安徽省宣城市七校2024届高一数学第二学期期末达标测试试题含解析

安徽省宣城市七校2024届高一数学第二学期期末达标测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．2．在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，，则公比q为（）A．2 B．3 C．4 D．83．某校高二理（1）班学习兴趣小组为了调查学生喜欢数学课的人数比例，设计了如下调查方法：（1）在本校中随机抽取100名学生，并编号1，2，3，…，100；（2）在箱内放置了两个黄球和三个红球，让抽取到的100名学生分别从箱中随机摸出一球，记住其颜色并放回；（3）请下列两类学生站出来，一是摸到黄球且编号数为奇数的学生，二是摸到红球且不喜欢数学课的学生。若共有32名学生站出来，那么请用统计的知识估计该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是（）A．80% B．85% C．90% D．92%4．在中，已知三个内角为，，满足，则（）．A． B．C． D．5．用数学归纳法证明的过程中，设，从递推到时，不等式左边为（）A． B．C． D．6．在中，若为等边三角形（两点在两侧），则当四边形的面积最大时，（）A． B． C． D．7．下列函数中,在区间上为增函数的是A． B．C． D．8．下列说法正确的是（）A．函数的最小值为 B．函数的最小值为C．函数的最小值为 D．函数的最小值为9．2019年是新中国成立70周年，涡阳县某中学为庆祝新中国成立70周年，举办了“我和我的祖国”演讲比赛，某选手的6个得分去掉一个最高分，去掉一个最低分，4个剩余分数的平均分为91.现场制作的6个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以表示，则4个剩余分数的方差为（）A．1 B． C．4 D．610．若实数满足约束条件则的最大值与最小值之和为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．计算：______．12．方程在区间上的解为___________．13．已知3a＝2，则32a＝____，log318﹣a＝_____14．在中，角的对边分别为，且面积为，则面积的最大值为_____．15．函数在区间上的值域为______.16．命题“，”是________命题（选填“真”或“假”）.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知直线l的方程为.(1)求过点且与直线l垂直的直线方程；(2)求直线与的交点，且求这个点到直线l的距离.18．已知数列满足：，，.（1）求证：数列为等差数列，并求出数列的通项公式；（2）记（），用数学归纳法证明：，19．在中，角，，所对的边分别为，，，且，.(1)求证：是锐角三角形；(2)若，求的面积.20．如图，在平面直角坐标系xoy中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于A，B两点.（1）若点A的纵坐标是点B的纵坐标是，求的值；（2）若，求的值.21．正项数列的前n项和Sn满足：(1)求数列的通项公式；(2)令，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】

取AB中点F,SC中点E，设的外心为，外接圆半径为三棱锥的外接球球心为，由，在四边形中，设，外接球半径为，则则可求，表面积可求【题目详解】取AB中点F,SC中点E,连接SF,CF,因为则为二面角的平面角，即又设的外心为，外接圆半径为三棱锥的外接球球心为则面，由在四边形中，设，外接球半径为，则则三棱锥的外接球的表面积为故选D【题目点拨】本题考查二面角，三棱锥的外接球，考查空间想象能力，考查正弦定理及运算求解能力，是中档题2、A【解题分析】，选A.3、A【解题分析】

先分别计算号数为奇数的概率、摸到黄球的概率、摸到红球的概率，从而可得摸到黄球且号数为奇数的学生，进而可得摸到红球且不喜欢数学课的学生人数，由此可得估计该校学生中喜欢数学课的人数比例．【题目详解】解：由题意，号数为奇数的概率为0.5，摸到黄球的概率为，摸到红球的概率为那么按概率计算摸到黄球且号数为奇数的学生有个共有32名学生站出来，则有12个摸到红球且不喜欢数学课的学生，不喜欢数学课的学生有：，喜欢数学课的有80个，估计该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是：．故选：．【题目点拨】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4、C【解题分析】

利用正弦定理、余弦定理即可得出.【题目详解】由正弦定理，以及，得，不妨取，则，又，.故选：C.【题目点拨】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中应用，考查了转化思想，属于基础题．5、C【解题分析】

比较与时不等式左边的项，即可得到结果【题目详解】因此不等式左边为，选C.【题目点拨】本题考查数学归纳法，考查基本分析判断能力，属基础题6、A【解题分析】

求出三角形的面积，求出四边形的面积，运用三角函数的恒等变换和正弦函数的值域，求出满足条件的角的值即可．【题目详解】设，，，是正三角形，，由余弦定理得：，，时，四边形的面积最大，此时．故选A．【题目点拨】本题考查余弦定理和三角形的面积公式，考查两角的和差公式和正弦函数的值域，考查化简运算能力，属于中档题．7、A【解题分析】试题分析：对A，函数在上为增函数，符合要求；对B，在上为减函数，不符合题意；对C，为上的减函数，不符合题意；对D，在上为减函数，不符合题意.故选A.考点：函数的单调性，容易题.8、C【解题分析】

A．时无最小值；

B．令，由，可得，即，令，利用单调性研究其最值；

C．令，令，利用单调性研究其最值；

D．当时，，无最小值．【题目详解】解：A．时无最小值，故A错误；

B．令，由，可得，即，令，则其在上单调递减，故，故B错误；C．令，令，则其在上单调递减，上单调递增，故，故C正确；

D．当时，，无最小值，故D不正确．

故选：C．【题目点拨】本题考查了基本不等式的性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9、B【解题分析】

由题意得x≥3，由此能求出4个剩余数据的方差．【题目详解】由题意得x≥3，则4个剩余分数的方差为：s2[（93﹣91）2+（90﹣91）2+（90﹣91）2+（91﹣91）2]．故选B．【题目点拨】本题考查了方差的计算问题，也考查了茎叶图的性质、平均数、方差等基础知识，是基础题．10、A【解题分析】

首先根据不等式组画出对应的可行域，再分别计算出顶点的坐标，带入目标函数求出相应的值，即可找到最大值和最小值.【题目详解】不等式组对应的可行域如图所示：，.，.，，.，，.故选：A【题目点拨】本题主要考查线性规划，根据不等式组画出可行域为解题的关键，属于简单题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

在分式的分子和分母中同时除以，然后利用常见的数列极限可计算出所求极限值.【题目详解】.故答案为：.【题目点拨】本题考查数列极限的计算，熟悉一些常见数列极限是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.12、【解题分析】试题分析：化简得：，所以，解得或（舍去），又，所以.【考点】二倍角公式及三角函数求值【名师点睛】已知三角函数值求角，基本思路是通过化简，得到角的某种三角函数值，结合角的范围求解.本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等.13、42.【解题分析】

由已知结合指数式的运算性质求解，把化为对数式得到，代入，再由对数的运算性质求解.【题目详解】∵，∴，由，得，∴.故答案为：，.【题目点拨】本题考查指数式与对数式的互化，考查对数的运算性质，属于基础题.14、【解题分析】

利用三角形面积构造方程可求得，可知，从而得到；根据余弦定理，结合基本不等式可求得，代入三角形面积公式可求得最大值.【题目详解】，由余弦定理得：（当且仅当时取等号）本题正确结果：【题目点拨】本题考查解三角形问题中的三角形面积的最值问题的求解；求解最值问题的关键是能够通过余弦定理构造等量关系，进而利用基本不等式求得边长之积的最值，属于常考题型.15、【解题分析】

由二倍角公式降幂，再由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质可求得值域．【题目详解】，，则，.故答案为：．【题目点拨】本题考查三角恒等变换（二倍角公式、两角和的正弦公式），考查正弦函数的的单调性和最值．求解三角函数的性质的性质一般都需要用三角恒等变换化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数的性质得出结论．16、真【解题分析】当时，成立，即命题“，”为真命题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）1【解题分析】

(1)与l垂直的直线方程可设为，再将点代入方程可得；(2)先求两直线的交点，再用点到直线的距离公式可得点到直线l的距离．【题目详解】解：(1)设与直线垂直的直线方程为,把代入，得，解得,∴所求直线方程为.(2)解方程组得∴直线与的交点为,点到直线的距离.【题目点拨】本题考查两直线垂直时方程的求法和点到直线的距离公式．18、（1）证明见解析，；（2）见解析【解题分析】

（1）定义法证明：；（2）采用数学归纳法直接证明（注意步骤）.【题目详解】由可知：，则有，即，所以为等差数列，且首相为，公差，所以，故；（2），当时，成立；假设当时，不等式成立则：；当时，，因为，所以，则，故时不等式成立，综上可知：.【题目点拨】数学归纳法的一般步骤：（1）命题成立；（2）假设命题成立；（3）证明命题成立（一定要借助假设，否则不能称之为数学归纳法）.19、（1）证明见解析（2）【解题分析】

(1)由正弦定理、余弦定理得，则角C最大，由余弦定理可得答案.

（2）由平面向量数量积的运算及三角形的面积公式结合（1）可得，利用面积公式可求解.【题目详解】【题目详解】

(1)由，根据正弦定理得，又，所以即，所以，因此边最大，即角最大.设则即,所以是锐角三角形.（2）由（1）和，即可得解得.所以在中，且所以的面积为.【题目点拨】本题考查正弦定理和余弦定理，数量积的定义的应用和求三角形面积.20、（1）；（2）【解题分析】

（1）根据三角函数的定义，求出对应的正弦和余弦值，用正弦的和角公式即可求解；（2）根据题意，先计算出的值，再求解.【题目详解】（1）由三