海文高等数学基础班讲义

讲义高等数学一考研

第一章函数、极限、连续

函数是微枳分的研究对象，极限是微枳分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重

要条件。它们是每年必考的内容之-0

第一节数列极限与函数极限

【大纲内容】数列极限与函数极限的定义以及它们的性质；函数的左极限与右极限；无

穷小和无穷大的概念及其关系；无穷小的性质及无穷小的比较；极限的四则运算；极限存在

的两个准则；单调有界准则和夹逼准则；两个重要极限：

洛必达(工'“0H)法则。

【大纲要求】理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、

右极限之间的关系；掌握极限的性质及四则运算法则；掌握极限存在的两个准则，并会利用

它们求极限；掌握利用两个重要极限求极限的方法；理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷

小的比较方法，会用等价无穷小求极限；掌握用洛必达("建啊皿)法则求未定式极限

的方法。

【考点分析】数列极限的考点主要包括：£一川定义的理解，极限运算法则的理解，单

调有界准则和夹逼准则求极限，利用定积分的定义求和式的极限等等。函数极限的考点主要

包括：用洛必达法则求未定式的极限，由已知极限求未知极限，极限中的参数问题，无穷小

量阶的比较等等。

一、数列的极限

1.数列的极限

无穷多个数按一定顺序排成一列：巧巧称为数列，记为数列也)，其中5

称为数列的•般项或通项。设有数列.)和常数A。若对任意给定的£>0,总存在自然

数加=Me),当n>N时，恒有,则称常数A为数列的极限，或称数列

收敛于A,记为!.或;-8)。没有极限的数列称为发散数列。收敛数列

必为有界数列，其极限存在且唯一。

2.极限存在准则

(1)定理(夹逼定理)设在、的某空心邻域内恒有且有

lim=limA(x)=AEna/(x)

T*W,则极限f存在，且等于A.注对其他极限过程及数列

极限，有类似结论.

(2)定理：单调有界数列必有极限.

3.重要结论：⑴若照“・"，则健其中,为任意常数。

力㈣*0zox配且％、T=a

〈乙,oku/■■■o

【考点一】（1）单调有界数列必有极限.

（2）单调递增且有上界的数列必有极限，单调递增且无上界的数列的极限为+8.

（3）单调递减且有下界的数列必有极限，单调递减且无下界的数列的极限为-8.

【评注】（1）在应用【考点一】进行证明时，有些题目中关于单调性与有界性的证明

有先后次序之分，需要及时进行调整证明次序。

（2）判定数列的单调性主要有三种方法:

I计算—4一..若之°,则。U单调递增；若%一，4°,则依）单调

递减。

n当，＞01=12.…）时，计算』.若与，则依｝单调递增；若%,

则风）单调递减。

in,将n改为x,得到函数，（力。若」可导，则当之0时,

单调递增；当时，（，｝单调递减。

【例1•证明题】设数列满足2。证明数列

;的极限存在并求极限配、

【答疑编号911010101]

J工+-L

1.2-＞。

假设X„>0,n22VX„>0

•••假设成立

X„>0

：.*.*/,nel

男122A

=述马遥刍wo

...X,iWX“且应MA

limX.=a

令,

因为乙之四，由极限的保号性知蠡

令n—8,■

I

。=一a十.一1

2a

a_1

*/2a.*.a2=2

【例2•证明题】设f(x)是区间[如他或上单调减少且非负的连续函数，

.=±/0)-0/(阳72-)j

I」,证明数列4,的极限存在。

【答疑编号911010102】

例2Vf(x)I且f(x)20

■=二/3)-["/(#

=JQ+/⑵+…+/(*-o+飒-4：〃浜毯式浜+…+匚&&1

=1/①-0(91+■•+(/(«-0-^/(^1+/«

,/f(X)I

=/«X"a)d“"

IM”2

/s-D-J/axn/矽对*-i父“

又「f（x）20

■­«.=[/6-『/（M+I/GW0f-"的+/（，”o（）

=自/困-i>（冰H±/W-口（於1

a

一，=/（》+D-・L・/a皿

=」《+D-/（exi0”加叫

wo

••a〕i20,.且3«+]3n

I

*存在

【考点二】（夹逼准则）设有正整数加，当M>"时，且

Limjc=limz_=a,Jim&-a

«•1*4-■,则rJ-'

【评注】在使用夹逼准则时，需要对通项进行“缩小”和“放大”，要注意：“缩小”

应该是尽可能地大，而“放大”应该是尽可能地小，在这种情况下，如果仍然“夹”不住，

那么就说明夹逼准则不适用于这个题目，要改用其他方法。

,；*广疝1'X,

fanI------<fr

【例3•计算题】计算极限：1+1K

【答疑编号911010103】

例3***Q1+«*

JT

2

/.SinX>O,05x-51

°，总"I

。噌4

I*f*f(x)£r

根据积分的不等式定理若在[a,b]f(x)2g(x),贝-

.rlx"»in3x.,

OAMI—«

-°l+»ii3x

dxM-----

1M+1

令

（取右端点K）

（取左端点X）

【考点三】用定积分的定义计算和式的极限：由定积分的定义知，当连续时，有

lim必

.TooMyI”)

limEJ(a+"8=(b-*a)^/>d4-(b-a)x<dk=^f(x)dx

lim—4'｛）（a+》--《2B-D

【例4•计算题】求下列极限：24^,

【答疑编号911010104】

收.省TXirfQ-CM金

In-«(»+g+2)…Q*T]卜

♦

=L[加[MJV+W*+为…a-Dl也加域

JC

=Nln.+ln(M+D+ln(M+3+■•4H(2J«­I)-NIIIM]

="([InM-In/i]4-|III(M4-1)-InM]4--(IH(2M-P-InJ«D

JC

=i(11t0+3+M+3+…+皿+^Si

JCJVnn

[・Ti

口前«

，limIn上忒岸+D(M+2)…0-G=lim•渴

***K

=用昂吟=J>3

limInjnl+-)。。+—)"

【例5・选择题】〜▼.*"等于()

(A)l：Ln，xdkCB)2l：lnxdk

(C)2i：lMl+gCD)

【答疑编号911010105】

6.Iim；ln((14-^(l+^-(14--)]

»+•岸*M

=2lim代ta(l心

**•M,

=2。&(1+xX(x+l)令u=l+x

AQ

【考点四】设。=J®,则快与=盥〃©=%”蔺。也就是说，将数列中的正

整数5•:改为连续变量X,令XT*0,则数列的极限等于相应的函数的极限。综合题也很重

要。

lim/(«)=lim/(x)

【例6•解答题】设/口）在x=0某邻域内可导，且•■/（W=L/E=2.求极限

r・IF，

rlun[miT

【答疑编号911010201】

6.Vf(0)=1,f'(0)=2

**•M令n

=庭产£产即

**13

再利用重要极限%p+",-2

_卢湿嬴_卢卡加备加

Mb卡榔Z星

MJ

—■

..<-91111!..l-COS)

lun—i-=Lun-----/-

,-MOI1t-MO大4

4

.•皿=・核=3

■=:M亡、&十大dx&皿

【例7・选择题】设2°,则极限等于（)

（A）。+・炉+1（B）。+・』产一I

(C)。+，产+1(D)(1+♦9-1

【答疑编号911010202】

招声拒其H+D

吟X和+及产

.3

=陋】+（台产-1

而坪打

slim―1—」

7崂•

1>

-1

***■

【例8•证明题】设46=巧3*-。3'*+…+

xo）=-

证明：（1）对于任何自然数n,方程2在区间

【答疑编号911010203】

&»=。00«/-巧00«1X+--4-C-1X4CJCO*"x

=1—(I—cosx)"

要证：2有根

//»=[(*)-]

令2

⑴令心“3-河阖蛛

m=x(o)-1=i-^>o

■入

fJl2)=Ji(2)~21=c0~21=_21<0A

勺w(0,—)

•••至少存在2使F(Xn)=O

Fl(lC)=q(M)=Hl(l-CO9左尸端口M40

[0f-l

••.F(x)在2严格单减

则F(Xn)=0且Xn唯一

8.⑵•.•42=i-a-BAyi

XlW=-*0-co*K

在"H内XW<0

[a—1

...£>«)在’2上严格单减

*/)=；=I-。-3V

2

。-05寸。<\<：

二、函数的极限

lim/3=，OlimJ{£)=A=lim=A

【考点五】z，H痛用也就是说，函数极限

lim/(x)Km/(j)lim/(x)

z，存在目.等于A的充分必要条件是，左极限z4与右极限管都存在,

并且都等于Ao

照/3=4

(1>>**•

=1而./（力=limy（x）=J1

②lim/（0=dolim/（*）=/=lim/*《*）=A

【评注】在求极限物时，如果函数/（*）中包含一或卜1项，则立即讨论左右极

限,（P-Q）=%"和/（P+<0=%加）=",再根据【考点五】判断双侧极限

%/8是否存在。

1

..尸+―lnQ+3

~~f+~-]

【例9•解答题】确定常数a的值，使极限1+・万叫存在。

【答疑编号911010204】

1

Infl+w)

is?—+-nj-1

1+二冏

X<0

..「3+・，.InQ-Hxx),」

ln(l+x)~jr

ln(l+<u)~ox

x>0

令a=3-a

_3

tt——

2

0

【考点六】使用洛必达(£'的教〃)法则求6型未定式的极限之前，一定要将所求

极限尽可能地化简。化简的主要方法：

(1)首先用等价无穷小进行代换。注意：等价无穷小代换只能在极限的乘除运算中使

用，而不能在极限的加减运算中使用，但在极限的加减运算中高阶无穷小可以略去；

(2)将极限值不为零的因子先求极限；

(3)利用变量代换(通常是作倒代换，令«)

(4)恒等变形：通过因式分解或根式有理化消去零因子，将分式函数拆项、合并或通

分达到化简的目的。

(5)常见的等价无穷小代换：

当X-0时，我们有：

(1)aux-x(2)araux-xCd)(4)

(6)(6)ta(l+x)**x(7)l-cour**—

(8)Vi+x-l-^x(9)(io)(t+xr-l-<R(a*0)

UD。'-1=4一l-xlna(12)Iog<(l4-j0=---

0InaInd

未定式极限：

0co

088—8,0X8

r,o°,J

【例io•解答题】求极限

【答疑编号911010205】

式（等明0

0

[”明]

4K2MOU)-1B3]

x[ln(2+cosx)—ln3]

吧啊24■号方-In警)

ZT-------(一血由一。i

[hi(2+cosx)-ln3]'=lim.2土pjy上----=一—

2x6

ln(1x+/)—x

lim.----疝-=——=---------

1r

【例11•解答题】求极限**®In^x+^}-'2x

【答疑编号911010206】

1ktti11(m，+»*)一呼f0

解：•♦・Inf?+1")一|n音0

ln(―q----)

=lim

■一

7呵7■*丁+*一?）

M+F)

x-*0In(1+x)X

【例12•解答题】设函数f(x)在x=0处可微，又设/◎=1，函数

<0

—2—,x>0

Wa，

炉(水1+4,4-a(x)lcosPtft

/=lim——---------J-------------

求极限***碑W

【答疑编号911010207】

,炉(川+高3丁+仪切:0/也

Z=lim--------------------------------------

***=(/

/(jr)n+『兴.C*8$£”

=limJ'"-----------+lim且-----------

«•破x)x

如破力=5

①4

§髯期=酷(吗)=；

氏仪中二,现一^-二5

②%&=/吁

63a+户

+*)"、=lima+x)T*(l+41=-

«•・

[人出+02

l=lim-------------t-lim-------------

*1*•*■**x

17t

2

=-4-2

8

【考点七】求百型未定式极限的方法：

（1）分子、分母同时除以最大的无穷大

（2）使用洛必达（,网期M）法则

lim-Cci+jX，"/

【例13•解答题】求极限-X*

【答疑编号911010301】

13.

£0+乃/XL%

」（1+?）/小

(wO7

8

lim9"彳=』

・*/+2xV26o

0OO

【考点八】化8-8和。-8型未定式为0型和＜»型的方法是:

（1）通分法（2）提因子法（3）变量代换法

8—8,0X8

00

=T=o

co

0

oo

8

limCVx34-3JT*+4-JO

【例14•解答题】求极限

【答疑编号911010302】

14.

I

=lun[(?+3x4+4),-x]

..,z?4-3x4+4i„

遮4―?~~5s-1]

q4i

=lim*XR1+2+¥-1]

XJF(oo,-oo)

TC4)

xf。,(1+x)2-1〜2x

lim(4s+3x”4-3

【例14】求极限f'.

.,.14.lim西+3任+4—才

=域;。+，q

ln*l+<ur'(a・0)

【例15•解答题】求极限:

【答疑编号911010303】

皿-Q-aV1)ln(l+3

i=lim

--—+2«i,xln<14-tfj0+-^-

=lim1+"l+"

16.2*

a3jr+2aJx(l4-<ur)ln(l-l-<ix)+dV

=lim

■y2414-ax)

2

x,sin"）

【例16•解答题】求极限》*

【答疑编号911010304】

a>-ca

3

limlngZ)ln(t+±)

【例17•解答题】求极限…*

【答疑编号911010305】

3

limhG-f-21)-11104--)

17.***K

0-a>

=Jim^加小吗＞］卜(1+3

3d吗］

=3ln2

（1）求嘉指函数型不定式mt/*1"的极限常用"换底法”

【考点九】

或''用e抬起法”,化为08型后再使用洛必达法则,即

1Ml

Um«(x)rW=血产仁产=lim/W㈤=e«pliin!^^

词

（2）计算产型极限的最简单方法是使用如下的型极限计算公式:

X仔㈤=产型⑺T＞（以申lim©=ia（*）=a1推导如下（为简便略

去自变量）：

【例18•解答题】（北京大学,2002年）求极限

【答疑编号911010306】

）T

(®)

zR°

=lim(呼一。

z(轴

=iim-aux=--1

73x3

【例i9•解答题】计算则*三¥.

(a>O.oWD

【答疑编号911010307】

19.(1)当a>l时，»

-I)--pJ,

(4

..<sIn。

=lim------------

Z-1x(41*-p

lim----------------=lnd

«*•1x(0*-!)/«*

lim(—)

»-»«•zeo

lim-=0

*-M»1

19.当OVaVl时

/(x)

lim^——=A

【考点十】(1)已知=g(”)，则有:

①若g(x)70,则f(X)7Os

②若f(x)f0，且/#0,则g(x)T0.

(2)已知lim/(x)g(x)=A,若lim/(x)=00,则limg(x)=0

【评注】在已知函数的极限求未知的参数问题时，【考点十】是主要的分析问题与解决

问题的方法。

/(x)”

hm=A

若g@)

limg(x)=0

且

lim/(%)=0

则

【例20•解答题】设，

【答疑编号911010401】

5

又lim(3r-l)=0

limlnf1+]

0

，T。Isinx)

f=0

2°sinx

/W

x—>0,ln1+

sinx

ln(l+x)~x

5

/(x)

lrim——---

2。(3*-l)sinx

lim=5

XTO&-i)x

20.

lim与=51n3

z。/

r/(x)3*-l

=lim--------

iox(3*-1)x

3"-1

=5hm---

iox

=51im3*ln3

XTO

=51n3

chlime*[['e]dZ+a]=2>.L

【例21•选择题】设为两实常数，且有，则0声的值分

别为（）

【答疑编号911010402】

_诉

a

~~b=0

(A)2,b=0(B)

b=-运

(C)&=°,2(D)&=°

21.lim&^[[dt+a}=b

JO

又limJ=产=4-oo

+a=0

dt

・・以二—

21.(A)

6

b=Inn-

=lini

1c

=lim------==U

【考点十一】在已知条件或欲证结论中涉及到无穷小量阶的比较的话，则“不管三七二

十一”，先用无穷小量阶的比较的定义处理一下再说。

【评注】无穷小量阶的比较，是一个重要考点。其主要方法是将两个无穷小量相除取极

限，再由定义比较阶的高低。

设a与户是同一过程下的两个无穷小，即加”=0,山n户二°

lim乌=0,则称4匕席阶的无穷小;

若§

「a

lim—=OD,

若则称§仪是比?低阶的无穷小;

lim-=C,（C为常数，且C#0）,则称a与/同阶无穷小;

若尸

若尸则称a与尸是等价无穷小。

lim-^

若伊=c#0,k>0,则称&是户的无阶无穷小。

]^2f必

【例22•解答题】已知当X一°时，/S）与5'是等价无穷小，L成与少

是等价无穷小，求常数上和上。

【答疑编号911010403】

1.

|?7w

lim-----1—=1-(k>0)

I。Ax0

32J

yw*

lim------—

1。必t

(k>0)

2-111

-X3-X3

1

lim------^―=lim

X3曲J1。3麻Jt-2

工70,/（力~孑

21*

/(x3)--x3

//⑷成

22.lim"——E—=1

XTOAx

1

=limTT=]

203Akx

Ar-2=0,=lim—=1

*T°6J4

A=-

6

【例23-选择题】当X7与时，和尸(X)都是关于'一厢的n阶无穷小量，而

火*)+发力是关于为一曲的m阶无穷小，则()。

【答疑编号911010404】

(A)必有m二n(B)必有尚之花

(C)必有冽(D)以上几种情况都有可能

23lim—jW0

F(X-两)

limg)y=Rw0

F(X-Xj

...］此如型生a

f(x-x0)

若/+BW0则x时，a(x)+/x)是(x—/)的“阶无穷小量;

m=«

若A+B=O则*TX。时，*x)+戊x)是比炽-而)“还高阶的无穷小；

t—m>n

m=n

二・m三n

【例24•证明题】设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且,(°)0°,

/,(0)*0./"(0)^0o证明：存在唯一的一组实数为，&!，&,使得当&t0时，

4/(A)+M2&)+&y1印)-/(0)是比/高阶的无穷小。

【答疑编号911010405】

24.'/"(X)在x=0某邻域内连续

且〃O)wOJ"(O)wOJ"(O)#O

4/〃)+4/(2份+3(3&)-y(0)

•Ilin------------------------------------?：---------------u

*70h

①hm[VW+勾侬)+V(3A)-/(°)]=°

0求导致lim(4/⑸+犷2〃)+切的-/(o)y=0

04试然“TOg2y一

4/⑶+2W'避)+34/印)

11in-------------------------------------------------------------------U

102h

②¥皿4/'(我)+2V⑵)+3孙'(殉]=0

hm(4-'(&)+24/,(2我)+34/,(3%)),=0

―。(2〃)'一

A/"W+22^/"(2A)+32V1(3^_

11m-------------------------------u

Z2

③旨[4/''(h)+22&y"(2%)+3"(3»]=0

•••式0)。0,7,(0)^0,/"(0)^0

①&/(O)+4/(0)+4/(0)-/(o)=o

②V'(0)+2V'(0)+3V'(0)=0

③V"(0)+22V"⑼+32V'(O)=0

4+4+%=1

<4+2%+3%=o

4+22%+*网=。

证明方程组有唯一解

<11P

123=(2-1)x(3-1)x(3-2)

J2,.

=2*0

第二节函数的连续性

【考点分析】主要考点包括：函数连续的充要条件，间断点的类型及其判断，闭区间连

续函数的性质定理及其应用等。

一、函数的连续性与间断点

I.函数连续性概念

lim/（x）=/（x0）

连续：i

定义1设函数/（X）在瓦点的某邻域内有定义，若螃。一'则称函数

/（X）在X。点处连续，并称「为连续点。

定义2若函数/（X）在点画的某个左（右）邻域内有定义，并且

礴一/(X)=/(x0),(lim/(x)=/(x0)

XThXTXj则称函数/（X）在点耳处左（右）连续。

显然，函数/（X）在点题处连续的充要条件是/（X）在餐点既左连续又右连续。

定义3函数/（x）在开区间（④与内连续，是指在3田）内每点都连续;在闭区间1°

上连续，是指在开区间（°百）内连续，并且在左端点0处右连续，在右端点力处左连续。使

函数/（X）连续的区间，称为,（x）的连续区间。

II.函数的间断点及其分类

定义函数不连续的点称为函数的间断点，即在点题处有下列三种情况之一出现：

（1）在点湎附近函数,（x）有定义，但在点题无定义；

lim/（x）

（2）X”不存在；

（3）J5"与g也都存在，但2/。，则称/5）在点。处不连续,

或称「为函数,（x）的间断点。

间断点的分类：设而为函数,（X）的间断点，间断点的分类是以瓦点的左、右极限来

划分的。

lim/（x）lim/（x）

第一类间断点：若1"。一与都存在，则称》为第一类间断点：

lim/（x）wlim/（x）〃_n\

⑴若E—EJ，则称为为跳跃型间断点，并称+

为X°点的跳跃度；

lim/（x）limJ（x）lim+/（x）

（2）若gx。存在（即e。=zx。）,则称"。为可去间断点。此时,

当了a）在两无定义时，可以补充定义,（%）=—，则/a）在「连续；当/（瓦）存

礴/（X）*/（x）〃、

在，但*T"0时，可以改变J5）在通的定义，定义极限值为该点函数值，则

/（X）在与连续。

lim/（%）lim/（x）

第二类间断点：若与1"」‘中至少有一个不存在，则称而为第二类问

lim/（%）lim/（x）

断点，其中若与zxJ中至少有一个为无穷大，则称耳为无穷型间断点；

否则称耳为摆动型间断点。

【例25♦解答题】设函数

h(1W),x<0

x-arcsinx

/(x)=,6,x=0

+-公-1

---------------,x>0A

.X

xsin—

4

问a为何值时，在x=0处连续；a为何值时，x=0是/（X）的可去间断点？

【答疑编号911010501】

x-x=Hm1/⑶=lim/(x)=/(x)

J在天一面处连续NTM+O0

「“、-ln(l+")

(1)lim/(x)=lim--------：—

XT-OXT-O工-arcsinx

lim-------——=lim------z---

^-0x-arcs;inx1

-71-x2

22

3ax-71v3ax,

=lim——j----=lim---=—ba

…Jl-X。-13一，

2

QX2

-ax-\

lim/(x)=lim------

x

xsin—

4

/+x"-«无-1

=lim

XTMix2

4

=2以°+4

/(0-0)=-6a

」(0+0)=2/+4

/(0)=6

令-6a=6,2a*+4=6

a=T,2a2=2

...当a=-l时，_/(x)在x=0处连续

(2)/(x)有可去间断点x=0

«/(0-0)=/(0+0)^/(0)

令-6a=2a2+4w6

a*+3a+2=0；.a=-1或a=-2

「.a=-2时，x=O是可去间断点

【例26•解答题】设“*=吧（匚P,其中&一1）（"】）＞0，试求/。）

的表达式,

并求函数/（X）在间断点处的左、右极限。

【答疑编号911010502】

X—1«.X—1八

—7=1+(---1)

,/-It-\

由于

Z-1

1+—

t-\

所以加)=吧(三联

1

rX—出甲

=hm(1+——尸

EZ-1

1

，口

1

/(X)=®，T,间断点X=l.

1

lim/(x)=lime*-】=g

JTT1-0XT1-0

i

limf(x)=lim=-H»

XTI+OXTIM

/w=以-b

【例27•解答题】试确定以和方的值,使（x-aXx-1）有无穷间断点x=0

且有可去间断点x=l.

【答疑编号911010503】

lim/(x)=8=x=0是无穷间断点

XTO

/-b

lim------------

*T。(x-a)(x-l)

1-31—b

=--------=----=oo

(-a)(-l)a

当1-bWO且a=0时

lim/(x)W/(I)=X-1可去间断点

KTI

lim/(x)=lim————存在

•flXTIx(x-l)

XT]

e—b=0

e=b

所以a=0,b=e»

二、闭区间上连续函数的性质定理

定理1:（有界性定理）闭区间［a,b］上的连续函数必在［a,b］上有界。

定理2:（最大值最小值定理）闭区间［a,b］上的函数/（X）,必在［a,b］上有最大值和

最小值，即在［a,b］上，至少存在两点费与备，使得对［a,b］上的一切x,恒有

了㈤汇⑴可④）此处/㈤/（易）就是在［a,b］上最小值与最大值。

定理3:（介值定理）设函数/（X）在闭区间g,b］连续，m与M分别为在［a,b］上的最

小值与最大值，则对于任一实数c（mWcWM）,至少存在一点37©［a，司，使/3）二°。

定理4:（零点定理或根的存在定理）若/（X）在闭区间［a,b］上连续，且

/⑷。,则至少存在一点4€(4切,使/©=°。

【例28♦解答题】设函数f(x)，g@)在［a,b］上连续，且gS)>°。利用闭区间上连续

函数的性质，证明存在点火口向，使“⑶g(x)dx=/C)J：g(x)dx。

【答疑编号911010504】

补充知识：

①/⑺名。)在［a,b］上连续，且小)三g(x),则)>冲』g(x)公

②若」⑸三g(x),则J：/⑴小〉fg(x)公

解：・・・/(x)在［q句上连续，

二•mWf(x)WM

又••,g(x)>0,mg(x)W/(x)g(x)WMg(x)

积分活［g(x)dxWj/(x)g(x)dxW加'［g(x)dx

Vg(x)>0,g(x)在［a,句上连续，g(x)x0

g(x)dx>0dx=0

Jo.Ja

l：/(x)g(x)dx

，mW3个---------WM

(g(x)d”

-a

..•由介值定理知，至少存在之C［a,司

4|：/(x)g(x)dx

使JC)=矢---------

Ig(x)dx

・2

二L/(x)g(x)dx=/G)Lg(x)dx

迎+2+^+W=o

［例29.解答题］设4，/，町，。3为正常数，证明方程芯x-1x-2X-3

有且仅有三个实根，它们分别位于区间(°J)<L2),(2,3)内。

【答疑编号911010505】

将方程左端进行通分，

令/(x)=&(X-l)(x-2)(X-3)

+力武才一2)(x-3)

+a2x(x-l)(x-3)

+%x(x-l)(彳-2)

在[091],[1,2]⑵3]连续

〃0)=_6%<0,/(1)=2^>0

/⑵=2。2<0,/⑶=6。3>0

二由零点定理，至少存在

6e(0,1),&e(1,2),4e(2,引

使〃幻=0,/(切=0J©)=0

•••/(X)是一个三次多项式,最多有3个零点

...,(X)有且仅有3个零点

血+J3+W=。

经验证了0)零点均为方程xx-1x-2x-3的根

...原方程有且仅有3个实根