函数的概念及其表示教学设计

函数的概念及其表示〃教学设计【教学分析】

一、［学习目标］

1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合

语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念；

2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用；

3.了解构成函数的三要素及同一个函数。

二、【评价目标】

1.通过对函数概念的理解，提升数学抽象素养；使学生懂得

一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物

主义观点

2.通过求简单函数的定义域，提升数学运算素养.

3.学习重难点：理解应用函数概念。

三、【教学重难点】

（一）教学重点：函数概念，明确对应法则、定义域和值域。

（二）教学难点：应用函数的概念判断函数关系。

四、【教法学法】

强调函数概念及其表示所蕴含的归纳思想,集合与对应观点

下的函数思想,把发展数学抽象,直观想象素养作为重要教

学目标,以具有内在逻辑的问题串去分解教学目标，并以此

生成教学过程.在教学实践的基础上进行了教学反思,并从

数学内容的层次划分,教学目标的制订以及教学实施过程等

方面进行了点评,指出了数学内容的层次划分与教学目标的

制订之间的关系,并结合教学过程阐明了数学概念〃以学生

熟悉的生活情境,数学情境为载体,引导学生用集合的语言

对已学内容进行再抽象,并以〃问题串〃的形式指导学生阅读

教材,在阅读教材的过程中理解集合语言.〃问题串〃的设计

是整节课的教学主线,力求使所提出的问题对学生理解集合

概念,领悟集合的基本思想,掌握用集合的语言刻画有关事

物等发挥作用.在教学实践基础上,对教学设计与过程进行

了反思,并从人教A版新教材与原来教材在〃集合〃内容上的

变化出发,结合课堂教学的流程,对教学的过程性,数学抽象

的过程和数学语言的转化以及数学学习的〃初高中衔接〃等

几个方面进行了点评。

为了实现以上的教学目标，突出重点，突破难点，体现以

教师为主导、学生为主体的教学思想.采用的教学方法如下：

在教学中以问题为核心构建课堂教学，采用问题探究教学法、

启发教学法和多媒体辅助教学等方法；在教学中重视学生的

主体参与，引导学生自主学习、独立思考、合作交流、积极

探究等多种学习方式来达成教学目标。

五、【课时安排】.

这是2019版普通高中教科书数学必修一（人教B版）第二

章第1单元第1节的教学内容，本节内容占2课时.

六、【教学准备】课本，笔记本，双色笔.

七【教学过程设计】

3.1函数的概念与性质

《3.1.1函数及其表示方法》第一课时课前预习案

请同学们认真预习，思考一下问题：

1.初中所学的函数的概念是什么？请你描述自变量X与因变量y之间的依赖关

系？

2.试一试，完成下表:

解析式图像自变量范围因变量范围

一次函数

反比例函数

二次函数

3.某物体从高度为44.1m的空中自由下落，物体下落的距离s（m）与所用时间t（s）

的平方成正比，这个规律用数学式子可以描述为其中g取9.8m/s2.

问题1时间大和物体下落的距离s满足什么条件？

问题2时间MOWtW3）确定后，下落的距离s确定吗？

问题3下落后的某一时刻能同时对应两个距离吗？

4.请你阅读学习课本P84-P90后思考以下问题:

例：新中国成立后共进行了六次人口普查

好奇心与年龄的变化

各次普查得到的人口数据如下表：

14)*年份19531小198219902000

；

3Q•-总人口数（亿）5.96.91111.312.713.4

2111()fl12131415x

函数的概念（图一）函数的表示（图二）

问题1：图一中青少年的好奇心与其年龄，图二中每次人口普查的年份与其对应

的总人口数是否存在一一对应的关系呢？如何刻画这些变量间的对应关系呢？

问题2:以上四个举例中的对应关系都是函数关系，由此推知函数关系是两个数

集之间的关系，这两个数集的元素是怎样对应的？

4.［数学文化］——了解数学文化的发展与应用

1.早期函数概念一一几何观念下的函数

十七世纪伽利略(G.Galileo,意，1564〜1642)在《两门新科学》一书中，几乎

全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关

系.

1673年，德国数学家莱布尼茨首次使用“function"(函数)表示“幕”.

莱布尼茨

2.十八世纪函数概念一一代数观念下的函数

1718年约翰•贝努利(BernoulliJohann,瑞，1667〜1748)在莱布尼兹函数概

念的基础上对函数概念进行了定义；1755年，瑞士数学家欧拉将函数定义为“如

果某些变量，以一种方式依赖于另一些变量，我们将前面的变量称为后面变量的

欧拉

函数.”

3.十九世纪函数概念一一对应关系下的函数

1837年德国数学家狄利克雷提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确

定的值与之对应，则y是x的函数.”

1930年新的现代函数定义为，若对集合."中的任意元素x,总有集合N中的确定

的元素y与之对应，则称在集合物上定义一个函数，记为y=f(x).元素x称为

自变元，元素y称为因变元.狄利克雷

19世纪70年代以后，随着集合概念的出现，函数概念又进而用更加严谨的集合

和对应语言表述，言简意赅地讲述了数学中一个最重要的概念一一函数.

数学是人类社会进步的产物，与人类文明与人类文化密切联系!

一个人不识字可以生活，但是若不识数，就很难生活!

函数的概念课第一课时课内探究案

学习目标素养目标

1.在初中用变量之间的依赖关系描述函

1.通过对函数概念的理解，提升数学抽象

数的基础上，用集合语言和对应关系刻画

素养;使学生懂得一切事物都是在不断变

函数，建立完整的函数概念；

化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义

2.体会集合语言和对应关系在刻画函数

观点

概念中的作用；

2.通过求简单函数的定义域，提升数学运

3.了解构成函数的三要素及同一个函数

算素养.

的概念，能求简单函数的定义域和值域.

3.学习重难点：理解应用函数概念

一、函数的概念学好数学概念，理解非常重要

⑴定义：一般地，给定两个非空实数集A与个以及对应关系了,如果对于集合

A中的每一个实数x,在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称/为定

义在集合A上的一个函数，记作y=«x),xdA,其中x称为自变量，y称为因变

量，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集

合｛>£用XGA｝称为函数的值域.

函数的这种定义强调的是“对应关系”，对应关系也可用其他小写英文字母如g,

h等表示.

(2)函数的三要素：定义域、对应关系、值域.

问题1：“集合A中的每一个实数x,在集合8中都有唯一确定的实数y与x对

应''，如何理解“唯一确定”？

问题2：图中给出的四个对应关系，其中构成函数的是()

①②③④

A.①②B.①④C.①②④D.③④

问题3：在函数的定义中，集合8与函数的值域的关系是什么？

问题4：如何理解函数符号>=〃)”？

问题5：次x）=3x+2与g⑺=3f+2是不是同一个函数？

当堂自测：

1.函数的定义域和值域一定是无限集合.（）

2.根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.（）

3..在函数y=7（x）中，对于不同的x,y也不同.（）

4..在函数的定义中，集合8是函数的值域.（）

题型一函数关系的判断

验证对应关系下，集合M中x的任意性，集合N中）'的存在性、唯一性

【例1】（1）设M={x|0WxW2},N={y|O0W2},给出下列四个图形，其中能

表示从集合M到集合N的函数关系的有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

（2）已知集合4={邓）忘*W8},集合B={x|0WxW4},则下列对应关系中，不能看

作是从A到3的函数关系的是（）

A/：尤B/：x—y=；xC.f：D/：x-~y=x

【训练1】（1）若函数y=/（x）的定义域为M={x|-2WxW2},值域为N={y|OW

>W2},则函数y=/（x）的图像可能是（)

（2）已知集合”={-1,1,2,4},N={1,2,4）,给出下列四个对应关系：

①y=f,②y=x+l,③y=x—l,④y=|x|,其中能构成从M到N的函数是（）

二函数的概念学好数学概念，理解非常重要

（3）同一个函数：如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同（即

对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等)，则称这两个函数

表达式表示就是同一个函数.

问题1.在函数的概念中，如果函数y=/a)的定义域与对应关系确定，那么函数的

值域确定吗？

问题2.如果函数y=Ax)的定义域、值域确定，那么对应关系确定吗？

(4)函数定义域约定及求定义域的依据

①在表示函数时，如果不会产生歧义，函数的定义域通常省略不写,此时就约定：

函数的定义域就是使得这个函数有意义的所有实数组成的集合.

②求函数定义域常用的依据：a.分式中分母不能为委；

b.二次根式中的被开方数要大于或等于零.

课堂互动题型剖析

题型二求函数的定义域寻找限制条件，再列不等式(组)求定义域

【例2】求下列函数的定义域：

2

⑴产(X-1)+、//干2；⑵厂(xx++11)+后I---•

【训练2】(1)函数次x)=［2_］的定义域为()

c］拈Wx<1或x>1j-D.1x|—1WxW/或x>“

(2)设全集为R,函数人*)=产^的定义域为M,则CRM为()

A.{x\x>2}B.{x|x<2}

C.{小<2}D.{小22}

题型三同一个函数的判定化简解析式时，必须注意等价变形

【例3】(1)下列各组函数:

①Ax)=-—gX(x)=x-l；②Ax)=ylVX，g(x)=，Xp

③*x)=、(x+3)2,g(x)=x+3；(4)y(JC)=Jc+1,g(x)=x+x°；

⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系/W=80f(0WfW5)与一次函数g(x)=

80x(0WxW5).其中表示同一个函数的是(填序号).

【训练3】下列各组函数是同一个函数的是()

A.y=1,y=~B.y=1x—2•出+2,y=-\7x2—4

C.y=|x|,y=(g)2D.y=x,y=y[^

题型四求函数值或函数的值域

方向1求函数的值求值时，明确函数解析式，代入求值

【例4—1】已知/(x)=]R,且xW—1),g(x)=f+2(xCR).

(1)求/2)，g(2)的值；(2)求/[g(3)]的值.

方向2判定对象与值域的关系

【例4-2]已知函数,大外=4耳的值域为S,试判断一地，仍是否是S中

的元素.

当堂检测

1.若A={x|0W无W2},B={y|lWyW2},下列图形中能表示以A为定义域，B为

值域的函数的是()

2.下表表示函数y=/U)的x与)，的所有对应值，则此函数的定义域为()

X-101

於)235

A.{-1,0,1}B.{2,3,5}

C.{x|—1«1}D.{x|2«5}

3.已知函数yu)=*则d=.

4.已知四组函数：

@fix)=x,g(x)=(G)2；②穴x)=|x|,g(x)="？；③*〃)=2"—1,g(〃)=2〃+l(〃

GN)；刨X)=%2—2X—1,g⑺=尸一21一1.

其中是同一个函数的是(填序号).

5.求出函数g(x)=/—2的值域A,判断一5和7是否是A中的

第一课时函数的概念课后巩固案

基础达标

一'选择题

1.设兀^二%2是定义在A上值域为8的函数，如果集合8={1},那么集合A不可

能是（）

A.{1}B.{—1}C.{-1,1}D.{-1,0}

2.下列各组函数为同一个函数的是（）

A<x）=x,g（x）=V?B，Xx）=l,g（x）=（x—I）。

~（亚）2x/19

C；/（x）=*，g（x）=（也）2口.》）=r+3'S（x）=x—3

3.四个函数：①y=x+l；②y=f；③y=%2—1；④?=:中定义域相同的函数有

（）

A.①②③B.①②

C.②③D.②③④

4.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“李

生函数”.函数解析式为y=2x2—1,值域为{1,7}的“挛生函数”共有（）

A.10个B.9个C.8个D.4个

二、填空题

2x

5.若/x）=f+2,则火D=-

6.已知函数/x）=、x—3,若/（a）=3,则实数a=.

三'解答题

x~\~1

7.已知函数加）=壬.⑴求旭）；⑵求加U）］.

能力提升

8.已知函数/%）=4不+占.（1）求函数的定义域；（2）求八-4）,（|）的值.

9.已知函数/U）对任意实数X，y都有/（孙）=Ax）+Ay）成立.

⑴求火0）和川）的直（2）若y（2）=a,次3）=仇a,“匀为常数），求式36）的值.

函数的概念及其表示学情分析

在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对

应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在

刻画函数概念中的作用。

理解感悟函数概念是一个难点，所以〃集合的概念〃以学生熟悉的生

活情境，数学情境为载体，引导学生用集合的语言对已学内容进行再

抽象，并以〃问题串〃的形式指导学生阅读教材,在阅读教材的过程中

理解集合语言.〃问题串〃的设计是整节课的教学主线，力求使所提出

的问题对学生理解集合概念，领悟集合的基本思想，掌握用集合的语

言刻画有关事物等发挥作用。

在教学实践基础上，对教学设计与过程进行了反思，并从人教A版

新教材与原来教材在〃集合〃内容上的变化出发，结合课堂教学的流程,

对教学的过程性,数学抽象的过程和数学语言的转化以及数学学习的

〃初高中衔接〃等几个方面进行了点评。

课后反思

1、收集和阅读函数的形成和发展资料，论述函数发展的过程，主要

人物、重要结果及其对人类文明的贡献，能激起学生学习的热情和浓

厚兴趣。

2、基于对应关系的函数概念，感悟函数概念进一步抽象，逐步使用

符号语言所以是学生学习中的一个难点,从学生熟知的简单函数和函

数图像入手多角度、多层次、多实例、多问题、多讨论剖析函数概念

对学生理解函数有很大帮助。

3、理解函数需要后期及时的巩固，需要继续研究函数的图像函数的

性质等再继续理解函数的概念，所以应该要求学生记住函数的概念。

函数概念教材分析

函数是现代数学最基本的概念,是描述客观世界中变量关系和规律的

最基本的数学语言和工具，在解决实际问题中发挥重要作用。贯穿高

中数学课程的主线。

内容要求:函数概念与性质，塞函数、指数函数、对数函数，三角函数，

函数应用。

本单元的学习，可以帮助学生建立完整的函数概念，不仅把函数理解

为刻画变量之间的依赖关系的数学语言和工具,也把函数理解为实数

集合之间的对应关系；能用代数运算和函数图像揭示函数的主要性质;

在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题。

本节课强调函数概念及其表示所蕴含的归纳思想，集合与对应观点下

的函数思想，把发展数学抽象,直观想象素养作为重要教学目标，以具

有内在逻辑的问题串去分解教学目标，并以此生成教学过程.从数学内

容的层次划分，教学目标的制订以及教学实施过程等方面进行了点评,

指出了数学内容的层次划分与教学目标的制订之间的关系，并结合教

学过程阐明了数学概念教学，培养数学思想方法和发展数学核心素养

的内在联系。

当堂检测

1.若A={x|0WxW2},B={y}l^y^2},下列图形中能表示以A为定义域，B为

值域的函数的是()

2.下表表示函数y=/U)的x与)，的所有对应值，则此函数的定义域为()

X-101

於)235

A.{-1,0,1}B.{2,3,5}

C.{x|—1«1}D.{x|2«5}

3.已知函数yu)=*则d=.

4.已知四组函数：

@fix)=x,g(x)=(G)2；②穴x)=|x|,g(x)="？；③*〃)=2"—1,g(〃)=2〃+l(〃

GN)；刨X)=%2—2X—1,g⑺=尸一21一1.

其中是同一个函数的是(填序号).

5.求出函数g(x)=/—2的值域A,判断一5和7是否是A中的

第一课时函数的概念

基础达标

一'选择题

1.设兀^二%2是定义在A上值域为8的函数，如果集合8={1},那么集合A不可

能是（）

A.{1}B.{—1}C.{-1,1}D.{-1,0}

2.下列各组函数为同一个函数的是（）

A<x）=x,g（x）=V?B，Xx）=l,g（x）=（x—I）。

~（亚）2