所以，所以，解得，故选B．【题目点拨】本题主要考查了平面向量的数乘运算及向量相等的充要条件，其中解答中熟记向量的共线条件，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5、B【解题分析】

，，分别为，，的根，作出，，的图象与直线，观察交点的横坐标的大小关系．【题目详解】由题意可得，，分别为，，的根，作出，，,的图象,与直线的交点的横坐标分别为，，，由图象可得，故选：．【题目点拨】本题主要考查了函数的零点，函数的图象，数形结合思想，属于中档题．6、B【解题分析】

首先把两个圆的一般方程转化为标准方程，求出其圆心坐标和半径，再比较圆心距与半径的关系即可.【题目详解】有题知：圆，即：，圆心，半径.圆，即：，圆心，半径.所以两个圆的位置关系是相离.故选：B【题目点拨】本题主要考查圆与圆的位置关系，比较圆心距和半径的关系是解决本题的关键，属于简单题.7、A【解题分析】

根据等比数列性质知：，得到答案.【题目详解】已知数列为等比数列故答案选A【题目点拨】本题考查了等比数列的性质，属于简单题.8、D【解题分析】

四个交点中的任何一个到焦点的距离和都是，然后分析正六边形中的长度和焦距的关系，从而建立等式求解.【题目详解】设椭圆的焦点是，圆与椭圆的四个交点是,设，，，，.故选D.【题目点拨】本题考查了椭圆的定义和椭圆的性质，属于基础题型9、D【解题分析】

由弧长公式求出圆半径，再在直角三角形中求解．【题目详解】，如图，设是中点，则，，，∴．故选D．【题目点拨】本题考查扇形弧长公式，在求弦长时，常在直角三角形中求解．10、A【解题分析】

根据的表达式，结合函数的周期性，奇偶性和值域分别进行判断即可得到结论.【题目详解】是周期函数，3是它的一个周期，故①正确.,结合函数的周期性可得函数的值域为，则函数不是偶函数，故②错误.，故在区间内有3个不同的零点，故④错误.故选：A【题目点拨】本题考查了取整函数综合问题，考查了学习综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于难题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

先判断球心在上，再利用勾股定理得到半径，最后计算体积.【题目详解】三棱锥的底面是腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长都等于为中点，为外心，连接，平面球心在上设半径为故答案为【题目点拨】本题考查了三棱锥外接球的体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.12、【解题分析】

先利用累加法求出an＝1+n2﹣n，所以，设f（n），由此能导出n＝5或6时f（n）有最小值．借此能得到的最小值．【题目详解】解：∵an+1﹣an＝2n，∴当n≥2时，an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2[1+2+…+（n﹣1）]+1＝n2﹣n+1且对n＝1也适合，所以an＝n2﹣n+1．从而设f（n），令f′（n），则f（n）在上是单调递增，在上是递减的，因为n∈N+，所以当n＝5或6时f（n）有最小值．又因为，，所以的最小值为故答案为【题目点拨】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法．还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性．13、【解题分析】

用正弦的二倍角公式展开,得到,分两种情况讨论得出结果.【题目详解】解：即,即：或.①由,,得.②由,,得或.综上可得方程,的解集是：故答案为【题目点拨】本题考查正弦函数的二倍角公式,以及特殊角的正余弦值.14、（1）（3）【解题分析】

根据三角函数图像伸缩变换与平移变换的原则，逐项判断，即可得出结果.【题目详解】（1）将图像向左平移个单位，得到的图像，再将所有点的横坐标扩大为原来的倍，得到的图像；（1）正确；（2）将图像上所有点的横坐标扩大为原来的倍，得到的图像，再将图像向左平移个单位，得到的图像；（2）错；（3）将图像上所有点的横坐标扩大为原来的倍，得到的图像，再将图像向左平移个单位，得到的图像；（3）正确；（4）将图像上所有点的横坐标变为原来的倍，得到的图像，再将图像向左平移个单位，得到的图像；（4）错；（5）将图像向左平移个单位，得到的图像，再将所有点的横坐标扩大为原来的倍，得到的图像；（5）错；故答案为（1）（3）【题目点拨】本题主要考查三角函数的图像变换，熟记图像变换原则即可，属于常考题型.15、5【解题分析】

试题分析：由题意得，为等差数列时，一定为等差中项，即，为等比数列时，-2为等比中项，即，所以.考点：等差，等比数列的性质16、；【解题分析】f(x)＝sinx－2cosx＝＝sin(x－φ)，其中sinφ＝，cosφ＝，当x－φ＝2kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cosθ＝－sinφ＝－.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）21【解题分析】

（1）由，求得，再由正弦定理，即可求解.(2)由（1）和，求得，再由三角形的面积公式，即可求解.【题目详解】（1）由题意，因为，且为三角形的内角，所以，由正弦定理，可得，即，解得.(2)由（1）和，则，由三角形的面积公式，可得.【题目点拨】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.18、（1）1；（2）【解题分析】

（1）将化简可得，再由平移变换可得，由在区间内的最大值为，可得的值；（2）解方程，可得所求相交点距离的最小值.【题目详解】解：（1）所以，，∴当时，即时，函数取得最大值，∴.（2）根据题意，令，，∴或，.解得或，.因为，当时取等号，∴相邻交点间距离的最小值是.【题目点拨】本题主要考查三角函数的平移变化及三角恒等变换与三角函数的性质，属于中档题.19、（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）【解题分析】

（Ⅰ）由圆的方程得到圆心坐标和；根据、为等腰直角三角形可知，从而得到，解方程求得结果；（Ⅱ）设直线方程为；利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离；由垂径定理可得到，利用可构造不等式求得结果；（Ⅲ）直线方程与圆方程联立，根据直线与圆有两个交点可根据得到的取值范围；设，，利用韦达定理求得，并利用求得，即可得到；利用向量共线定理可得到关于的方程，解方程求得满足取值范围的结果.【题目详解】（Ⅰ）由圆得：圆心，由题意知，为等腰直角三角形设的中点为，则也为等腰直角三角形，解得：（Ⅱ）设直线方程为：则圆心到直线的距离：由，，可得：，解得：的取值范围为：（Ⅲ）联立直线与圆的方程：消去变量得：设，，由韦达定理得：且，整理得：解得：或，与向量共线，，解得：或不满足【题目点拨】本题考查直线与圆位置关系的综合应用，涉及到圆的方程的求解、垂径定理的应用、平面向量共线定理的应用；求解直线与圆位置关系综合应用类问题的常用方法是灵活应用圆心到直线的距离、直线与圆方程联立，韦达定理构造方程等方法，属于常考题型.20、(1)；(2)第1组2人,第3组3人，第4组1人；(3)【解题分析】

（1）直接计算.（2）根据分层抽样的规律按照比例抽取.（3）设第1组抽取的2人为，，第