3.5 转动惯量课件

3.5转动惯量3.5转动惯量3.5转动惯量角速度描述刚体的整体转动，我们希望把刚体的动量矩与动能，和角速度联系起来。这将引出转动惯量的概念。23.5转动惯量3.5.1刚体的动量矩定点转动刚体的动量矩从质点组的角度来写：(1)(2)(3)(2)(3)代入(1)可得静止系或活动系都可以33.5转动惯量3.5.1刚体的动量矩定点转动刚体的动量矩其中43.5转动惯量3.5.2刚体的转动动能(1)(2)(2)代入(1)可得53.5转动惯量3.5.3转动惯量的概念由转动动能引入转动惯量记称为刚体对转轴的转动惯量63.5转动惯量3.5.3转动惯量的概念平行轴定理已知刚体对通过其质心的某轴线lC的转动惯量为IC,则对与lC平行的轴线l的转动惯量为。其中是刚体的总质量；是两轴线的垂直距离。73.5转动惯量回转半径3.5.3转动惯量的概念有时为了方便，将刚体对某轴线的转动惯量等效地写为其中，m是刚体的质量；k叫做刚体对该轴线的回转半径.相当于将刚体简化为一个集中了所有质量的点，此点到转轴的距离就是k.83.5转动惯量3.5.4惯量张量和惯量椭球转动惯量的一般计算式某时刻，设转轴l的方向余弦分别是，则转动动能建立直角坐标系O-xyz静止系或活动系都可以93.5转动惯量转动惯量的一般计算式3.5.4惯量张量和惯量椭球前面已知两式比较可得刚体对转轴l的转动惯量为103.5转动惯量转动惯量的一般计算式3.5.4惯量张量和惯量椭球即刚体对三个坐标轴的转动惯量。即刚体对三个坐标轴的惯量积。113.5转动惯量3.5.4惯量张量和惯量椭球惯量张量矩阵元统称惯量系数则对转轴的转动惯量可写成矩阵形式123.5转动惯量3.5.4惯量张量和惯量椭球惯量张量转动动能的矩阵形式动量矩的矩阵形式133.5转动惯量3.5.4惯量张量和惯量椭球惯量椭球的概念以刚体自身作为参考系，则瞬轴随时间变化绕O点转动，不同时刻有不同的瞬轴。记所有这些瞬轴为ln,n=1,2,…在ln上取一点Qn,要求满足：刚体对ln的转动惯量为In则点集{Q1,Q2,…,Qn,…}在空间密布成一个椭球面，此椭球称为此刚体的惯量椭球。做定点转动的刚体143.5转动惯量3.5.4惯量张量和惯量椭球惯量椭球的概念求证：定点转动刚体上满足所有点Q构成一个椭球面。证明：

在刚体上建立活动系O-xyz,并设瞬轴l的方向余弦为。令设Q点的坐标为(x,y,z)，则(2)(1)做定点转动的刚体153.5转动惯量3.5.4惯量张量和惯量椭球惯量椭球的概念证明已知(3)(2)代入(3),并利用(1)消去I和R可得因为是活动系，或上式中惯量系数均为常数。上式即点Q的坐标必须满足的方程，这是一个椭球面方程。得证。163.5转动惯量3.5.4惯量张量和惯量椭球惯量椭球的概念惯量椭球方程做定点转动的刚体综上所述，任何做定点转动的刚体都“背着一个隐形的包袱”——即惯量椭球。在转动定点O上架设一个活动系O-xyz。其中，Ixx,Iyy,Izz分别是刚体对三个坐标轴的转动惯量，Ixy,Iyz,Izx分别是惯量积，它们都是常数。则此椭球面方程为173.5转动惯量3.5.4惯量张量和惯量椭球惯量椭球的概念惯量椭球的意义做定点转动的刚体惯量椭球的矢径与刚体对轴的转动惯量有如下关系：因此如果知道了惯量椭球，可以利用上式计算刚体对任意瞬轴的转动惯量。183.5转动惯量3.5.5惯量主轴惯量主轴惯量椭球是在活动系下描述的结果。所以，惯量椭球也是固连在刚体上的。于是我们可以选择一个特殊的活动系：以惯量椭球的三条互相垂直的对称轴作为活动系的三条坐标轴。这样的活动系称为主轴坐标系。三条坐标轴称为惯量主轴。主轴坐标系和惯量主轴的概念193.5转动惯量3.5.5惯量主轴主轴系的特点——惯量积均为零证明：在椭球面上任取一点Q(x,y,z)根据对称性，Q'(－x,－y,z)也必在椭球面上.将这两点分别代入椭球面方程，可得(1)(2)两式相减可得Iyzy+Izxx=0.因为x,y是任意的，故必须Iyz=Izx=0同理可证203.5转动惯量3.5.5惯量主轴主轴系的优点——简洁在主轴系下，惯量张量对角化为其中对瞬轴的转动惯量：惯量椭球方程简化为对转动定点的动量矩简化为转动动能简化为213.5转动惯量3.5.5惯量主轴判断刚体惯量主轴的方法(1)若均匀刚体有对称轴，且通过转动定点，则此对称轴必是其惯量主轴。证明：设此对称轴为z轴。则点(xi,yi,zi)与点(－xi,－yi,zi)必同在刚体上。于是与z轴相关的两个惯量积：所以，z轴必是惯量主轴。223.5转动惯量3.5.5惯量主轴判断刚体惯量主轴的方法(2)若均匀刚体有对称面，且转动定点在此对称面上，则与该面垂直且通过转动定点的轴必是其惯量主轴。证明：以转动定点O为原点，以此对称面为xy平面建立活动坐标系O-xyz。则点(xi,yi,zi)与点(xi,yi,－zi)必同在此刚体上。因此惯量积：，故，z轴必是惯量主轴。233.5转动惯量3.5转动惯量例题均匀长方形薄片的边长为a和b,质量为m，求此长方形薄片绕其对角线转动时的转动惯量。解：如图建立主轴坐标系。薄板对对角线l的转动惯量，在主轴坐标系下的计算式为(1)其中I1,I2,I3分别是薄板对三个坐标轴的转动惯量，是对角线l的三个方向余弦。243.5转动惯量3.5转动惯量例题(2)对角线l的三个方向余弦分别为设薄板质量密度为，厚度为t,则图中与x轴平行的长条状体积元的质量为