函数与导数解答题-2022年新高考数学模拟题分项汇编(第四期)(解析版)

专题15函数与导数解答题

1.(2021•河北衡水中学高三月考)已知：

(1)若在上单调递增，求实数，〃的取值范围;

(2)若，试分析，的根的个数.

【答案】

(1)

(2)无实根

【解析】

(1)

由于在上递增得：在上恒成立，

即在上恒成立

令,，

则，

故在上递减，于是，

故；

(2)),故在上递增，

又,，

故唯一，使得在上递减，在上递增.

故且

故，

令，

则

故在上递减

当时，由递减知，

故，

即，

从而有在上恒成立.

故时，无实根.

2.(2021•河北唐山市第十中学高三期中)若.

(1)当.时，讨论函数的单调性；

(2)若，且有两个极值点，，证明.

【答案】

(1)答案见解析

(2)证明见解析

【解析】

(1)当时，

♦

令，或，

当时，函数在上单调递增，在上单调递减

在上单调递增：

当时，，故函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递增，在上单调递减在单调递增;

(2)证明：当时，.

•••函数有两个极值点，，方程有两个根，

且，解得，

由题意得

令，

则，，在上单调递减，，，

3.(2021•福建宁德一中高三期中)已知函数.

(1)求函数在上的最小值；

(2)证明：当时，.

【答案】

(1)当时，；当时，；当时，.

(2)见详解

【解析】

(1)由，得,，

令，得，即，因此函数在上单调递减，在上单调递增.

①当，即时，函数在上单调递减，因此；

②当时，函数在上单调递增，因此；

③当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，因此.

综上所述，当时,；当时，；当时，.

(2)证明：设，，则，易得函数在上单调递减，在上单调递增，因此，故恒成立.

要证，只需证，

因为，所以，

故只需证(因时，左边小于右边，所以可以带等号)，即.

令，则，易得函数在上单调递减，在上单调递增，因此，故.

因此当时，.

4.(2021•福建省龙岩第一中学高三月考)设函数().

(1)求函数的单调区间；

(2)若有两个零点，，求的取值范围，并证明：.

【答案】

(1)当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增

(2)证明见解析

【解析】

((1)由，，可得，.

当时，，所以在上单调递增；

当时，令，得，令，得，

所以在单调递减，在单调递增；

(2)证明：(2)因为函数有两个零点，由(1)得，

此时的递增区间为，递减区间为，有极小值.

所以，可得.所以.

由(1)可得的极小值点为，则不妨设.

设，，

可得，,

所以在上单调递增，所以，

即，则，，

所以当时，，且.

因为当时，单调递增，所以，即.

设，，则，则，即.

所以，所以.

设，贝IJ,所以在上单调递减，

所以，所以，即

综上，.

5.(2021•福建省福州外国语学校高三月考)已知函数，a^R

(1)当”=1时，求曲线)[x)在点(0,犬0))处的切线的方程

(2)若曲线尸/(x)与x轴有且只有一个交点，求”的取值范围.

【答案】

(1)

(2)或

【解析】

(1)当时，，，

••,

曲线y7'(x)在点(0,寅0))处的切线的方程为.

(2)由得，，

当时，，函数在R上单调递增，

此时，

所以当时，曲线尸f(x)与x轴有且只有一个交点；

当时，令得，，

二单调递增，单调递减，

..•当时，函数有极大值，

若曲线产与x轴有且只有一个交点，

则，解得，

综上所述，当或时，曲线月"(X)与X轴有且只有一个交点.

6.(2021•福建三明一中高三月考)已知函数，其中为奇函数，为偶函数.

(1)求与的解析式；

(2)当时，有解，求实数的取值范围.

【答案】

(1);

(2).

【解析】

(1)因为，①

所以，

又因为为奇函数，为偶函数，所以，，

所以，②

联立①②得，解得.

(2)

有解，即有解，

令，

设，则,

因为，且在上为单调递增函数，所以，

所以，当且仅当，即时取等号，所以，

故实数的取值范围为.

7.(2021・辽宁实验中学高三期中)已知函数.

(1)若在处取得极值，求的值及函数的单调区间；

(2)请在下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择.如果多写按第一个计分.

①若恒成立，求的取值范围.

②若仅有两个零点，求的取值范围.

【答案】

(1)单调递减区间为，单调递增区间为.

(2)选择①时，；选择②时，

【解析】

(1)定义域为，，在处取得极值，贝I],所以，此时，可以看出是个增函数，且，所以当时，，单调递减，当

时，，单调递增.故的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2）①选择若恒成立，

若恒成立，即，整理为，即

设函数，则上式为：

因为恒成立，所以单调递增，所以

所以，令，.，当时，，当时，，故在处取得极大值，，故1,解得:

故当时，恒成立.

②选择若仅有两个零点，

即有两个根，整理为，即

设函数，则上式为：

因为恒成立，所以单调递增，所以=

所以只需有两个根，令，.

,当时，，当时，，故在处取得极大值,，

要想有两个根，只需，解得：，所以的取值范围为

8.（2021.山东德州一中高三期中）已知函数是奇函数.

（1）若，求的取值范围；

（2）若的解集为，求的值.

【答案】

（1）;

（2）4.

【解析】

（1）是奇函数，

则，即，

即，则，

得，解得：或，

当时，，此时无意义，不符合题意；

当时，是奇函数，符合题意；

所以，

若,则，即，解得：，

所以时，的取值范围为.

(2)由于，解得：，

所以的定义域为，

若，即，得，

变形得,即，

则可得方程的两根分别为和，

由题可知的解集为，

即方程的两个根为和，

所以得，，解得:，

所以.

9.(2021.山东师范大学附中高三月考)设函数,，其中为实数.

(1)若在处的切线方程为，求实数的值；

(2)若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论.

【答案】

(1)

(2)2,答案见解析

【解析】

(1)由题，因为切线方程为，即切线斜率为，

,,••

(2)由题在上恒成立，

二在上恒成立，二，

由得，

令，则的零点个数等价于和的交点个数，

贝”，

当时，，递增，

当时，，递减，

，时，最大值为，

又时，；时，，

据此作出的大致图象，

由图知：当或时，的零点有1个；当时，的零点有2个.

10.（2021・山东师范大学附中高三月考）已知函数.

（1）若，求的取值范围；

（2）若是以为周期的奇函数，且当时，有，求函数的解析式.

【答案】

（1）

（2）

【解析】

（1）因为，所以

所以，可得.

由得.

因为，所以，解得：.

由可得:，所以的取值范围为

（2）当时，有，

当时，，

因此.

11.（2021.湖北石首市第一中学高三月考）已知函数且.

（1）判断并证明f（x）的奇偶性；

（2）求满足/（x）的实数的取值范围.

【答案】

（1）证明见解析

（2）当时x的取值范围是；当时x的取值范围是.

【解析】

（1）根据题意.，

则有，解可得,

则函数的定义域为，

又由,

则是奇函数；

（2）由得

①当时，，解得；

②当时，，解得；

当时x的取值范围是；

当时x的取值范围是.

12.（2021・湖北武汉二中高三期中）已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，判断函数的零点个数.

【答案】

（1）答案见解析

（2）两个

【解析】

（1）

函数的定义域为.，

当时，八当且仅当时，，

在单调递增；

当时，或，

，在，单调递增，在单调递减；

当时，或,.

在，单调递增，在单调递减；

综上所述：当时，在单调递增；

当时，在，单调递增，在单调递减；

当时，在，单调递增，在单调递减；

（2）,,

设,‘

所以在单调递增,

当时，，当时，，

.••在单调递减，在单调递增，

••>>

设，，

...在单调递减，...在成立,

•在单调递减，在单调递增，

取，设，

•,,,••»,

取，设

...在定义域内有两个零点.

13.（2021•湖南长郡中学高三月考）已知函数,.

（1）若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围；

（2）当时，若，存在公切线，求的范围（表示不大于的最大的整数）.

【答案】

（1）

（2）

【解析】

（1）由题意，在上恒成立.

即在上恒成立.

令，则，

所以在上单调递增.

于是，所以.

（2）当时，设公切线在上的切点为，

则切线方程为：.

设公切线在上的切点为,

则切线方程为：，

又,.

令..

又在上单调递减，而，，

满足，即，

在区间上单调递增，在区间上单调递减.

»

14.(2021.湖南永州一中高三月考)已知函数.

(1)当时，求的单调区间；

(2)若有三个极值点、、.

(i)求实数的取值范围；

(ii)证明：为定值.

【答案】(D单调递减区间为，单调递增区间为；(2)(i)；(ii)证明见解析.

【解析】

(1)当时，，该函数的定义域为，

,且，

当时，，，此时，

当时，，，此时，

所以，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；

(2)(i)因为，该函数的定义域为，

贝”，

令，则函数在上有三个零点、、.

，且.

①当时，对任意的，，此时函数在上单调递增，

又因为，此时函数有且只要一个零点，不合乎题意；

②当时，设，贝IJ.

若，即当时，对任意的，且不恒为零.

此时函数在上单调递减，

又因为，此时函数有且只有一个零点，不合乎题意；

若，即当时，

令，可得，，

当或时，，

当时，，

此时，函数的单调递减区间为、，单调递增区间为.

因为，

所以，八

当时，，当时，，

此时，函数在、上各有一个零点，

又因为，故函数有三个零点，合乎题意.

综上所述，实数的取值范围是；

（ii）由⑴可知，

当时，，

则，

因为,则,

因为，从而，

因为函数在上有且只有一个零点，则，故，

因此，.

15.（2021•广东深圳福田中学高三月考）已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围.

【答案】（D答案见解析；（2）.

【解析】（1）由已知定义域为，

当，即时，恒成立，则在上单调递增；

当，即时，（舍）或，所以在上单调递减，在上单调递增.

所以时，在上单调递增；

时，在上单调递减，在上单调递增.

（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，若对任意的恒成立，只需，而恒成立，所以成立;

当时，若，即，则在上单调递增，又，所以成立；

若，则在上单调递减，在上单调递增，又，所以，，不满足对任意的恒成立.

所以综上所述：.

16.（2021•广东肇庆一中模拟）已知函数.

（1）若成立，求的值；

（2）若有两个不同的零点，证明：.

【答案】（1）;（2）证明见解析.

【解析】

（1）由得:,即;

令，则;

①当时，，在上单调递减，

又时，，不合题意；

②当时，令，解得：，

当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，

，；

令,则,

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，.

有唯一解：；

综上所述：.

（2）由题意得：，贝IJ,

由（1）知：，若有两个零点，则；

则当时，，，，不妨设，

要证，只需证，即证；

即证;

,,即证,

即证，

令,则，只需证，即,

令，则’,

当时，，在上单调递增，，

在上单调递增，，即，

原不等式得证.

17.(2021•江苏海安高级中学高三月考)已知函数,

(1)若在处取极值，求女的值；

(2)若有两个零点，，求证：.