2024届北京市十三中数学高一第二学期期末统考试题含解析

2024届北京市十三中数学高一第二学期期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知，，，则（）A． B． C． D．2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A． B． C． D．3．把一个已知圆锥截成个圆台和一个小圆锥，已知圆台的上、下底面半径之比为，母线长为，则己知圆锥的母线长为（）.A． B． C． D．4．过点（1，0）且与直线垂直的直线方程是（）A． B． C． D．5．已知函数的最小正周期为，将该函数的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数为偶函数，则的图象（）A．关于点对称 B．关于直线对称C．关于点对称 D．关于直线对称6．已知函数的零点是和（均为锐角），则（）A． B． C． D．7．已知数列的通项公式，前项和为，则关于数列、的极限，下面判断正确的是（）A．数列的极限不存在，的极限存在B．数列的极限存在，的极限不存在C．数列、的极限均存在，但极限值不相等D．数列、的极限均存在，且极限值相等8．已知等差数列和的前项和分别为和，．若，则的取值集合为（）A． B．C． D．9．设函数，若关于的方程恰有个不同的实数解，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．10．正六边形的边长为，以顶点为起点，其他顶点为终点的向量分别为；以顶点为起点，其他顶点为终点的向量分别为．若分别为的最小值、最大值，其中，则下列对的描述正确的是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．设向量，且，则__________．12．已知求______________.13．已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为________．14．已知点是所在平面内的一点，若，则__________．15．项数为的等差数列，若奇数项之和为88，偶数项之和为77，则实数的值为_____．16．在中，角所对的边分别为，下列命题正确的是_____________．①总存在某个内角，使得；②存在某钝角，有；③若，则的最小角小于．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．己知向量，，设函数，且的图象过点和点.（1）当时，求函数的最大值和最小值及相应的的值；（2）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若在有两个不同的解，求实数的取值范围.18．某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件；若做广告宣传，广告费为n千元比广告费为千元时多卖出件。（1）试写出销售量与n的函数关系式；（2）当时，厂家应该生产多少件产品，做几千元的广告，才能获利最大？19．已知，其中，求：（1）；；（2）与的夹角的余弦值．20．中，D是边BC上的点，满足，，.（1）求；（2）若，求BD的长.21．已知，，当为何值时：（1）与垂直；（2）与平行.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】

利用指数函数、对数函数的单调性即可求解.【题目详解】为减函数，，为增函数，，为增函数，，所以，故.故选：C【题目点拨】本题考查了指数函数、对数函数的单调性比较指数式、对数式的大小，属于基础题.2、C【解题分析】

通过三视图可以判断这一个是半个圆柱与半个圆锥形成的组合体，利用圆柱和圆锥的体积公式可以求出这个组合体的体积.【题目详解】该几何体为半个圆柱与半个圆锥形成的组合体，故，故选C.【题目点拨】本题考查了利用三视图求组合体图形的体积，考查了运算能力和空间想象能力.3、B【解题分析】

设圆锥的母线长为，根据圆锥的轴截面三角形的相似性，通过圆台的上、下底面半径之比为来求解.【题目详解】设圆锥的母线长为，因为圆台的上、下底面半径之比为，所以，解得.故选：B【题目点拨】本题主要考查了旋转体轴截面中的比例关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4、D【解题分析】

设出直线方程，代入点求得直线方程.【题目详解】依题意设所求直线方程为，代入点得，故所求直线方程为，故选D.【题目点拨】本小题主要考查两条直线垂直的知识，考查直线方程的求法，属于基础题.5、A【解题分析】

由周期求出，按图象平移写出函数解析式，再由偶函数性质求出，然后根据正弦函数的性质判断．【题目详解】由题意，平移得函数式为，其为偶函数，∴，由于，∴．，，．∴是对称中心．故选：A.【题目点拨】本题考查求三角函数的解析式，考查三角函数的对称性的奇偶性．掌握三角函数图象变换是基础，掌握三角函数的性质是解题关键．6、B【解题分析】

将函数零点转化的解，利用韦达定理和差公式得到，得到答案.【题目详解】的零点是方程的解即均为锐角故答案为B【题目点拨】本题考查了函数零点，韦达定理，和差公式，意在考查学生的综合应用能力.7、D【解题分析】

分别考虑与的极限，然后作比较.【题目详解】因为，又，所以数列、的极限均存在，且极限值相等，故选D.【题目点拨】本题考查数列的极限的是否存在的判断以及计算，难度一般.注意求解的极限时，若是分段数列求和的形式，一定要将多段数列均考虑到.8、D【解题分析】

首先根据即可得出，再根据前n项的公式计算出即可。【题目详解】，选D.【题目点拨】本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质，属于难题.等差数列的常用性质有：（1）通项公式的推广：

（2）若

为等差数列，

；（3）若是等差数列，公差为，

，则是公差

的等差数列；9、B【解题分析】

由已知中函数，若关于的方程恰有个不同的实数解，可以根据函数的图象分析出实数的取值范围．【题目详解】函数的图象如下图所示：关于的方程恰有个不同的实数解，令t＝f（x），可得t2﹣at+2＝0，（*）则方程（*）的两个解在（1，2]，可得，解得，故选：B.【题目点拨】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据已知中函数的解析式，画出函数的图象，再利用数形结合是解答本题的关键．10、A【解题分析】

利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，从而得到结论．【题目详解】由题意，以顶点A为起点，其他顶点为终点的向量分别为，以顶点D为起点，其他顶点为终点的向量分别为，则利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，又因为分别为的最小值、最大值，所以，故选A．【题目点拨】本题主要考查了向量的数量积运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，分析出向量数量积的正负是关键，着重考查了分析解决问题的能力，属于中档试题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】因为，所以，故答案为.12、23【解题分析】

直接利用数量积的坐标表示求解.【题目详解】由题得.故答案为23【题目点拨】本题主要考查平面向量的数量积的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.13、【解题分析】

求出的垂直平分线方程，两垂直平分线交点为外接圆圆心．再由两点间距离公式计算．【题目详解】由点B(0，)，C(2，)，得线段BC的垂直平分线方程为x＝1，①由点A(1,0)，B(0，)，得线段AB的垂直平分线方程为②联立①②，解得△ABC外接圆的圆心坐标为，其到原点的距离为.故答案为：【题目点拨】本题考查三角形外接圆圆心坐标，外心是三角形三条边的中垂线的交点，到三顶点距离相等．14、【解题分析】

设为的中点，为的中点，为的中点，由得到，再进一步分析即得解.【题目详解】如图，设为的中点，为的中点，为的中点，因为，所以可得，整理得.又，所以，所以，又，所以．故答案为【题目点拨】本题主要考查向量的运算法则和共线向量，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，解答本题的关键是作辅助线，属于中档题.15、7【解题分析】

奇数项和偶数项相减得到和，故，代入公式计算得到答案.【题目详解】由题意知：，前式减后式得到：，后式减前式得到故：解得故答案为：7【题目点拨】本题考查了等差数列的奇数项和与偶数项和关系，通过变换得到是解题的关键.16、①③【解题分析】

①中，根据直角三角形、锐角三角形和钝角三角形分类讨论，得出必要一个角在内，即可判定；②中，利用两角和的正切公式，化简得到，根据钝角三角形，即可判定；③中，利用向量的运算，得到，由于不共线，得到，再由余弦定理，即可判定．【题目详解】由题意，对于①中，在中，当，则，若为直角三角形，则必有一个角在内；若为锐角三角形，则必有一个内角小于等于；若为钝角三角形，也必有一个角小于内，所以总存在某个内角，使得，所以是正确的；对于②中，在中，由，可得，由为钝角三角形，所以，所以，所以不正确；对于③中，若，即,即，由于不共线，所以，即，由余弦定理可得，所以最小角小于，所以是正确的．综上可得，命题正确的是①③．故答案为：①③．【题目点拨】本题以真假命题为载体，考查了正弦、余弦定理的应用，以及向量的运算及应用，其中解答中熟练应用解三角形的知识和向量的运算进行化简是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）最大值为2，此时；最小值为－1，此时.（2）【解题分析】

（1）根据向量数量积坐标公式，列出函数，再根据函数图像过定点，求解函数解析式，当时，解出的范围，根据三角函数性质，可求最值；（2）根据三角函数平移伸缩变换，写出解析式，画出在上的图象，根据图像即可求解参数取值范围.【题目详解】解：（1）由题意知.根据的图象过点和，得到，解得，.当时，，，最大值为2，此时，最小值为－1，此时.（2）将函数的图象向右平移一个单位得，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得令，，如图当时，在有两个不同的解∴，即.【题目点拨】本题考查（1）三角函数最值问题（2）三角函数的平移伸缩变换，考查计算能力，考查转化与化归思想，考查数形结合思想，属于中等题型.18、(1)(2)【解题分析】试题分析：(1)根据若做广告宣传，广告费为n千元比广告费为千元时多卖出件，可得，利用叠加法可求得.(2)根据题意在时,利润,可利用求最值.试题解析：（1）设表示广告费为0元时的销售量，由题意知，由叠加法可得即为所求。（2）设当时，获利为元，由题意知，，欲使最大，则，易知，此时.考点：叠加法求通项,求最值.19、（1）10；（2）【解题分析】试题分析：（1）本题考察的是平面向量的数量积和向量的模．先根据是相互垂直的单位向量表示出要用的两个向量，然后根据向量的数量积运算和向量模的运算即可求出答案．（2）本题考察的是平面向量的夹角余弦值，可以通过向量的数量积公式表示出夹角的余弦值．先求出向量的模长，然后根据（1）求出的的数量积代入公式，即可求出答案．试题解析：（1），．∴|．（2）考点：平面向量数量积的坐标表示、模和夹角．20、（1）（2）【解题分析】

（1）由中，D是边BC上的点，根据面积关系求得，再结合正弦定理，即可求解.（2）由，化简得到，再结合，解得，进而利用勾股定理求得的长.【题目详解】（1）由题意，在中，D是边BC上的点，可得，所以又由正弦定理，可得.（2）由，可得，所以，即，由（1）知，解得，又由，