海南省2022届高三年级上册学业水平诊断一数学试题（解析版）

海南省2021—2022学年高三学业水平诊断一一数学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

A1B.i

C.1+iD.1-i

【答案】B

【解析】

【分析】利用复数的乘除法法则对复数化简即可.

l+3i_(l+3i)(3+i)_10i

【详解】解:

TT-(3-i)(3+i)-To

故选：B.

2.已知集合知=卜卜—，祖x—3)=01N=k|(x—3)(x—1)<0］若MflNH。，则实数m的取值

范围为()

A.(l,+oo)B.(-oo,3)

C.(1,3)D.(-oo,l)u(3,+oo)

【答案】C

【解析】

【分析】对加分两种情况讨论，化简集合〃，解一元二次不等式化简集合N,再根据交集的结果，即可得

到答案：

【详解】N={x[l<x<3},

当加=3时，M={3},•.・MpINr。，...加=3不成立;

当加。3时，M={m,3},•：M,

故选：C.

2-0,

3.已知函数/(x)=<1一—>0,若/2"则x=)

4

A.7B.-2C.2D.7或-2

【答案】D

【解析】

3X3

【分析】由函数解析式，分XW。时，2-1=--时'>厂一屋分别求解即可得选项.

2'-l,x<0,

3

【详解】解：因为〃力=<x/(x)=_j,所以

4

3

当xWO时，2V-1=一一，解得x=—2,满足xWO,故x=—2时不等式成立;

4

X3

当无>0时，1一一=一一，解得x=7,满足x>0,故x=7时不等式成立；

44

故选：D.

4.在等比数列｛%｝中，%，的是方程/一61+1=0的两个实根，则％=（）

A.-1B.1C,-3D.3

【答案】B

【解析】

【分析】由韦达定理可知小,%=1，结合等比中项的性质可求出生.

【详解】解:等比数列｛%｝中,由题意知：%+%=6,%，“7=1，

所以&3>0,。7>°，所以。5>0且G=&3，。7=1，即。5=1.

故选：B.

2

5.已知函数〃x)=2/'⑶x-.f+inx(/'(X)是的导函数)，则/(1)=()

2011716

A.-----B.-----C.-D.—

9999

【答案】D

【解析】

【分析】对函数进行求导，求出:⑶=2,再令x=l代入解析式，即可得到答案;

【详解】•・./'(x)=2/(3)-,x+工，二/'(3)=2f(3)_g+:=/'(3)=l,

9x33

2216

二./(x)=2x—x9+Inx,f(1)=2——,

故选：D.

1—9'

6.函数/(%)=的部分图象大致为()

【答案】A

【解析】

【分析】先利用奇偶性排除部分选项，再由/(1)<()函数值的符号判断排除可得选项.

]_9T9v_i

【详解】解：因为函数/(X)的定义域为R,且/(―)=3=(卷]]=3*(/+1)=_/(力,

所以函数/(x)是奇函数，故排除C、D,

1-94

又/⑴=3「+1)=_§<0,故排除B选项.

故选：A.

7.已知函数/(x)=log2|x-l|,若匕<c<0，l<a<2,则()

A./(/?)>/(c)>/(«)B.f(b)>f(a)>f(c)

C./(«)>/(^)>/(c)D,f(c)>f(a)>f(b)

【答案】A

【解析】

【分析】由对数型复合函数的单调性判断即可得出结果.

【详解】作出函数/(x)=log2|x-l|，的图象如图所示:

则/(x)=log2|x-l|的单调递增区间为：(1,+8),单调递减区间为：(一8,1).

,.Tvav2,0<a—1<1,

/(«)=log2|«-1|=log2(6Z-1)<0.

*/h<c<0/.>-c>0,1-Z?>1-c>1

/.log2(1-/?)>log2(l-c)>0.

f(b)=log2|Z?-l|=log2(l-Z?),/(c)=log2|c-l|=log2(l-c),

/(c)>/(«).

故选：A

即将10个人的咽拭子样本放入同一个采集

管中进行检测，最后不满10人的，如果人数小于5,就将他们的样本混到前一个采集管中，否则再使用一

个新的采集管.则各采样点使用的采集管个数y与到该采样点采样的人数x(x>10)之间的函数关系式为

)(国表示不大于x的最大整数)

xx+4

A.y=一B.>=

1010

x+5x+6

C.y=-D.y=

"io10

【答案】c

【解析】

v4-5X

【分析】由X能被10整除或x除以10的余数为1,2,3,4可得［丁］=［而］,由x除以10的余数为5,

x+5x

6,7,8,9可得[可]=[m]+1,即可得出结果.

【详解】当x能被10整除或x除以10的余数为1,2,3,4时，

Y4-5X

[三]=[历],即不需要再使用新的采集管；

当X除以10的余数为5,6,7,8,9时，

[y―4-^5]=[X—]+1,即需要再使用一个新的采集管；

故选：c

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.在菱形A8CQ中，E是4B边的中点，F是A。边的中点，则()

AE//CDAF//CD

C.EF-AC^OD.EF.BD=0

【答案】AC

【解析】

【分析】根据题意和菱形的性质可得AB//CD、ADcCD=D、ACYBD.EF//BD,依次判断选项

即可.

【详解】在菱形ABC。中AB//CD,即AE//CD,所以程//丽，

又ADcCD=。，所以而与函不共线，故A正确，B错误；

因为E、尸分别是A8、AO的中点，所以EF//BD,

又AC_L8L>,所以EE_LAC,所以丽.A6=0,丽万w0，故C正确，D错误.

10.已知等差数列|为|的前〃项和为S,，若S”=气生，则()

A.S”=0B.。6=°

D.S7=S

c.s$=S56

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据题意和等差数列的前〃项和公式、等差中项的应用可得4+。“=0,进而可得Su=4=0,

利用S“=Sn_,+an计算即可判断选项C、D.

【详解】由题意知，5“=幺警，得3(4+4，=%爱，

即£(4+4]1)=3(6+4]),解得4+即=0,所以S|I=0,故A正确；

S”=%；%=4=0,故B正确；

S6=S5+a6=S5+0=S5,故C正确；

s7=56+«7,当为HO时，S7=$6不成立，故D错误.

故选：ABC

11.将函数丫=$山*图象上各点的横坐标缩小为原来的,，纵坐标不变，再将所得图象向左平移二个单

424

位长度得到函数y=/(x)的图象，贝iJ()

B.y=/(x)的图象相邻两条对称轴间距离为?

C./(x)在上单调递减

jr1

D./(x)在0,-上的值域为一万』

【答案】BD

【解析】

【分析】由图象的平移和伸缩得出函数/(x)的解析式，对于A,代入计算可判断；对于B,求得函数/(x)

71

的最小正周期，可得相邻两条对称轴间距离；对于C,由已知得根据正弦函数的单

6

JI717/r

调性可判断；对于D,由已知得4X+：G—,根据正弦函数的性质可判断.

6|_66,

【详解】解：由已知得/(x)=sin4x+—I=sinl4x+—,所以/(x)=sin[4x+%

r(,(a7t7ry.571,一

对于A,/—=sin4x—+—=Sin—=-,故A不正确;

J\66y62

对于B,〃x)=sin的最小正周期T=^=1,所以y=/(x)的图象相邻两条对称轴间距离

TT

为丁故B正确;

对于C,因为y=sinx在上单调递增，所以

故C不正确;

冗,九g74.所以sin(4x+不)G--,1

对于D,当XG0,—时,4x+—€—，—故D正确,

4666

故选：BD.

12.已知函数/(》)=%+%2-Inx,则()

A.“X)在(0,；)上单调递减，在(g,+8)上单调递增

B.“X)有2个不同的零点

C.若a,^e(0,+oo),贝ij/(a)+/(/?)«

D.若/(a)=/(b)且a[b,则a+/?〉l

【答案】AD

【解析】

【分析】对函数进行求导，解导数不等式，利用零点存在性定理，利用作差法比较大小，利用极值点偏移,

即可得到答案；

【详解】对A,,//(x)=l+2x——(x>0),

x

./*,/\n1c1八2x24-X—1(2x—1)(x4-1)

••/(x)>0=>1+2x——>0=>--------->0=>------------>0,

XXX

/.x>—,当fr(x)<0=>0<x<—,

22

在上单调递减，在(g,+8)上单调递增，故A正确；

对B,v/(1)=1+^--ln|>0,/U)min>0,故B错误；

r/,、2

//。+久2177217c。+人\a+b\1a+b

对C,/(tz)+/(/?)—/(---)=Q+Q2—inQ+/7+〃z-1口力一2------F-----In----

222)2

o,2，a+b\(a+b\(。-b)?.,.(a-\-b\

=a+b~-2-----\nah+\n\----=--------Inah+\n\----

<2J\2J2\2J

=+miz。'故0错误；

2ah2

对D,不妨设b>—,要证v/?,

22

设y=/(I--f(h)=f(l-a)-f(a)

/.y=—f——f(a)=—1+2(1—6z)-----1+2Q-2=-1—2(1-a)-\——---1—2tz+—

_1一〃」1_4」1一〃Q

=-4+1—>0,

(1—a)•a

‘函数(0，g)单调递增，且y(g)=/(；)—/(g)=o，

r.y<0恒成立，，/(l-a)</S),

,/1-a,be(—,+oo),且/(x)在(L+oo)单调递增,

22

-e•\-a<h^>a+b>\,故D正确;

故选：AD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知两个单位向量3,B满足=内，则向量£,B的夹角为

27r

【答案】y##120°

【解析】

【分析】首先根据平面向量的运算律求出£4,再根据夹角公式计算可得；

【详解】解：由单位向量公，B满足,£+囚=万，得k1+62=]3,所以]6/+8£%+石2=]3，£出=_；,

a-b1

H二M»

又a，b)e[0,7t],所以=g.

故答案为：y

14.己知cos±cosx+sin2S抽主=也，请写出一个满足条件的x=.

121262

【答案】2

【解析】

77r7T

【分析】根据诱导公式可得sin丁=-sin二，结合两角和的余弦公式即可得出结果.

66

■、Ji/,ATJwI日而».7C.7T.77C7C.TC,7T12

【讦解】由迦思知，cos—cosx4-sin—sin—=cos—cosx—sin—sin—=—，

12126121262

71.7171.7171.71.71

-cos—=cos(----b—)=cos—cos----sin—sin—

44126126126

所以x可以为

6

故答案为：7

O

15.己知x,y,z为正实数，且x+2y-4z=0,则?的最大值为

Z

【答案】2

【解析】

分析】由已知得Z=H型，再根据基本不等式求得Z2N?,由此可得最大值.

42

【详解】解：因为x+2y—4z=0,所以z=H型，

4

又x,y,z为正实数，所以x+2yN2jx-2y,当且仅当x=2y时取等号，

所以z=之避五，即z2z0,所以?42,当且仅当x=2y时取等号.

422z-

所以考的最大值为2,

Z

故答案为：2.

16.在等差数列|%|中，4=-5,4与％互为相反数，S“为|qj的前“项和，Tn=nS„,则7；的最小值

是.

【答案】6

【解析】

【分析】根据条件求出4=-6,d=l,对〃进行分类讨论求出S“，求出7；的表达式，再构造函数利用导

数研究函数的最值，即可得到答案；

【详解】•••。6+%=0,4=一5,

2〃]+12d=0,

二〈解得：4=-6,d=1,

a1+d=—5,

/.an=-6+（n-1）=n-7,

«z/®n〃7,4,0^>1<n<7,

.,.当时，

o、〃・（-6+〃-7）n（n—13）

S“=-3+/+••・+。“）=-一——-=-2，

当〃28时，

。广同+同+…+同=2$+（4+&+…+4）=42+””型,

〃2（〃-13）

二当时，Tn=nSn=

以加7跖/一1312.3x2-26x

考察函数>=------——，y=--------——

x3-13x2

当时，y>0,y=在口7]单调递增,

2

二当1W〃W7时，7；=6为最小值；

当〃之8时，TM=〃S,=42“+”⑶,

""2

士为p贴“CX3-13X23x2-26x

考察函数y=42x+----——，y=42+-------,

当x28时，y〉0；二函数在［8,+oo)单调递增，

二当〃=8时，4=176为最小值；

综上所述：，的最小值是6；

故答案为：6

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知以帖245皿。=2$111/1$1113,c-2b.

(1)求4；

(2)若AABC的面积为2夜，求标的值.

【答案】(1)A=-

4

⑵20-872

【解析】

【分析】(1)根据正弦定理与。=2匕求出tanA=l,进而得到4=：7T；(2)结合第一问求出的4=7：T和。=2匕，

44

△ABC的面积，得到h=2,c=4,再用余弦定理求出a?.

【小问1详解】

因为＜：05245访。=251114$访8,由正弦定理得：c-cosA=2Z?sinA,所以tanA=f~,因为c=»,所

2b

以tanA=l,因为Ae(O,兀)，所以4=:;

【小问2详解】

△ABC的面积为,bcsinA=^bc，因为c=2h,AABC的面积为2后，所以红b?=2五,解得：。=2,

242

故c=2Z?=4,所以/=/?2+c?-2/?ccosA=4+16-2x2x4x^^=20-8^2

2

18.奥运会个人射箭比赛中，每名选手一局需要射3箭，某选手前三局的环数统计如下表:

环数

第1局10107

第2局899

第3局10810

（1）求该选手这9箭射中的环数的平均数和方差；

（2）若以该选手前9箭射中不同环数的频率代替他每一箭射中相应环数的概率，且每一次射箭互不影

响，求他第4局的总环数不低于29的概率.

【答案】⑴平均数为9,方差为&

160

（2）---.

729

【解析】

【分析】（1）根据平均数和方差的公式计算即可；

（2）该选手第4局的总环数不低于29,包含“1个9环，2个10环“和“3个10环”两种情况，射中9环的

24

概率为射中10环的概率为计算即可求得概率.

【小问1详解】

平均数为5（10+10+7+8+9+9+10+8+10）=9,

方差为，[F+「+（一2>+（一i）2+0*0+[2+（一[）2+-]=12

99

【小问2详解】

该选手第4局的总环数不低于29,包含"1个9环，2个10环”和“3个10环”两种情况，

24

由表中数据可知，该选手每一箭射中9环的概率为射中10环的概率为

4\31

所以所求的概率为P=Cx£x（1）+|

-60一

9-7-

729

19.已知各项都为正数的等比数列｛4｝的前“项和为S"，且q=4,S「4=84.

（1）求｛4｝的通项公式；

⑵设%=2”数列出｝的前〃项和为T“，若3S«+，=44+4M，求正整数%的值.

【答案】（1）凡=4".

（2）k=3.

【解析】

【分析】（1）设数列｛4｝的公比q,由等比数列的通项公式和求和公式可求得答案；

（2）由（1）得S.,2=2〃.，从而求得却代入方程中求解即可.

【小问1详解】

解：设数列｛%｝的公比“，由5广4=84得4+/+。3=84,又q=4,所以4+4q+4/=84,解得

q=-5（舍去）或夕=4.

所以a“=4x4"T=4",所以4=4"；

【小问2详解】

解：由⑴得S“=4（4"_l）=g（4"_l）,又。"=4"=22"=2"，所以a=2〃.，所以

"4-13

(2+2〃)〃

〃2

由31+4=46+4中得4（4*一1）+左2+左=4*+1+2伏+1）,整理得X—左一6=0,解得左=一2（舍

去）或攵=3.

所以攵=3.

20.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCO是矩形，AD，平面C。P,PD=CD,DE=PE，且

NPCD=30°.

（1）求证：平面AOE_L平面A8C£＞；

（2）若C0=3,AD=2,求直线PB与平面A。尸所成角的正弦值.

【答案】（1）证明过程见解析

3回

（2）

62

【解析】

【分析】（1）先证明线线垂直，从而证明线面垂直，再证明面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，用空间向

量求解线面角.

【小问1详解】

因为AD_L平面CDP,£>Eu平面CDP,所以ADLDE,因为PD=CD，且NPCD=30°,所以

NCP£>=30°,/CDP=120。，因为DE=PE,所以NPDE=NCPD=30°,NEDC=120°-30°=90°,

所以r>£J_C£）,因为A£>DC£>=。，所以QE,平面ABC。，因为。£u平面ABCQ,所以平面A*_L

平面ABCD

【小问2详解】

因为底面A5C。是矩形，所以AO_LCD,由第一问可知：DE^CD,OE_L平面ABC。，ADu平面ABC。,

所以所以以。为坐标原点，DE,DC,D4所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标

（3出3、

系，因为CD=3,AD=2,所以。（0,0,0）,P-^--,0,B（0,3,2）,A（0,0,2）,DA=（0,0,2）,

设平面ADP的法向量”=（x,y,z）,则

DA•无=2z=0

解得：令得：所以（）设直线与平面

诉六¥》一（二0z=0,x=ly=63=1,6,0,PB

r22i

21.已知椭圆C：*+力=1（。＞力＞0）的离心率为5，左、右焦点分别为《，F2,过点尸（0,3）的动

直线/与C交于A,B两点，且当动直线/与y轴重合时，四边形A耳85的面积为2百.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若AAB耳与AAB与的面积之比为2:1,求直线/的方程.

22

【答案】（1）土+匕=1

43

（2）x+y-3=0或9x+y-3=0.

【解析】

【分析】（1）根据离心率和直线/与y轴重合时四边形A耳8后的面积列出方程，结合/=〃+。2,得至

a=2,b=6进而求出椭圆方程；（2）根据AA5耳与AABE的面积之比为2:1,转化为线段的比值，

分为两种情况，进而求出直线/的方程.

【小问1详解】

如图，四边形4耳8鸟的面积为耳6-04=2「8=26，又因为（=3，/=62+。2,解得：。=2"=6,

V2V2

所以椭圆C的标准方程为三+乙