2024届河南省南阳市六校数学高一第二学期期末监测模拟试题含解析

2024届河南省南阳市六校数学高一第二学期期末监测模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知等比数列的首项，公比，则（）A． B． C． D．2．是空气质量的一个重要指标，我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在以下空气质量为一级，在之间空气质量为二级，在以上空气质量为超标.如图是某地11月1日到10日日均值（单位：）的统计数据，则下列叙述不正确的是（）A．这天中有天空气质量为一级 B．这天中日均值最高的是11月5日C．从日到日，日均值逐渐降低 D．这天的日均值的中位数是3．已知正实数满足，则的最小值（）A．2 B．3 C．4 D．4．若函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度变换得到，则的解析式是（）A． B．C． D．5．下列三角方程的解集错误的是（）A．方程的解集是B．方程的解集是C．方程的解集是D．方程（是锐角）的解集是6．执行如下的程序框图，则输出的是（）A． B．C． D．7．的三内角所对的边分别为，若，则角的大小是（）A． B． C． D．8．甲、乙、丙三人随机排成一排，乙站在中间的概率是（）A． B． C． D．9．下列选项正确的是（）A．若,则B．若,则C．若,则D．若,则10．函数的周期为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知在中，，则____________.12．四棱柱中，平面ABCD，平面ABCD是菱形，，，，E是BC的中点，则点C到平面的距离等于________.13．若直线与直线互相平行，那么a的值等于_____．14．已知，且是第一象限角，则的值为__________.15．设满足约束条件，则的最小值为__________．16．若，，则___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知是递增数列，其前项和为，，且，．（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）是否存在使得成立？若存在，写出一组符合条件的的值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设，若对于任意的，不等式恒成立，求正整数的最大值．18．已知数列中，，．（1）证明数列为等比数列，并求的通项公式；（2）数列满足，数列的前项和为，求证．19．某种汽车的购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为万元，年维修费用第一年是万元，第二年是万元，第三年是万元，…，以后逐年递增万元汽车的购车费用、每年使用的保险费、养路费、汽油费、维修费用的和平均摊到每一年的费用叫做年平均费用.设这种汽车使用年的维修费用的和为，年平均费用为.(1）求出函数，的解析式；(2）这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？最小值是多少？20．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，的平分线所在直线方程为，求：（Ⅰ）顶点的坐标；（Ⅱ）直线的方程21．设函数，其中.（1）在实数集上用分段函数形式写出函数的解析式；（2）求函数的最小值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

由等比数列的通项公式可得出.【题目详解】解：由已知得，故选：B.【题目点拨】本题考查等比数列的通项公式的应用，是基础题.2、D【解题分析】

由折线图逐一判断各选项即可.【题目详解】由图易知：第3,8,9,10天空气质量为一级，故A正确，11月5日日均值为82，显然最大，故B正确，从日到日，日均值分别为：82,73,58,34,30，逐渐降到，故C正确，中位数是，所以D不正确，故选D.【题目点拨】本题考查了频数折线图，考查读图，识图，用图的能力，考查中位数的概念，属于基础题.3、B【解题分析】

，当且仅当，即，时的最小值为3.故选B.点睛：本题主要考查基本不等式.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.4、A【解题分析】

先化简函数，然后再根据图象平移得．【题目详解】由已知，∴．故选A．【题目点拨】本题考查两角和的正弦公式，考查三角函数的图象平移变换，属于基础题．5、B【解题分析】

根据余弦函数的性质可判断B是错误的.【题目详解】因为，故无解，故B错.对于A，的解集为，故A正确.对于C，的解集是，故C正确.对于D，，.因为为锐角，，所以或或，所以或或，故D正确.故选：B.【题目点拨】本题考查三角方程的解，注意对于三角方程，我们需掌握有解的条件和其通解公式，而给定范围上的解，需结合整体的范围来讨论，本题属于基础题.6、A【解题分析】

列出每一步算法循环，可得出输出结果的值.【题目详解】满足，执行第一次循环，，；成立，执行第二次循环，，；成立，执行第三次循环，，；成立，执行第四次循环，，；成立，执行第五次循环，，；成立，执行第六次循环，，；成立，执行第七次循环，，；成立，执行第八次循环，，；不成立，跳出循环体，输出的值为，故选：A.【题目点拨】本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等题.7、C【解题分析】

将进行整理，反凑余弦定理，即可得到角.【题目详解】因为即故可得又故.故选：C.【题目点拨】本题考查余弦定理的变形，属基础题.8、B【解题分析】

先求出甲、乙、丙三人随机排成一排的基本事件的个数，再求出乙站在中间的基本事件的个数，再求概率即可.【题目详解】解：三个人排成一排的所有情况有:甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙乙甲,丙甲乙共6种，乙在中间有2种，所以乙在中间的概率为，故选B.【题目点拨】本题考查了古典概型，属基础题.9、B【解题分析】

通过逐一判断ABCD选项，得到答案.【题目详解】对于A选项，若，代入，，故A错误；对于C选项，等价于，故C错误；对于D选项，若，则，故D错误，所以答案选B.【题目点拨】本题主要考查不等式的相关性质，难度不大.10、D【解题分析】

利用二倍角公式以及辅助角公式将函数化为，再利用三角函数的周期公式即可求解.【题目详解】，函数的最小正周期为.故选：D【题目点拨】本题考查了二倍角的余弦公式、辅助角公式以及三角函数的最小正周期的求法，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

根据可得，根据商数关系和平方关系可解得结果.【题目详解】因为，所以且，又，所以，所以，因为，所以.故答案为：.【题目点拨】本题考查了三角函数的符号法则，考查了同角公式中的商数关系和平方关系式，属于基础题.12、【解题分析】

利用等体法即可求解.【题目详解】如图，由ABCD是菱形，，，E是BC的中点，所以,又平面ABCD，所以平面ABCD，即，又，则平面，由平面，所以，所以，设点C到平面的距离为，由即，即，所以.故答案为：【题目点拨】本题考查了等体法求点到面的距离，同时考查了线面垂直的判定定理，属于基础题.13、；【解题分析】由题意得，验证满足条件，所以14、；【解题分析】

利用两角和的公式把题设展开后求得的值，进而利用的范围判断的范围，利用同角三角函数的基本关系求得的值，最后利用诱导公式和对原式进行化简，把的值和题设条件代入求解即可.【题目详解】，，即，，两边同时平方得到：，解得，是第一象限角，，得，，即为第一或第四象限，，.故答案为：.【题目点拨】本题考查了两角差的余弦公式、诱导公式以及同角三角函数的基本关系，需熟记三角函数中的公式，属于中档题.15、-1【解题分析】

由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【题目详解】由x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A，联立，解得A（﹣1，1）．∴z＝3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1＝﹣1．故答案为：﹣1．【题目点拨】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．16、【解题分析】

将等式和等式都平方，再将所得两个等式相加，并利用两角和的正弦公式可求出的值.【题目详解】若，，将上述两等式平方得，①，②，①＋②可得，求得，故答案为．【题目点拨】本题考查利用两角和的正弦公式求值，解题的关键就是将等式进行平方，结合等式结构进行变形计算，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）不存在（3）1【解题分析】

（Ⅰ），得，解得，或．由于，所以．因为，所以.故，整理，得，即．因为是递增数列，且，故，因此．则数列是以2为首项，为公差的等差数列.所以.………………5分（Ⅱ）满足条件的正整数不存在，证明如下：假设存在，使得，则．整理，得，①显然，左边为整数，所以①式不成立．故满足条件的正整数不存在．……1分（Ⅲ），不等式可转化为．设，则.所以，即当增大时，也增大．要使不等式对于任意的恒成立，只需即可．因为，所以.即.所以，正整数的最大值为1．………14分18、（1）证明见解析；；（2）【解题分析】

（1）先证明数列是以3为公比，以为首项的等比数列，从而，由此能求出的通项公式；（2）由（1）推导出，从而，利用错位相减法求和，利用放缩法证明．【题目详解】由，，得，，数列是以3为公比，以为首项的等比数列，从而，数列满足，，，，两式相减得：，，，【题目点拨】本题主要考查等比数列的定义、通项公式与求和公式，以及错位相减法的应用，是中档题．一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解,在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.19、（1），；（2）时，年平均费用最小，最小值为3万元．【解题分析】试题分析：根据题意可知，汽车使用年的维修费用的和为，而第一年的维修费用是万元，以后逐年递增万元，每一年的维修费用形成以为首项，为公差的等差数列，根据等差数列的前项和即可求出的解析式；将购车费、每年使用的保险费、养路费、汽油费以及维修费用之和除以即可得到年平均费用，根据基本不等式即可求出平均费用的最小值．试题解析：（1）根据题意可知，汽车使用年的维修费用的和为，而第一年的维修费用是万元，以后逐年递增万元，每一年的维修费用形成以为首项，为公差的等差数列，根据等差数列的前项和公式可得：因为购车费、每年使用的保险费、养路费、汽油费以及维修费用之和为，所以年平均费用为；（2）因为所以当且仅当即时，年平均费用最小，最小值为3万元．考点：本题考查了等差数列的前项和公式以的掌握，以及基本不等式的应用，同时考查了学生解决实际应用题的能力．20、（Ⅰ）（Ⅱ）【解题分析】

（Ⅰ）设，可得中点坐标，代入直线可得；将点坐标代入直线得，可构造出方程组求得点坐标；（Ⅱ）设点关于的对称点为，根据点关于直线对称点的求解方法可求得，因为在直线上，根据两点坐标可求得直线方程.【题目详解】（Ⅰ）设，则中点坐标为：，即：又，解得：，（Ⅱ）设点关于的对称点为则，解得：边所在的直线方程为：，即：【题目点拨】本题考查直线方程、直线交点的求解；关键是能够熟练应用