函数单调性性质的应用练习题含答案

函数单调性性质的应用练习题含答案

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1.已知定义在R上的偶函数/(x)在(0,+8)上是减函数，贝女)

A./(3)</(-5)</(-4)B./(-4)<5)</(3)

C/⑶<f(-4)</(-5)D./(-5)</(-4)</⑶

2.已知f(x)是定义在［2瓦2-用上的偶函数,且在［2瓦0］上为增函数,则

f(2x)的解集为()

A,卜词B.卜词D.gl］

3.已知函数/'(x)的导函数尸(x)满足/'(x)+(x+1)/(x)>0对xeR恒成立，则下列判

断一定正确的是()

A.0</(0)<2/(1)B./(0)<0<2/(1)C.0<2/(1)</(0)D.2/(l)<0</(0)

4.已知函数f(x)=x2-mx+1在区间(一8,-2］上为减函数，则下列选项正确的是

()

A./(1)<6B./(1)<6C.f(-1)>—2D./(-1)<—2

5.已知函数y=/(%-1)是定义在R上的偶函数，且y=/(%)在［-1,+8)上单调递增,

则不等式/(一2>1-1)<f(3)的解集为()

A.(2,+8)B.(—8,2)C.(—8,3)D.(3,4-oo)

6.已知aulog??,b=log47,c=tan38°,则a,b,c的大小关系式为()

A.a<b<cB.c<a<bC.c<b<aD.b<c<a

7.已知函数/(%)=菽(其中e是自然对数的底数)，若a=/(2i.5),b=

/(40-8),c=/(l°g20,则原从C的大小关系为()

Ke<a<bB.a<b<cC.a<c<bD.b<a<c

8.已知函数/(£)=［一)：］4x,“10,若八2一t)>/Q),则实数t的取值范围是()

xzL1".zvft/LU,

A.(-oo,1)u(2,4-oo)B.(l,2)C.(-8,1)D.(l,+8)

9.定义在(0,+8)上的函数/(x)满足x/(x)—l>0,/⑷=2ln2,则不等式/(e，)<x

的解集为()

A.(0,2ln2)B.(-<»,2ln2)C.(2ln2,+oo)D.(l,2ln2)

10."求方程Q)x+(I)'=1的解"，有如下解题思路：设/(x)=g)X+(|)\则/(x)在

R上单调递减，且/(2)=1,所以原方程有唯一解x=2.类比上述解题思路，可得不

等式ln(%+2)-2lnx>x2-x-2的解集是()

A.(2,+8)B.(—2,+8)C.(0,2)D.(-2,1)

11.已知奇函数/(x)的定义域为R且在R上连续.若x>0时，不等式的解集

为(2,3),则X6R时，f(x)</•(：)的解集为.

12.函数f(x)=(9、-1，xe［-1,2］的值域为.

1

?猫瑜=」

13.函数""""收二高的定义域为.

14.若函数/(%)=2"+log2》在［La］上的值域为［几列|，且m-n=16,则

a=.

15.已知函数=“<!，在R上单调递减，则a的取值范围是

J(-%24-ax-10,x>1

侬i-期总界娴宓•<1

吟

16.若f(x)=l一叫笳望”是定义在R上的减函数，则a的取值范围是.

17.已知函数/(%)=+02(了其中aeR.若对任意的非零实数看,存

在唯一的非零实数到(/声右)，使得/(%)=/(&)成立，则实数k的取值范围是

18.已知函数/(x)=x(2*-2T),则不等式2/(x)-3<0的解集为.

试卷第2页，总26页

19.已知函数f(%)=%-sin%,若f(2%)+f(%2-3)>0,则实数％的取值范围为

2

20.已知f(久)=+}+e?,g(x)=—x—2x—14-a,若存在与WR,x2E

(一l,+8),使得/GJWg(%2)成立，则实数a的取值范围是.

丫2_2Yy>0

,'-'2/(a)+/(2a)<0,则实数a的取值范围是

{x2+2x,x<0,

22.已知f(x)=言・

(1)判断/(x)在［-1,1］的单调性，并用定义加以证明；

(2)求函/(x)在［一1,1］的最值.

23.已知/(%)是定义在R上的偶函数，且当x20时，/(x)=x2+2x-3.

(1)求“X)的解析式；

(2)若f(m+l)<f(2m-l),求实数m的取值范围.

24.已知/(x)=品，x6(-2,2).

(1)用定义证明函数/(%)在(-2,2)上为增函数；

(3)若f(a+2)>/(2a-l),求实数a的取值范围.

25.已知函数/(x)=3x+2.

(1)求证：函数f(x)在R上是增函数；

(2)求/(x)在［-3,-2］上的最大值和最小值.

26.已知函数/'(%)是R上的奇函数,当x>。时,f［x}=x2+x.

⑴当无<。时,求f(%)的解析式;

(2)若/(1+£1)+〃2£1)>0,求实数a的取值范围.

27.已知函数/'(X)=£g+m(m6R)是奇函数.

(1)求实数nt的值；

(2)判断/(x)的单调性(不用证明)；

(3)求不等式-x)+/(-2)<0的解集.

28.已知函数/'(x)=ax-1(a>0,且aH1)满足/'(1)-/(2)=3

(1)求a的值；

(2)解不等式f(x)<0.

29.已知函数/'(X)=|x3-ax-1.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围.

30.设函数f(x)=〃\、②的定义域为D,其中a<1.

(1)当a=-3时，写出函数/(x)的单调区间(不要求证明)；

(2)若对于任意的xe［0,2］n。，均有/'(x)2k/成立，求实数k的取值范围.

31.已知函数/(x)=*三是定义在R上的奇函数.

(1)求a的值；

(2)判断并证明函数/(x)的单调性，并利用结论解不等式：/(%2-2X)+/(3X-2)<0；

(3)是否存在实数k,使得函数f(x)在区间［m,可上的取值范围是［京,得］?若存在，求出

试卷第4页，总26页

实数k的取值范围；若不存在，请说明理由.

参考答案与试题解析

函数单调性性质的应用练习题含答案

一、选择题(本题共计10小题，每题3分，共计30分)

1.

【答案】

D

【考点】

函数奇偶性的性质

函数单调性的性质

【解析】

定义在R上的偶函数f(x)在(0,+8)上是减函数，由偶函数的性质可得出，它在(-8,0)

上是增函数，由此得到函数图象的变化规律，由此规则比较出/(3)、/(-4)、f(-5)的

大小，得出正确选项

【解答】

解：••・定义在R上的偶函数在(0,+8)上是减函数，

此函数在(一8,0)上是增函数，

由此知，函数图象上的点离y轴越近，函数值越大.

­1•3<|-4|<|-5|,

•••/(-5)</(-4)</(3).

故选D.

2.

【答案】

B

【考点】

绝对值不等式的解法与证明

函数奇偶性的性质

函数单调性的性质

【解析】

根据函数的奇偶性，可得2b+l-b=0,可求得b的值，在根据函数的单调性，列出

不等式组，解之即可得出答案.

【解答】

解：rf(x)是定义在［241—用上的偶函数，

2b+1—Z?=0,

b=-1.

•••/(%)在［一2,0］上为增函数，

/(%)在［0,2］上为减函数，距离对称轴越远，函数值越小，

由/(%-1)</(2%)可得优-1|>|2x|,

且-2Wx—1W2,—2W2%W2,

解得：-1SxW|.

故不等式的解集为卜1$.

故选B.

3.

试卷第6页，总26页

【答案】

A

【考点】

利用导数研究函数的单调性

函数单调性的性质

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：设g(x)=(x+l)f(x),g'(x)=/(x)+(x+>0,则g(无)在R上单调递增,

则9(-1)<9(。)<9(1)，即0<f(0)<2/(1).

故选4

4.

【答案】

B

【考点】

二次函数的性质

函数单调性的性质

【解析】

由函数f(x)的单调性可得m2-4,计算f(l),/(-I),由不等式性质即可得结果.

【解答】

解：函数/(%)=x2-mx+1在区间(一8,-2］上为减函数，

所以1>—2»即m>—4,

所以/(I)=2-m<6,/(-I)=2+m>-2.

故选B.

5.

【答案】

C

【考点】

函数奇偶性的性质

函数单调性的性质

【解析】

因为y=/Q)是定义在R上的偶函数，所以在［0,+8)上单调递增，则在对称区间

(-8,0)上单调递减.所以/(-1)=/(I),所以讨论党2%在区间［0,+8)和(一8,0)两

种情况，所以log?x>0即x>1时，为了用上函数y=f(x)在［0,+8)上单调递增的条

件，将原不等式变成，/(1吨2切</(1)，根据单调性，所以得到log2》<1，x<2,所

以l〈x<2,同样的办法，求出Iog2%<0时的原不等式的解，这两种情况所得的解求

并集即可.

【解答】

解：由函数y=/(x-l)是偶函数，得y=f(x)的图象关于直线％=-1对称，

因为y=/(x)在［-1,+8)上

单调递增，所以y=/(x)在(-8,-1］上单调递减.

又一2"T-1<-1J⑶=/(一5),

所以/(-2X-1)</(3)=一2"1-1>-5=2才-1<4=x-l<2=x<3.

故选c.

6.

【答案】

C

【考点】

函数单调性的性质

对数值大小的比较

【解析】

利用对数函数和三角函数的性质求解.

【解答】

解：log23>log22=1,a>1,

log47>log44=1,b>1,

又..^=用=等=强=log9>log77

77

blog47log27log27

Q>b,

0<tan38°<tan450=1,/.0<c<1,

c<b<a,

故选c.

【答案】

【考点】

指数式、对数式的综合比较

函数单调性的性质

【解析】

根据题意，由函数的解析式可得函数/（X）为偶函数，分析可得函数/（x）在［0,+8）上

为减函数，据此分析a,b,c结合函数的单调性分析可得答案.

【解答】

解：当¥20时，"幻=荔三—5，

函数y=ex+er在［0,+8）上为增函数，

则函数y=为减函数'

又由y=-卷在［0,+8）上为减函数，

则/⑺=/台一1|!在区间。+8）上为减函数，

由于0<21-5<408=21-6,

所以/（215）>/（4。-8）,即a>b,

利用排除法，可知只有。正确.

故选£）.

【答案】

【考点】

函数单调性的判断与证明

试卷第8页，总26页

函数单调性的性质

【解析】

【解答】

解：根据题意知，函数f(x)=［一,二4X"10,

lx2-4x,x<0,

当％>0时，/(%)=—x2—4x=—(x+27+4,

则函数f(x)在［0,+8)上单调递减，有f(X)</(0)=0.

当x<0时，/(x)=X2-4x=(x—2)2—4,

则函数f(x)在(一8,0)上单调递减，有人工)>/(0)=0.

综上可得函数f(x)在R上为减函数.

若/(2-t)>f(t),

则2—t<t,解得t>1,

即实数t的取值范围为(1,+8).

故选0.

9.

【答案】

B

【考点】

利用导数研究函数的单调性

函数单调性的性质

【解析】

令9(x)=f(x)-Inx,求出函数的单调性，结合g(4)=f(4)-In4=0,将/(eD<x

转化为(靖)<g(4),求出x的范围即可.

【解答】

解：令g(x)=/(x)-Inx,(x>0).

则g'O)=/'(x)-%

Vxf'(x)-1>0,

•••r«>p

g'(x)>o,

故g(x)在(0,+8)上单调递增，

而g(4)=/(4)-2ln2=0，

由/(e*)<x,得/'(e*)-Ine^<0,

即9(靖)<g(4),

故e*<4,解得：x<2ln2.

故选B.

10.

【答案】

C

【考点】

函数单调性的性质

类比推理

【解析】

由题意，根据所给信息将问题转化成求x的方程的形式，结合函数的单调性和区间进行

求解即可.

【解答】

解：当％>0时，存在ln(x+2)—2存x=ln(%+2)—ln(%2),

不妨令zn=ln(x+2)—ln(x2),n=x2—x-2,

所以ln(x+2)—2lnx>x2—x—2等价于m>n,

已知函数f(%)=x2-x-2在R上先递减后递增，

所以不等式转化为％+2-x2>x2-x-2,

解得一1<x<2,

因为x>0,

所以原不等式的解集为(0,2).

故选C.

二、填空题(本题共计11小题，每题3分，共计33分)

11.

【答案】

(-3,-2)U(0,2)n(3,+oo)

【考点】

函数奇偶性的性质

函数单调性的性质

函数恒成立问题

【解析】

由已知可得当x>0时，不等式的解集，根据函数的奇偶性可将当x>0时,

一/(一切>一/(一£)的解集为(2,3),令可得x<0的解集，从而可得结论.

【解答】

解：・：当x>0时，不等式f(x)>/"(!)的解集为(2,3),

不等式/'(x)<的解集为(0,2)U(3,+8),

•••/(x)是定义域为R的奇函数，

-1•/(-x)=-/(%)>

当x>0时，—f(—x)>—/(—£)的解集为(2,3),

令t=—x<0,则—/(t)>-/@)的解集为(一3,—2)

/(%)</(})的解集为(一3,-2)U(0,2)n(3,+8).

故答案为：(—3,-2)U(0,2)0(3,4-oo).

12.

【答案】

8

[-或2]

【考点】

函数的值域及其求法

函数单调性的性质

【解析】

试卷第10页，总26页

直接利用指数函数的单调性，求解函数的值域即可.

【解答】

解：因为a=[<l,所以/(x)=G)x—1在R上单调递减.

当xe[-1,2]时,

函数在x=2处取得最小值，

2

/(x)min=/(2)=(|)-l=-1；

函数在％=-1处取得最大值，

"Omax=/(-I)=(J-】-1=2,

所以f(x)=G)x-1在Xe[-1,2]上的值域为[一|,2].

故答案为：［一,2］.

13.

【答案】

(-8,2)

【考点】

函数的定义域及其求法

函数单调性的性质

函数奇偶性的判断

【解析】

解不等式2-%>0即可得出函数f(x)的定义域.

【解答】

对于函数/'(%)=^^，有2-x>0,解得x<2

因此，函数八x)=卷的定义域为(一8,2)

故答案为：(—8,2)

14.

【答案】

4

【考点】

函数单调性的性质

函数的值域及其求法

【解析】

利用函数的单调性，确定函数的最值，从而构造方程组，解出即可.

【解答】

解：y=2X,y=log2》在口,a］上均为增函数，

/(%)=2*+log2》在［l,a］上为增函数，

/(I)=n,’2=n,

f(a)=m,即'2a+log2a=m,

m-n=16,—n=16,

解得a=4.

故答案为：4.

15.

【答案】

U经]

\2,7.

【考点】

函数单调性的性质

分段函数的应用

【解析】

【解答】

p-2a<0,

解：因为/Xx）是在R上的减函数，所以1牌1,

\1-2a-4a

fa>l>

解得\a<2,故QG化省.

故答案为：抖

16.

【答案】

11

[8,3）

【考点】

函数单调性的性质

函数单调性的判断与证明

对数函数的单调性与特殊点

【解析】

（3Q—1<0

根据分段函数的单调性可得标a-1）X1+4a>-ax1+4a>-a,解不等式组即可

（a>0

求解.

【解答】

3a—1<0

由题意知，3Q-1）x1+4aN—Qx1+4aZ—a

a>0

（a<-

解得a、%，所以

L>o

故答案为：仁,：）

O3

17.

【答案】

试卷第12页，总26页

【考点】

分段函数的应用

函数的零点与方程根的关系

函数单调性的性质

【解析】

无

【解答】

解：当x20时，f(x)=2*+kaZ单调递增，当x<0时，/(%)=--4%+(a-3/单

调递减.

若对任意的非零实数存在唯一的非零实数小(%1*刀2)，使得/(xj=/(亚)成立，

则1+ka2=(a—37，

整理可得：(k-l)a2+6a-8=0,

则问题转化为(k-l)a2+6a-8=0有实数解.

当k=l时，a=%满足题意；

当kH1时，4=36+32(k-1)>0,

解得：

k>O

综上所述，实数k的取值范围为卜1+8).

故答案为：［一焉,+8).

18.

【答案】

(-1.D

【考点】

利用导数研究函数的单调性

函数单调性的性质

函数奇偶性的判断

奇偶性与单调性的综合

【解析】

先判定函数是偶函数，再判定x>0时，单调递增，即可解决.

【解答】

解：因为f(x)=x(2X—2-x)定义域为R,

故/(-X)=-x(2~x-2X)=f(x),

故函数是偶函数，

又因为尸(久)=2,-2-久+%•In2(2x+2-x),

当％>0时，/'(无)>0,

故f(%)在(0,+8)上单调递增，

又因为*1)=1

故2/(%)-3<。化为f(x)</(I),

即|x|<1,解得一1<x<1,

故原不等式的解集为

故答案为：(—1,1).

19.

【答案】

(-00,-3)n(l,+oo)

【考点】

函数单调性的性质

奇偶性与单调性的综合

【解析】

本题考查利用导数判断你函数单调性，涉及函数奇偶性的判断，以及理应函数性质解

不等式.

【解答】

解：因为/■(-工)=-x+sinx=-/(%),且其定义域为R,

故/(x)是奇函数；

又f'(x)=1—cosx>0,

故/(x)在R上单调递增，

故/(2x)+fQ2-3)>0,

也即f(2x)>/(3-x2),

也可得2x>3—x2.即+2x—3>0,

(3+x)(x-1)>0,

解得xe(-8,3)0(1,+8).

故答案为：(-00,-3)n(1,+co).

20.

【答案】

(e2,+oo)

【考点】

利用导数研究函数的单调性

函数单调性的性质

【解析】

由题意得存在€R,x2e(-1,+8),使得/'(xj<g(X2)成立，等价于Xi€R,x2G

(-1,+8),使得/"(Xi)min〈g(X2)max成立，利用导数研究函数/O)的单调性，可得函数

“X)的值域；利用二次函数的单调性可得g(x)值域，进而得出结论.

【解答】

解：因为存在€R,x2G(-1,+°0),使得/'(X。<g(%2)成立，

等价于3GR,X2e(一1,+8),使得f(*i)min<g(>2)max成立，

因为f'(x)=(x+l)ex,

函数f(x)在XG(一1,+8)上单调递增，在XG(一8,-1)上单调递减，

当X=-1时，函数/(X)取得极小值即最小值，

此时/'(x)min>/(-I)=-1+|+e2=e2,

而g(x)=—x2—2x—1+a=—(x+l)2+a,

可知函数仪尤)在xe(-1,+8)上单调递减，

所以g(x)<g(-l)=a,EPe2<a,

因此实数a的取值范围为(e2,+oo),

故答案为：(e2,+a>).

21.

【答案】

试卷第14页，总26页

卜于V

【考点】

分段函数的应用

二次函数的性质

函数单调性的性质

函数的图象

一元二次不等式的解法

【解析】

无

【解答】

解:作出/(%)的图象,

/Q)是偶函数且在(一8,-1)和(0,1)上单调递减，在(一1,0)和(1,+8)上单调递增,

令g(a)=2f(a)+/(2a),

则g(-a)=2/(-a)+/(-2a)

=2/(a)+/(2a)=g(a),

即g(a)是偶函数，故只需考虑当a>0时的情形.

当a>0时，g(a)=2(a2—2a)+[(2a)2—2■(2a)]

=6a2-8a=6a(a-g)<0,

得0<a<w，

所以，当a<0时，—]<a<0也符合题意，

又因为当a=0时，g(a)=0不符合题意，

所以，综上所述a的取值范围是(―/0)U(0t).

故答案为：(一9，0)u(o,3)一

三、解答题(本题共计10小题，每题10分，共计100分)

22.

【答案】

解：(1)函数f(x)在上单调递增；证明如下：

设任意一1<%<%2<1，

m||r/xx_2%i2X_2/好+2右一2不混一20_2(X-X)(1-^1X),

贝V(/v)-f(X2)一而一而2――滋+1)出+1)--(呼1+12)(丁+1)2<n°'

故函数f(X)在上单调递增；

(2)由(1)的结论,/(x)在区间［一1,1］上单调递增，则/(x)的最大值f(l)=1,最小值

/(-D=-l.

【考点】

函数单调性的判断与证明

函数单调性的性质

【解析】

(1)利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步

骤完成即可；

(2)由(1)根据函数的单调性即可解答.

【解答】

解：(1)函数/(%)在上单调递增；证明如下：

设任意一1</<小<1，

皿1_2心2Xz_2久工。+2--2工2督-2-_2旧』)。一"2),n

'/(1)/(2)-x2+1x2+1~(xj+l)(xj+l)—(x^+l)(x1+l)'

故函数〃X)在上单调递增；

(2)由(1)的结论，/(£)在区间［一1,1］上单调递增，则f(x)的最大值/(1)=1,最小值

/(-D=-l.

23.

【答案】

解：(1)当x<0时，/(x)=/(-X)=(-x)2+2-(-x)-3=%2-2%-3,

所以/(£)=『：+华一产亍？

3—2%—3,%<0.

(2)当％>0时，f(x)=%24-2x—3=(%4-l)2—4,

因此当工30时，该函数单调递增，

因为/(%)是定义在R上的偶函数，且当久N0时，该函数单调递增，所以由

f(m+1)Vf(2m-1)=/(|m+1|)</(|2m—1|)=>|m+1|<\2m-1|

因此(m+l)2<(2m—I)2=>m2—2m>0=>m>2或m<0,

所以实数m的取值范围是{m|?n<0或m>2}.

【考点】

分段函数的解析式求法及其图象的作法

奇偶性与单调性的综合

函数单调性的性质

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：(1)当％<。时，/(%)=/(—x)=(―%)2+2-(—%)-3=%2—2%—3,

X2+2%—3,%>0,

所以/(%)=

.%2—2x—3,x<0.

(2)当x>0时，/(%)=%24-2%-3=(x+I)2-4,

因此当％N0时，该函数单调递增，

因为/W是定义在R上的偶函数，且当工20时，该函数单调递增，所以由

f(m+1)</(2m-1)=>/(|m+1|)</(|2m-1|)=>|m4-1|<\2m-1|

试卷第16页，总26页

因此(m+l)2<(2m—l)2=>m2—2m>0=>m>2或m<0,

所以实数m的取值范围是｛m|m<0或m>2｝.

24.

【答案】

(1)证明：任取%1，%2€(-2,2),且X1<%2,

所以f(%1)-f(%2)=标匕一___方_%下2(%2-％1)(342-4)

(*+4)出+4)'

因为-2V<外V2,

所以次—>0，—4<0,

则f@1)-f(%2)<0,即f(*i)<f(%2),

所以函数/(%)在(-2,2)上为增函数.

(2)解：由⑴知,/(x)在(一2,2)上单调递增，又f(a+2)>f(2a—1),

—2<Q+2<2，

所以｛-2<2a-1<2,

、Q+2>2Q—1,

-4<a<0,

解得-g<a<I，

、a<3,

即——<a<0,

所以a的取值范围是(心,0).

【考点】

函数单调性的判断与证明

函数单调性的性质

【解析】

(2)根据函数的单调性的定义，采用作差法判断—2<X]<打<2时/(力)-/(女)的符

号，即可证明.

(3)根据(2)中的结论得到关于a的不等式组，求解即可.

【解答】

(1)证明：任取右，x26(-2,2),且与<%2，

所以八/。1)一)f\(小LJ)=要xf+4一x关f+4=((x力j+4叱)(^穴2+4)).

因为一2V4V%2V2,

所以第2—>0，%iX2—4<0,

则/。1)一f(打)<0,即fQi)</(X2),

所以函数/(%)在(-2,2)上为增函数.

⑵解:由(1)知,/(x)在(一2,2)上单调递增，又f(a+2)>/(2Q-1),

-2Va+2<2,

-2<2a-l<2,

(a+2>2Q—1/

-4<a<0,

-I<a<I，

{a<3,

即-:<a<0,

所以a的取值范围是(一：,0).

25.

【答案】

(1)证明:设任意与户2€R，且“1<%2，

则f。1)-f(*2)=3X1+2-(3X2+2)=3(X1-%2)-

因为％1<刀2，所以与一支2<0，所以/(%1)一/(%2)<。，

所以/(力)</。2)，

所以函数f(X)在R上是增函数.

(2)解：因为f(x)在R上是增函数，

所以函数在［-3,-2］上的最大值为

f(—2)=—2x3+2=-4,

最小值为f(-3)=-3x3+2=-7.

【考点】

函数单调性的判断与证明

函数单调性的性质

【解析】

(1)利用单调性的定义证明.

(2)利用函数的单调性求函数的最值.

【解答】

(1)证明：设任意力,％2GR,且<x21

则f(/)-f(*2)=3xj+2-(3X2+2)=3(%-x2)-

因为%1<%2，所以—所以/(%〈一/"(%2)<。，

所以/(/)</(乂2)，

所以函数/(X)在R上是增函数.

(2)解：因为在R上是增函数，

所以函数在［-3,-2］上的最大值为

/(-2)=-2x3+2=-4,

最小值为/(-3)=-3x3+2=-7.

26.

【答案】

解：(1)根据题意，当％<0时，-%>0,

则/(_%)=(-x)2+(-X)=x2-X,

又由f(x)是R的奇函数，

则f(x)=-/(-X)=-X2+X,

故/'(x)=—X2+x(x<0).

2

(2)当x>0时，f(x)=/+%=(4+J-i,

则/(x)=［0,+8)上为增函数.

又由f(x)是R上的奇函数，

则/(x)在(-8,0］上也为增函数.

由于函数f(x)在x=0处连续，

故/'(x)在R上为增函数.

试卷第18页，总26页

由/'(1+Q)+/(2a)>0可得/(I+Q)>-/(2a)=/(-2a),

a+1>—2,0.9

解得a>—

因此，实数a的取值范围是(一5,+8).

【考点】

函数奇偶性的性质

函数解析式的求解及常用方法

函数单调性的性质

不等式恒成立问题

【解析】

(1)根据题意，当％<0时，-x>0,求出/(-制的表达式，结合函数的奇偶性/(x)的解

析式，即可得答案；

(2)根据题意，分析函数/(%))在R上的单调性，则原不等式等价+/(l+a)>f(-2a),

进而可得a+l>-2a,解可得a的取值范围，即可得答案.

【解答】

解：(1)根据题意，当x<0时，-x>0,

则/(_%)=(-尤)2+(-X)=X2-X,

又由f(x)是R的奇函数，

则/(x)-=-X2+X,

故/(x)=—X2+x(x<0).

2

(2)当x20时，/(%)=x2+x=+0-；，

则/(x)=[0,+8)上为增函数.

又由f(x)是R上的奇函数，

则/(x)在(一8,0]上也为增函数.

由于函数/'(X)在x=0处连续，

故/(x)在R上为增函数.

由/(I+a)+/(2a)>0可得/'(1+a)>-/(2a)=/(—2a),

a+1>—2a,

解得a>—

因此，实数a的取值范围是(一+8).

27.

【答案】

解：(1)由/'(x)=六+租的定义域为R,

可得/'(0)=：+m=0,可得m=—

经验证，771=-：符合题意.

(2)vy=2x为增函数，.♦.y=2,+1为增函数，且尹+1>1,

所以y=六为减函数，可得/Q)=六一]在R上为减函数.

(3)由/一切+汽_2)<o,可得f(/-x)<-f(-2),

即/(--x)</(2),

由/(x)=六一；在R上为减函数，

所以/—万>2,即%—2>0,所以x<—1或x>2,

故解集为(-8,-1)U(2,4-00).

【考点】

函数奇偶性的性质

函数单调性的判断与证明

函数单调性的性质

【解析】

(1)根据函数奇偶性的性质，利用f(0)=0进行求解即可.

(2)根据函数单调的性质进行判断即可.

(3)根据函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可.

【解答】

解：(1)由f(x)=六+巾的定义域为R,

可得/(0)=|+m=0,可得m=—

经验证，符合题意.

m=/(%)=---

2>、'2X+12

(2)vy=2*为增函数，.♦.y=2、+1为增函数，且2、+1>1,

所以y=六为减函数，可得/(切=六-:在R上为减函数.

(3)由/(/-x)+/(-2)<0,可得f(/-%)<—f(—2),

即/(/一为</2),

由/(x)=六一；在R上为减函数，

所以％2—%>2,即/—%—2>0,所以％<—1或%>2,

故解集为(—8,-1)u(2,4-00).

28.

【答案】

x

解：(I)：/(%)=a-l(a>0,且QHI),

/(I)—f(2)=(a—1)—(a2-1)=a—a2.

由Q_Q2=：,解得Q=[,

a的值为;.

(2)不等式f(x)<0,即-l<0,

试卷第20页，总26页

二()<】，即()<G)°

y=(；)在(一8,+8)上单调递减，.•.X>0.

不等式/(x)<0的解集为(0,+8).

【考点】

函数的求值

函数解析式的求解及常用方法

函数单调性的性质

其他不等式的解法

【解析】

(1)---/(x)=a'-1(a>0,且a¥l),

/(I)—/(2)=(a—1)—(a2-1)=a—a2.

由a-a2=L解得a=；.

42

a的值为

(2)不等式f(x)<0,BP(|)Z-l<0,(|)%<1,

咐〈跳

,/y=g)在(一e,+8)上单调递减.二.x>0,

・..不等式"%)VO的解集为(0,+8).

【解答】

x

解：(1)7/(%)=a-l(a>0,且QHI),

/./(I)—/⑵=(a—1)—(a2—1)=a—a2.

由Q_Q2=；,解得Q=：,

42

.1.a的值为点

(2)不等式f(x)<0,即-l<0,

二()<】，即£<G)°

,y=G)在(-8,+8)上单调递减，.%>o,

・,.不等式f(x)V0的解集为(0,+8).

29.

【答案】

解：(1)由题意得f(%)=/-%

①当Q<0时，/'(%)>00且/(%)=0,

所以/(%)在R上为增函数；

②当a>0时，令/-a=0,解得％=±VH,

当%>或％<—历时，/(%)>0,

当—伤<x<时，f'(x)<0,

所以/(x)在(一8,-VH),(VH,+8)上为增函数,

在上为减函数；

综上，当aW0时，/(x)在R上为增函数；

当a>0时，/(X)在(一8,—北)，(6,+8)上为增函数,

在(-VH,G)上为减函数.

(2)因为/(x)在R上是增函数，

所以r(£)=3尤2_a20在R上恒成立，

HPa<x2对xGR恒成立.

因为/>0,

所以只需a<0,

即实数a的取值范围为(-8,0].

【考点】

利用导数研究函数的单调性

函数恒成立问题

函数单调性的性质

【解析】

本题考查不等式的恒成立与有解问题.

【解答】

解：(1)由题意得/'(x)="-a,

①当a<0时，/'(%)>00且/'(x)=0,

所以f(x)在R上为增函数；

②当a>0时，令/—a=0,解得x=±VH,

当x>逅或x<一介时，f'(x)>0,

当—历<x<时，f'(x)<0,

所以/(x)在(一8,-迎)，(VH,+8)上为增函数，

在(-VH,上为减函数；

综上，当a<0时，/(x)在R上为增函数；

当a>0时，f(x)在(-8,—VH),(VH,+8)上为增函数,

在(-正,伤)上为减函数.

(2)因为/(x)在R上是增函数，

所以尸(%)=3x2-a>0在R上恒成立，

即aW/对x€R恒成立.

因为—>0,

所以只需a<0,

即实数a的取值范围为(-8,0].

30.

【答案】

(1

,x<1,

(4r)2

解：(1)当a=-3时，/(x)=

21

(|x-l|+3),x>1.

G+2)2

单调递增区间是(一8,1],单调递减区间是口,+8).

(2)当％=0时，不等式/(%)>k/成立；

当％H0时，不等式/(%)>k/等价于k<1

[x(|x-l|-a)]2'

试卷第22页，总26页

设3)=x(|x-l|-a)=~a+am<x<2,

一(j.十a)\,L<%sz,

①当a〈-l时，h(x)在(0,2］上单调递增，

所以0</i(x)W/i(2),

即0<h(x)<2(1—a),

故々〈万

4(l-a)2

②当-l<a<0时，/i(x)在(0,与斗上单调递增，在［等,1］上单调递减，在口,2］上单

调递增.

因为八⑵=2-2a>

所以0<九(%)<九(2),

即0<九(久)<2(1—Q),

故k~4(l-a)2'

③当0Wa<l时，九(x)在(0,与斗上单调递增，在［辞,1一可上单调递减，

在上单调递减，在［1,1+a)上单调递增，在(1+a,2］上单调递增.

所以八(1)</i(x)<0^{/1(2),/1(詈)}且九3)丰0,

因为九(2)=2-2a>甘k=八(与3，

所以-Q<ln(x)<2-2a且九(%)W0,

当0工QV|时，

因为|2-2a|>|-a|,

所以

4(1一a)?

当|<a<1时，

因为|2—2a|<|-a|,

所以k<白；

az

综上所述，当0WQ<；时，fc<—

34(1一。)，

当gWa<1时，fc<

【考点】

函数的单调性及单调区间

函数单调性的性质

函数恒成立问题

【解析】

【解答】

=,，无<1，

解：⑴当a=-3时，加)=鬲旃

单调递增区间是(-8,1］,单调递减区间是［1,+8).

(2)当％=0时，不等式/(%)NZe/成立；

当％H0时，不等式/(久)>/cd等价于々<1

[x(|x-l|-a)]2,

、八、{-x\x-(1-a)],0<x<1

设心)=x(|x-l|-a)=[%([x_(1+冽,1<x<2(

①当aW-l时，似x)在(0,2]上单调递增，

所以0<Mx)v无(2)，

即0</i(x)<2(1—a),

i

故k<