广西贺州市桂梧高级中学2022年高三适应性调研考试数学试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

5

1.已知a=log35,h=0.4°»c=log25,则a,b,c的大小关系为（）

A.c>b>aB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

2.已知函数y=2sin]2x+?，0<x<,]的图像与一条平行于x轴的直线有两个交点，其横坐标分别为%,9,

则X]+4=（）

3兀71

A.—7D.

46

3.已知函数/（X+1）是偶函数，当xe（l,+8）时，函数/（X）单调递减，设。=/（一：），。=〃3）,c=/（O）,

则“、b、c的大小关系为（）

A.h<a<cB.c<b<dC.b<c<aD.a<b<c

4.已知等差数列｛aj,贝!I“a2>ai”是“数列｛a,,｝为单调递增数歹U”的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

5.已知双曲线C：5f=1m>0力>0）的焦点为6，F2,且C上点P满足喝喈=0,冏=3,质1=4,

则双曲线。的离心率为

•--------D.5

2

Xy2

6.已知双曲线J=1（aX）,。>0）的左、右焦点分别为E,b,以OF（。为坐标原点）为直径的圆C交

a~

双曲线于4B两点，若直线AE与圆C相切，则该双曲线的离心率为（）

V2+3V6„272+76八30+26m3夜+述

-------B・-------C.--------D.-------

2222

7.给出下列三个命题:

①“3x0eR,片一2%+1K0”的否定；

②在△ABC中，“B>30°”是“cosB<—”的充要条件；

2

③将函数y=2cos2x的图象向左平移2个单位长度，得到函数y=2cos（2x+gj的图象.

其中假命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

8.下列判断错误的是（）

A.若随机变量J服从正态分布44）=0.78,则2）=022

B.已知直线/_]_平面。，直线团//平面/，贝心。///”是的充分不必要条件

C.若随机变量J服从二项分布：则E（J）=l

D.am>8〃?是a>6的充分不必要条件

9.一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何

体的表面积是（）

正视图侧视图

俯视图

A.16a+16万

B.16夜+8万

C.80+16万

D.8&+8乃

10.设复数z满足忖=干+1,z在复平面内对应的点的坐标为(无田则()

A.x2=2y+lB.y2=2x+1

C.x2=2y-lD.y2=2x-l

/、□log(1-x)x<0/、

11.定义在R上的函数/(x)满足/(》)=｛二7'八，则”2019)=()

/(x—3)x>0

A.-1B.0C.1D.2

12.函数〃x)=|x|-"的图象大致为()

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知随机变量X服从正态分布N（4,〃），P（X<6）=0.78,则P（XW2）=.

14.函数y（x）=«（五-4）+x-l的值域为.

x<2

15.若x,y满足y22x，则x+2y的最小值为.

x+”3

16.已知非零向量”，坂满足问=2何，且0%）_L£,则£与石的夹角为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知数列&｝,也｝满足4=3,。=1，4+1-2%=22一%,%-4=%-2+1.

⑴求数列｛叫，也｝的通项公式；

（2）分别求数列｛aH｝,｛b,,｝的前〃项和S,,Tn.

18.(12分)已知椭圆G:[+马=1(。＞。〉0),上顶点为8(0,1),离心率为立，直线/:)，=依一2交》轴于C点,

a-b~2

交椭圆于P,。两点，直线8P,6。分别交x轴于点/，N.

(I)求椭圆G的方程；

(II)求证：S&BOM-S&BCN为定值.

19.(12分)交通部门调查在高速公路上的平均车速情况，随机抽查了60名家庭轿车驾驶员，统计其中有40名男性

驾驶员，其中平均车速超过9()如〃〃的有30人，不超过9(场〃/〃的有10人；在其余20名女性驾驶员中，平均车速

超过90攵m/〃的有5人，不超过9()切?/〃的有15人.

(1)完成下面的2*2列联表，并据此判断是否有99.9%的把握认为，家庭轿车平均车速超过90切〃〃与驾驶员的性

别有关；

平均车速超过9(Um/〃平均车速不超过

合计

的人数90加/〃的人数

男性驾驶员

女性驾驶员

合计

(2)根据这些样本数据来估计总体，随机调查3辆家庭轿车，记这3辆车中，驾驶员为女性且平均车速不超过90k"//?

的人数为4,假定抽取的结果相互独立，求J的分布列和数学期望.

3七八4Kn(ad-bc)2

参考公式：K=-------------------------------其中〃=a+/?+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

临界值表:

2

P(K..k0)0.0500.0250.0100.0050.001

k。3.8415.0246.6357.87910.828

20.(12分)在锐角△A8C中，a/,c分别是角A氏C的对边，m=(2b-c,cosC),百=(a,cosA),且玩//鼠

(1)求角A的大小；

(2)求函数-siifB+cos导28)的值域.

21.(12分)某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示，该封闭区域由以。为圆心的半圆及直径A3

围成.在此区域内原有一个以。4为直径、。为圆心的半圆形展示区，该广告商欲在此基础上，将其改建成一个凸四边形

的展示区COPQ,其中P、。分别在半圆。与半圆C的圆弧上，且PQ与半圆。相切于点Q.已知AB长为40米，设

/BOP为2a.(上述图形均视作在同一平面内)

(1)记四边形COPQ的周长为/(。),求的表达式；

(2)要使改建成的展示区COPQ的面积最大，求sin。的值.

22.(10分)已知抛物线V=2px(p>0),过点C(-2,0)的直线/交抛物线于A5两点，坐标原点为。，丽.丽=12.

(1)求抛物线的方程；

(2)当以A3为直径的圆与)'轴相切时，求直线/的方程.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

与中间值1比较，a,c可用换底公式化为同底数对数，再比较大小.

【详解】

11

5

0.4°<1»log35>1,又。<10852<10853,二'^-->----即log25>log：5,

logsZlogsJ

：.c>a>b.

故选：D.

【点睛】

本题考查塞和对数的大小比较，解题时能化为同底的化为同底数哥比较，或化为同底数对数比较，若是不同类型的数,

可借助中间值如0,1等比较.

2.A

【解析】

(3万0<"rrk冗37r

画出函数y=2sin2x+—的图像，函数对称轴方程为》=-三+丁，由图可得当与与关于尤

I474O2O

对称，即得解.

【详解】

函数y=2sin]2x+30<x<,的图像如图,

37r7T

对称轴方程为2x+二=—+kn(kGZ),

42

兀k兀,、

x--------1------\k£Z),

82

0八3431

又0<x<—,x=—

48

37r

由图可得X与々关于对称,

8

c3乃34

x,+=2x—=—

1-84

故选：A

【点睛】

本题考查了正弦型函数的对称性，考查了学生综合分析，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.

3.A

【解析】

根据“X+1）图象关于y轴对称可知/（X）关于X=1对称，从而得到“X）在（-0）,1）上单调递增且/⑶=/（一1）；

再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系.

【详解】

Qf(x+1)为偶函数.•./(x+1)图象关于)，轴对称

・•・/(x)图象关于x=l对称

•••xe(l,+8)时，“X)单调递减.•.xw(e,l)时，“X)单调递增

又/(3)=/(—1)且一1<一；<0即。<〃<c

本题正确选项：A

【点睛】

本题考查利用函数奇偶性、对称性和单调性比较函数值的大小关系问题，关键是能够通过奇偶性和对称性得到函数的

单调性，通过自变量的大小关系求得结果.

4.C

【解析】

试题分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

解：在等差数列｛aj中，若a2>a”则d>0,即数列｛aj为单调递增数列，

若数列｛aj为单调递增数列，则az>ai,成立，

即“a2>ai”是“数列佃,｝为单调递增数列”充分必要条件，

故选C.

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.

5.D

【解析】

根据双曲线定义可以直接求出。，利用勾股定理可以求出c,最后求出离心率.

【详解】

依题意得，2a=|PgP用=1,|耳玛|=「工|f=5,因此该双曲线的离心率e1^1

|「引一|「用

【点睛】

本题考查了双曲线定义及双曲线的离心率，考查了运算能力.

【解析】

Qz>

连接C4,AF,可得但。=三，在AAC尸中，由余弦定理得Ab,结合双曲线的定义，即得解.

【详解】

连接C4,AF,

则|0C|=|C4|=|CE|=],|0目=c,

所以但。|=5,|FC|=|

在R/AEAC中，|AE|=&c,COSZACE=,

故cosNACF=-cosNACE=」

3

在AACF中，由余弦定理

AF2=C42+CF2-2CACF-COSZACF

可得4尸=逅’.

3

根据双曲线的定义，得显一旦c=2a,

3

_c_2_6_3叵+瓜

所以双曲线的离心率e=%=r-V6=3V2-V6=—2—

__3"

故选：D

【点睛】

本题考查了双曲线的性质及双曲线的离心率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

7.C

【解析】

结合不等式、三角函数的性质,对三个命题逐个分析并判断其真假，即可选出答案.

【详解】

对于命题①，因为片-2/+1=1-1）2N0,所以“上0wR,x；-2/+140”是真命题，故其否定是假命题，即①是假命

题；

对于命题②，充分性:AABC中，若8>30°,则30°<6v180°,由余弦函数的单调性可知,cos180°<cos8<cos30°,即

-1<COSB<—，即可得到cos8〈且，即充分性成立;必要性:AABC中,0°<5<180°,若cosB<—，结合余弦函数

222

的单调性可知,cos1800<cosB<cos30°,gp30°<B<18（）°,可得到B>30",即必要性成立.故命题②正确;

对于命题③,将函数y=2cos2x的图象向左平移弓个单位长度,可得到y=2cos+=2cos（2x+gJ的图象，即命

题③是假命题.

故假命题有①③.

故选:C

【点睛】

本题考查了命题真假的判断，考查了余弦函数单调性的应用，考查了三角函数图象的平移变换，考查了学生的逻辑推理能

力,属于基础题.

8.D

【解析】

根据正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，依次对四

个选项加以分析判断，进而可求解.

【详解】

对于A选项，若随机变量4服从正态分布N（l,4）,P（g44）=0.78,根据正态分布曲线的对称性，有

P（J«—2）=P（J24）=1—PqW4）=1—0.78=0.22,故A选项正确，不符合题意；

对于8选项，已知直线/，平面直线加//平面£,则当二//4时一定有/，加，充分性成立，而当/_Lm时，不

一定有二〃夕，故必要性不成立，所以“a〃夕”是的充分不必要条件，故8选项正确，不符合题意；

对于C选项，若随机变量4服从二项分布：g~d4,；|,则七偌）=〃〃=4、1=1,故。选项正确，不符合题意；

对于。选项，,.・卬%>3加，仅当相>0时有当机<0时，不成立，故充分性不成立；若a>b,仅当相>。

时有。利>为?2,当〃2<0时，am>bm不成立,故必要性不成立.

因而am>bm是a>b的既不充分也不必要条件，故D选项不正确，符合题意.

故选：D

【点睛】

本题考查正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，考查

理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.

9.D

【解析】

由三视图可知该几何体的直观图是轴截面在水平面上的半个圆锥，表面积为

1.4-4>/2+-^22+-^-2-6=8V2+8^,^D.

222

10.B

【解析】

根据共拆复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解.

【详解】

z在复平面内对应的点的坐标为（x,y）,则2=_¥+加，

z=x-yi9

v|z|=£1I+i,

112

代入可得=j+],

解得丁=2x+l.

故选：B.

【点睛】

本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共轨复数的概念，属于基础题.

11.C

【解析】

推导出/（2019）=/（4O3x5+4）=/（4）=/（-1）=log22,由此能求出“2019）的值.

【详解】

/、c|log（1-x）x<0

•.♦定义在R上的函数〃x）满足2，I〉。，

/（2019）=/（403x5+4）=/（4）=/（-l）=log22=1,故选c.

【点睛】

本题主要考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用，属于中档题.

12.A

【解析】

根据函数/（X）的奇偶性和单调性，排除错误选项，从而得出正确选项.

【详解】

因为/（r）=/（x），所以“X）是偶函数，排除c和D.

当x>0时，/（X）=x--­,/（x）=------j-----，

XX

令/（x）<0,得0—即“X）在（0,1）上递减；令尸（耳>0,得x>l,即“X）在0，+8）上递增.所以“X）

在x=l处取得极小值，排除B.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查函数图像的识别，考查利用导数研究函数的单调区间和极值，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.0.22.

【解析】

正态曲线关于x=M对称，根据对称性以及概率和为1求解即可。

【详解】

P（X«2）=1-P（X<6）=022

【点睛】

本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题.

14.[3,+oo）

【解析】

利用配方法化简式子，可得/（x）=2（«-3,然后根据观察法，可得结果.

【详解】

函数的定义域为[0,+8）

f（x）==2x-^4x-\

所以函数的值域为［3,+8)

故答案为：［3,+8)

【点睛】

本题考查的是用配方法求函数的值域问题，属基础题。

15.5

【解析】

先作出可行域，再做直线/：y=-gx,平移/,找到使直线在y轴上截距最小的点，代入即得。

【详解】

作出不等式组表示的平面区域，如图，令z=x+2y,则y=-_Lx+'z,作出直线=平移直线/,由图可

222

'x=2

得，当直线经过C点时，直线在y轴上的截距最小，由.°,可得C(2,l),因此x+2y的最小值为2+2xl=4.

x+y=3

故答案为：4

【点睛】

本题考查不含参数的线性规划问题，是基础题。

16.y(或写成60°)

【解析】

设3与坂的夹角为。，通过伍-勾立，可得仅一4£=0,化简整理可求出cos。，从而得到答案.

【详解】

设)与A的夹角为。

_La

可得仅-Q)・Q=O,

：.a-b-(a^O

故|G|-W•cose-=0,将Ml=2同代入可得

得到cosO=L,

2

于是7与坂的夹角为

故答案为：y.

【点睛】

本题主要考查向量的数量积运算，向量垂直转化为数量积为0是解决本题的关键，意在考查学生的转化能力，分析能

力及计算能力.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)a=2"+~+-；h=2n----(2)S=2n+'-2+—+-n；T,=2n+l-2-----n

n22Hn22"4444

【解析】

(1)a„+,+bn+i=2(«„+b„),ai+仇=4,可得｛a“+么｝为公比为2的等比数列，。“+1-%=%一2+1可得｛《,一。”｝

为公差为1的等差数列，再算出｛%+〃｝,｛q-2｝的通项公式，解方程组即可；

(2)利用分组求和法解决.

【详解】

(1)依题意有向rI：〃

(A+1—a+1=%一4+1

又4+々=4；a]-h｝=2.

可得数列｛q,+么｝为公比为2的等比数列，｛q-。“｝为公差为1的等差数列,

%+〃,=(%+bJx2i—日

由＜

4一以=〃+1

n1

=2"+-+-

22

解得

n1

——乙-----——

22

故数列｛q｝,也｝的通项公式分别为a“=2"+]+g；々=2"-]一(

⑵—2+%/

逊电」=2用一2上，.

4244

【点睛】

本题考查利用递推公式求数列的通项公式以及分组求和法求数列的前”项和，考查学生的计算能力，是一道中档

题.

r21

18.(I)3+9=1：(II)s^OM.s^CN=-,证明见解析•

【解析】

(I)根据题意列出关于。，b,c的方程组，解出“，b,c的值，即可得到椭圆G的方程；

(II)设点尸(内，必)，点。(马，必)，易求直线阱的方程为：y一1=之二》，令>=0得，/=占，同理可得

XN~；，所以

1-必

113Xx

^^=TX1X|^I><TX3X|XJ=X|—I，联立直线/与椭圆方程，利用韦达定理代入上式,

22749-3%(玉+w)+左X9

化简即可得到5八80Mr.可=/.

【详解】

b=1

a=&

(DM：由题意可知：,£="

解得"=1

a2

a2=b2+c2C=1

2

；.椭圆G的方程为：y+/=l；

(II)证：设点P8,%),点。(%,当)，

y=kx-2

联立方程/消去丁得：（1+2公）f_8"+6=0,

8k6

■•9X,X^-z-（X）＞

2122

'1+2公\+2k

,•,点尸a,%),B(点i),

,y.--1x,x.

直线BP的方程为：y—1=2—%,令y=o得，X=o),

为1-yi-y

同理可得0),

if

1i33

•••%OM苗…=5X冈X,”IX]X3x|x.|=丁IX”』|=屋I

=-x|-----2-----1=-x|--------^2——；—I,

4(3-kxl)(3-kx2)49-3k(xt+x2)+k"xxx2

6

31+2二361+2/_1

把①式代入上式得：S,B°M・Sg=W=­x

24公6k241+2/92'

■y+-z

1+2公1+2公

,•S&BOM1sBeN为定值5.

【点睛】

本题主要考查直线与椭圆的位置关系、定值问题的求解；关键是能够通过直线与椭圆联立得到韦达定理的形式，利用

韦达定理化简三角形面积得到定值；考查计算能力与推理能力，属于中档题.

19.(1)填表见解析；有99.9%的把握认为，平均车速超过9()如7/〃与性别有关(2)详见解析

【解析】

(D根据题目所给数据填写2x2列联表，计算出K?的值，由此判断出有99.9%的把握认为，平均车速超过

与性别有关.

(2)利用二项分布的知识计算出分布列和数学期望.

【详解】

(1)

平均车速超过9()如〃〃平均车速不超过

合计

的人数90加1/72的人数

男性驾驶员301040

女性驾驶员51520

合计352560

因为_60x(30x15-5x10)2=6x16

»13.71,

40x20x35x257

13.71>10.828,所以有99.9%的把握认为，平均车速超过90k〃与性别有关.

(2)自服从号)即«3，j,

4

27

尸(“。)二4〕用64

(3Y

PC=1)=%27

64

P«=2)=C；

P©=3)=《

所以。的分布列如下

0123

272791

p

64646464

2727913

自的期望E©)=Ox—+lx—+2x3+3'—=巳

646464644

【点睛】

本小题主要考查2x2列联表独立性检验，考查二项分布分布列和数学期望，属于中档题.

(3

20.(1)A——K；(2)—,2

3(2」

【解析】

(1)由向量平行的坐标表示、正弦定理边化角和两角和差正弦公式可化简求得cosA,进而得到A；

(2)利用两角和差余弦公式、二倍角和辅助角公式化简函数为y=l+sin(2B-看｝根据3的范围可确定2B-£的

范围，结合正弦函数图象可确定所求函数的值域.

【详解】

(1)•.・mlln,・•・(2Z?—c)cosA-acosC=09

由正弦定理得：(2sinB-sinC)cosA-sinAcosC=0,

即2sin6cosA-sin(A+C)=2sin3cosA-sin8=0,

,/Be|0,7^1I,sin0»cosA=-,

I2；2

又A£[0,-j,A71

'Ji7TTT

(2)在锐角△ABC中，A=—,/.—<B<—.

362

\1/a1/、

(万V371

y=2csi.rr2Bn+cosI—-2B=1-cos2B+—cos2B+——sin28=1+sin28——cos28=l+sin2B--

22T26；

71c式71入n兀5乃—<sinf2B--兀3

,.,一<8<一,—<2B——<—,"1,<y<2

62666269

函数y=2sin2B+cos[^1-2B]的值域为2.

【点睛】

本题考查三角恒等变换、解三角形和三角函数性质的综合应用问题；涉及到共线向量的坐标表示、利用三角恒等变换

公式化简求值、正弦定理边化角的应用、正弦型函数值域的求解等知识.

取_加

21.(1)/⑻=40+200cos。,。G

8

【解析】

（1）由余弦定理的尸。2