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矩阵论电子教程DepartmentofMathematics,CollegeofSciences6-2矩阵级数

矩阵分析第六章§6.2矩阵级数一,矩阵级数的定义 由中的矩阵序列构成的无穷和称为矩阵级数，记为，二,矩阵级数的收敛和发散

若由矩阵级数的部分和构成的矩阵序列收敛，且有极限S则称矩阵级数收敛且有和S，记为:为矩阵级数的部分和。称:

不收敛的矩阵级数称之为发散的定义1.

中的矩阵级数收敛相当于F上的个级数都收敛判断矩阵级数的敛散性

例1.已知矩阵序列的通项为定理1.n[解答]

考察上述矩阵级数的部分和

矩阵级数收敛，且其和为三.矩阵级数的绝对收敛定义2.

设:,矩阵级数若对某一个矩阵范数满足:由矩阵范数的等价性知,矩阵的绝对收敛与矩阵范数的选择无关是收敛的,则称矩阵级数绝对收敛是正项级数.说明必要性：若正项级数收敛，由可知n矩阵级数绝对收敛的充要条件是每个数值定理2.设级数都收敛,即绝对收敛.证明：先给出矩阵范数由正项级数的比较判别法，可知个数值级数从而矩阵级数绝对收敛。n收敛，由矩阵范数的等价性及正项级数的比较判别法，可知上述命题对均成立. 充分性：由正项级数的比较判别法，可知级数收敛。若每个数值级数都收敛,其相加所构成的级数都收敛,由于4，若矩阵级数收敛（或绝对收敛），则矩阵级数也收敛（或绝对收敛），并且有:定理3：设，，其中:则1，2，3，绝对收敛的矩阵级数必收敛，并且任意调换其项的顺序所得的矩阵级数仍收敛，且其和不变.5，若与均绝对收敛，则它们按项相乘所得的矩阵级数证明：只证4.及5.4.因，记，则在此基础上考察级数的部分和的极限可见收敛，且也绝对收敛，且其和为AB由正项级数的比较判别法可知绝对收敛若绝对收敛收敛，由于

首先由命题的条件可知，级数与均收敛。记考察矩阵级数的通项的范数由正项级数的比较判别法可知，级数绝对收敛,记:则再记由矩阵范数的三角不等式及相容性再由可得定义3：设，称形如：的矩阵级数为矩阵幂级数。四,矩阵的幂级数定理4：设幂级数的收敛半径为为阶方阵若，则矩阵幂级数绝对收敛；若，则发散。证明：设的Jordan标准形为其中于是其中所以当时，幂级数都是绝对收敛的，故矩阵幂级数绝对收敛。当时，幂级数发散，所以发散。例2:

证明对任意的矩阵幂级数:绝对收敛.[证明]由于并且:所以,原矩阵幂级数绝对收敛,从而也是收敛的

我们知道,若矩阵级数收敛,且收敛与矩阵S则称S为级数的和,记为:下面规定几个收敛的矩阵级数的和:且其和为：定理5：设矩阵幂级数[证明]

绝对收敛性由定理4立即可以得到,下证令则

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