2024届北京市西城区北京市第四中学数学高一下期末学业水平测试模拟试题含解析

2024届北京市西城区北京市第四中学数学高一下期末学业水平测试模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在△ABC中，三个顶点分别为A（2，4），B（﹣1，2），C（1，0），点P（x，y）在△ABC的内部及其边界上运动，则y﹣x的最小值是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．32．已知函数，若存在满足，且，则n的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．63．下列说法正确的是（）A．锐角是第一象限的角，所以第一象限的角都是锐角;B．如果向量，则；C．在中，记，，则向量与可以作为平面ABC内的一组基底；D．若，都是单位向量，则.4．已知向量，且，则的值为（）A． B． C． D．5．两条平行直线与间的距离等于（）A． B．2 C． D．46．数列的通项，其前项和为，则为（）A． B． C． D．7．在中，已知，且，则的值是（）A． B． C． D．8．记等差数列前项和，如果已知的值，我们可以求得（）A．的值 B．的值 C．的值 D．的值9．已知，是两个单位向量，且夹角为，则与数量积的最小值为（）A． B． C． D．10．某次运动会甲、乙两名射击运动员成绩如右图所示，甲、乙的平均数分别为为、，方差分别为，，则（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．定义运算，如果，并且不等式对任意实数x恒成立，则实数m的范围是______.12．已知一组数1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数的方差为______.13．设常数，函数，若的反函数的图像经过点，则_______.14．在某校举行的歌手大赛中，7位评委为某同学打出的分数如茎叶图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为______.15．已知无穷等比数列的所有项的和为，则首项的取值范围为_____________.16．在等比数列{an}中，a1三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．关于的不等式，其中为大于0的常数。（1）若不等式的解集为，求实数的取值范围；（2）若不等式的解集为，且中恰好含有三个整数，求实数的取值范围.18．已知数列，.（1）若数列是等比数列，且，求数列的通项公式；（2）若数列是等差数列，且，数列满足，当时，求的值.19．设函数，其中，.（1）设，若函数的图象的一条对称轴为直线，求的值；（2）若将的图象向左平移个单位，或者向右平移个单位得到的图象都过坐标原点，求所有满足条件的和的值；（3）设，，已知函数在区间上的所有零点依次为，且，，求的值.20．已知公差不为0的等差数列{an}满足a3=9，a（1）求{a（2）设数列{bn}满足bn=1n(21．已知是等差数列，设数列的前n项和为，且，，又，.（1）求和的通项公式；（2）令，求的前n项和.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

根据线性规划的知识求解．【题目详解】根据线性规划知识，的最小值一定在的三顶点中的某一个处取得，分别代入的坐标可得的最小值是．故选B．【题目点拨】本题考查简单的线性规划问题，属于基础题．2、D【解题分析】

根据正弦函数的性质，对任意（i，j=1，2，3，…，n），都有，因此要使得满足条件的n最小，则尽量让更多的取值对应的点是最值点，然后再对应图象取值.【题目详解】，因为正弦函数对任意（i，j=1，2，3，…，n），都有，要使n取得最小值，尽可能多让（i=1，2，3，…，n）取得最高点，因为，所以要使得满足条件的n最小，如图所示则需取，，，，，，即取，，，，，，即．故选：D【题目点拨】本题主要考查正弦函数的图象，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.3、C【解题分析】

可举的角在第一象限，但不是锐角，可判断A；考虑两向量是否为零向量，可判断B；由不共线，推得与不共线，可判断C；考虑两向量的方向可判断D，得到答案．【题目详解】对于A，锐角是第一象限的角，但第一象限的角不一定为锐角，比如的角在第一象限，但不是锐角，故A错误；对于B，如果两个非零向量满足，则，若存在零向量，结论不一定成立，故B错误；对于C，在中，记，可得与不共线，则向量与可以作为平面内的一组基底，故C正确；对于D，若都是单位向量，且方向相同时，；若方向不相同，结论不成立，所以D错误．故选C．【题目点拨】本题主要考查了命题的真假判断，主要是向量共线和垂直的条件，着重考查了判断能力和分析能力，属于基础题．4、B【解题分析】

由向量平行可构造方程求得结果.【题目详解】，解得：故选：【题目点拨】本题考查根据向量平行求解参数值的问题，关键是明确两向量平行可得.5、C【解题分析】

先把直线方程中未知数的系数化为相同的，再利用两条平行直线间的距离公式，求得结果．【题目详解】解：两条平行直线与间，即两条平行直线与，故它们之间的距离为，故选：．【题目点拨】本题主要考查两条平行直线间的距离公式应用，注意未知数的系数必需相同，属于基础题．6、A【解题分析】分析：利用二倍角的余弦公式化简得，根据周期公式求出周期为，从而可得结果.详解：首先对进行化简得，又由关于的取值表：123456可得的周期为，则可得，设，则，故选A．点睛：本题考查二倍角的余弦公式、三角函数的周期性以及等差数列的求和公式，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力以及计算能力，求求解过程要细心，注意避免计算错误.7、C【解题分析】

由正弦定理边角互化思想得，由可得出的三边长，可判断出三角形的形状，由此可得出的值，再利用平面向量数量积的定义可计算出的值.【题目详解】，，，，，，为等腰直角三角形，.因此，，故选C.【题目点拨】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了平面向量数量积定义的计算，在求平面向量数量积的计算时，要注意向量的起点要一致，考查运算求解能力，属于中等题.8、C【解题分析】

设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由a5+a21=2a1+24d的值为已知，再利用等差数列的求和公式，即可得出结论．【题目详解】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，∵已知a5+a21的值，∴2a1+24d的值为已知，∴a1+12d的值为已知，∵∴我们可以求得S25的值．故选：C．【题目点拨】本题考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．9、B【解题分析】

根据条件可得，，，然后进行数量积的运算即可.【题目详解】根据条件，，，，当时，取最小值.故选：B【题目点拨】本题考查了向量数量积的运算，同时考查了二次函数的最值，属于基础题.10、C【解题分析】试题分析：,;,,故选C.考点：茎叶图.【易错点晴】本题考查学生的是由茎叶图中的数据求平均数和方差,属于中档题目.由茎叶图观察数据,用茎表示成绩的整数环数,叶表示小数点后的数字,利用平均值公式及标准差公式求出两个样本的平均数和方差,一般平均数反映的是一组数据的平均水平,平均数越大,则该名运动员的平均成绩越高;方差式用来描述一组数据的波动大小的指标,方差越小,说明数据波动越小,即该名运动员的成绩越稳定.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

先由题意得到，根据题意求出的最大值，即可得出结果.【题目详解】由题意得到，其中，因为，所以，又不等式对任意实数x恒成立，所以.故答案【题目点拨】本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题，熟记三角函数的性质即可，属于常考题型.12、【解题分析】

先根据平均数计算出的值，再根据方差的计算公式计算出这组数的方差.【题目详解】依题意.所以方差为.故答案为：.【题目点拨】本小题主要考查平均数和方差的有关计算，考查运算求解能力，属于基础题.13、1【解题分析】

反函数图象过（2，1），等价于原函数的图象过（1，2），代点即可求得．【题目详解】依题意知：f（x）＝lg（x+a）的图象过（1，2），∴lg（1+a）＝2，解得a＝1．故答案为：1【题目点拨】本题考查了反函数，熟记其性质是关键，属基础题．14、2【解题分析】

去掉分数后剩余数据为22,23,24,25,26，先计算平均值，再计算方差.【题目详解】去掉分数后剩余数据为22,23,24,25,26平均值为：方差为：故答案为2【题目点拨】本题考查了方差的计算，意在考查学生的计算能力.15、【解题分析】

设等比数列的公比为，根据题意得出或，根据无穷等比数列的和得出与所满足的关系式，由此可求出实数的取值范围.【题目详解】设等比数列的公比为，根据题意得出或，由于无穷等比数列的所有项的和为，则，.当时，则，此时，；当时，则，此时，.因此，首项的取值范围是.故答案为：.【题目点拨】本题考查利用无穷等比数列的和求首项的取值范围，解题的关键就是结合题意得出首项和公比的关系式，利用不等式的性质或函数的单调性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16、64【解题分析】由题设可得q3=8⇒q=3，则a7三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解题分析】

（1）关于的不等式的解集为，得出判别式△，且，由此求出的取值范围；（2）由题意知判别式△，设，利用对称轴以及（1），，得出不等式的解集中恰好有三个整数，等价于，由此求出的取值范围．【题目详解】（1）由题意得一元二次不等式对应方程的判别式，结合，解得.（2）由题意得一元二次不等式对应方程的判别式，解得.又，所以.设，其对称轴为.注意到，，对称轴，所以不等式解集中恰好有三个整数只能是1、2、3，此时中恰好含有三个整数等价于：，解得.【题目点拨】本题考查了不等式的解法与应用问题．18、（1）；（2）.【解题分析】

（1）数列是公比为的等比数列，由等比数列的通项公式解方程可得首项和公比，即可得到所求通项；（2）数列是公差为的等差数列，由等差数列的通项公式解方程可得首项和公差，可得数列的通项，进而得到，再由指数的运算性质和等差数列的求和公式，计算即可得到所求值．【题目详解】解：（1）数列是公比为的等比数列，，，可得，，解得，，可得，；（2）数列是公差为的等差数列，，，可得，，解得，，则，，，即可得，可得，解得或（舍去）．【题目点拨】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．19、（1）；（2），；（3）【解题分析】

（1）根据对称轴对应三角函数最值以及计算的值；（2）根据条件列出等式求解和的值；（3）根据图象利用对称性分析待求式子的特点，然后求值.【题目详解】（1），因为是一条对称轴，对应最值；又因为，所以，所以，则；（2）由条件知：，可得，则，又因为，所以，则，故有：，当为奇数时，令，所以，当为偶数时，令，所以，当时，，又因为，所以；（3）分别作出（部分图像）与图象如下：因为，故共有个；记对称轴为，据图有：，，，，，则，令，则，又因为，所以，由于与仅在前半个周期内有交点，所以，则.【题目点拨】本题考查三角函数图象与性质的综合运用，难度较难.对于三角函数零点个数问题，可将其转化为函数图象的交点个数问题，通过数形结合去解决问题会更方便.20、（1）an=4n-3【解题分析】

（1）根据条件列方程组，求出首项和公差即可得出通项公式；（2）利用裂项相消法求和．【题目详解】（1）设等差数列an的公差为d(d≠0)a1解得d=4或d=0（舍去），a1∴a（2）∵b∴S=1【题目点拨】本题考查了等差数列的通项公式