海南省2021-2022学年高三数学学业水平诊断三

海南省2021-2022学年高三数学学业水平诊断（三）

海南省2021-2022学年毕业班学业水平诊断（三）

数学

，生注重：

1.零题8.才士各必将自己的姓名、者生号博号在诙卷和*慝卡上，并将考生号条募码枯骷在冬慝卡上

的指更位工.

2.日等逸择期时，逸出每小慝*廉启，用将笔把着■慝卡对A墨R幽挈盒标号&X.如需改动.用*■皮密

干》后.再逸*其他1■索标号.四*#选择勒时.将备案写在琴慝卡上.写在本谈,*上无KL

3.考被劫来后，籽”试*♦"零题卡一升史国.

一、单孽选择■:本■其8小・，每小・5分,共40分.在每小■给出的四个选项中，只看一项是符合■目要

求的.

1.巳知集合4=|/1唯x*5].8・-2«-3w0|.则AD（C.8）-

A.（3,5]B.[-1,5]C.（3,+s）D.（-«.-l]

2•已知复效工濡足"1+i）・2-i.则，的虚部为

A-/BiC-2DT

3.・coe（2一号）*1的图象的一个对称中心为

人（韦，。）B.（岩.0）“书」）D.（晋R

,

4.»a.log20.4t6-2°\c»0.8.M

K.a<b<cB.6<c<aC.c<a<6D.a<c<6

5.若aw（学..）且<»t2a=穿则tan（i=

C，

A.-7B.-yJ7D.7

6.两个不同的W1锥的底面是球。的同一截面.1！点均在球O表面上,若球0的体积为y,则这两个■谊体

枳之和的■大值为

A.jKB.yVC-VD.^V

7.设随机变itx服从正杰分布N（l,/）,若P（X<2-.0.3tJUP（X<a）=

A.0.2B.0.3C.0.7D,0.8

8.海口钟楼的历史悠久,■早是为适应对外通商而建立，巳成为海口的最重

要的标志性与藏征性建筑物之一.如图所示，海口钟楼的主体结构可以看

做一个长方体，四个结面各有一个大〉,则从8：00到10:00这段时间内，相

邻两面钟的分钟所成角为60•的次数为

A-2B.4

C.6D.8

数学试题第1页（共4页）

1

一、各项选择■:本・共4小・，.小.5分，共20分.在每小.16出的途不中，育.Q[符合・目襄京.全部

选对的得5分,部分选对的得2分,有选懦的秘。分.

9.巳知向量a=(l,")Q=(-1.0),则

A.。-2>=(2/)B.lai=21*1C(«-«**)1*D.a与卜的夹角为学

10.下列双曲蛭的渐近线方程为y=±+的是

11.环境监测部门统计了甲、乙两个城市去年短天的AQI(空气质最指数)，数据按照(0.50],(50,100]

(200,250]进行分留得到下面的频率分布直方图，已知0<AQI<50时空气质量等级为优，则

A.甲、乙两城市AQ1的中位数的估计值相等

B.甲、乙两城市AQI的平均败的估计值相等

C.甲城市AQ1的方差比乙城市AQI的方差小

D.甲城市空气质量为优的天数比乙城市空气质工为优的天数多

12「外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成.后一求是前一项的“外观描述\例如:取第一项

为1,将其外观描述为“1个「，则第二项为11;将“描述为“2个1”，则第三项为21；将21描述为“1个

2.1个1”,则第四项为1211；将1211描述为“1个1.1个2,2个1"，则第五项为111221……这样每次从

左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项则对于外观数列I。」,

下列说法正确的是

A.若％=3,则从a.开始出现数字2

B,若%=*(**1,2.3,….9),则a.(neN，)的量后一个数字均为“

C.不可能为等差数列或等比数列

D.若由"123,则a.("eN')均不包含数字4

三、填空■:本・共4小・，每小・5分，共20分.

13.已知函敷/(*)=，2"-3的定义城为(2.+8),JHa=-

14.(2«的展开式中｝的系数为•(修杲用敷亭次承)

15.巳知#ISC：2+。】(0<6<2)的左焦点为F/是C上的动点,点M0,⑸.若IMNI+IMFI的■大

值为6,则C的离心率为_______

16.巳知函数/(G=/-6和«(>)=ln(x+。)其中a.b为常数且b>0.若存在斜率为1的直线与曲境

y=/(«),y〃(*)同时相切用京的最小值为

数学试题第2页(共4页)

2

四、■答・:共70分.”答应写出文字说明,证明过程或演K步・

17.(10分)

设等差数列1.1的公差为心前八项和为S.,巳知$,-$=3.

(1)若</=2,求的通』公式；

(n)若15/<60,求d的取值范圉.

18.(12分)

△ABC的内角4$,C所对的边分别为。巳知C・：.b=8,c=。+2.

(I)求边Q,q

(D)若点。在线段8c上(与8,C不重合)，且AD*c.求3乙CW.

19.(12分)

如图所示，在四棱锥P-ABC。中，平面叽J•平面ASCO,底面仍。。为矩膨,"・1,仙=2,E4=PD=

G,点盟在帔PC上且BMkPC.

(1)i£明:/M〃平面时。乐

(D)求平面与平面MD6的夹角的余弦值.

教学试题第3页(共4页)

3

20.(12分)

巳知抛物线C：/=2a(p>0)的焦点为几过F作BI此a+2)1=4的切线，切线长为2万.

(I)求C的方程1

(D)过F的直线/与C交于4潭两点，点?在C的准城上足足I/MI=1网,曳皿求/的方程.

21.（12分）

如图是游乐场中一款抽奖游戏机的示意图，玩家投入一枚游戏币后,机器从上方随机放下一II半径适当

的小球，小球沿着缝隙下落,最后落入仇-0•这6个区域中.保设小球从最上层4个蝮隙第下的慨率都

相同,且下落过程中遇到障碍物会等可能地从左边或右边继缘下落.

(I)分别求小球落入D.和D2的概率.

(n)巳知游戏币售价为2元/枚,若小球常入必和(，则本次讷戏中三等荚，小球落入4和。5.则本

次讷戏中二等奖,小球落入乌和。•，则本次游戏中一等奖.假设给玩家准备的一、二、三等奖奖品

的成本价格之比为3：2：】，若要使玩家平均每玩一次该游戏,商家至少获利0.7元,那么三等奖奖

品的成本价格最多为张少元？

22.(12分)

已知函数/(工)=«-ae*-yxa,aeR-

(I)若求的最值；

(U)若。=-L®f(*)=/1*)证明：当。♦*,>0时,《(/)”(5)>4.

4

数学•答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

I.答案A

命题!a图本题有杳集合的表示与运算.

解析8=UI-1W*W3},所以C.8=,x\x<-1或x>31，所以.4C(C.幻=-13VXW5I=(3,5].

2.答案C

命题意图本题与查复数的概念与基本运算.

解析由题意如J=7~~_—=4---T-i.所以；的虚部为-

I412222

3.答案D

命题意图本题专查三角函数的图象与性质.

解析令21-序=*■+件*wZ).可得时称中心的横坐标为r=竽+得(/eZ),故/(，)的图象的一个时称

中心为(皆」)

4.答案I)

命题意图本题©查指数函数和对数函数的性质.

解析a=lug.O,4<0,4=20*>I=0.8'e(0.1).故<i<c<l>.

5.答案B

命题意图本踮考台三箱恒等变换的应用.

解析<、,"2a='=__芈£=解得tuJa=：■.乂因为aw(子.宣).所以Iana=-0.

co»"a+sina1+Uura2549\2/7

6.答案B

命题意图本题考育圈惟与球的几何特征以及体积计算.

解析设球。的半径为K.则»=yir/e'.两个例惟的高之和为2R.底面积最大为丁片'.所以体枳之和最大为

x2/fxT(R:=-^-Tr/f'=。卜.

7.答案C

命题意图本题专杳正态密度函数图象的性质.正态分布的概率.

解析因为'所以正态密度函数图象对称轴为工=1,注意到2-a与a关于1对称,所以0(X>a)=

P(X<2-a)=0.3.J?rWP(X<«)=0.7.

8.答案D

命题意图小跑节作空间位跣关系的判断以及异Ifiirt线所或fft.

解析容易ir算正方体相邻两个面的对角线所成年恰好为6OJ如图中.48,与BC,AB与丛C.所以当分针与

水平面夹角为45。时.钟楼相邻两面钟的分针所成角为为。.分针用旋转I周.这种情况出现4次从8：00到

5

10:00一共有2个小时,分针旋转2周,共有8次.

二、多项选择就:本题共4小题,每小题5分，共20分每小题全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得。分.

9一答案BC

命题意图本题考着平而向旗的坐标运算.

簿析*-2*=（3,⑸，被A错误；lai=2,⑶=1,故B正确;a+。=（0,。）.显然（0+&）_L瓦故C正确：

^（a.b；=-p-4-=所以a与8的夹角为空.故D错误.

laIIpIZ3

10.答案AD

命题意图本题甘查双曲线的基本性质.

解析将双曲线方程右边的I换成0.即明目到其渐近线方程.选项B中的渐近线方程为尸士表,选项C中

的渐近线方程为.=±2工，都不符合即意.A.D正确.

II.答案ABD

命题意图本题考看频率分布1*1：方图与样本的数字特征.

解析山图可知.两个预率分布宜方图的小矩形都是呈对称分布的，可知两组数据的中位数的估“值相等.平

均效的估计值也相等,即A.B正确；甲是“两头高.中间低”,乙是“中间高.两头低”.即甲的数据分布比较分

散.乙的数据分布更集中.所以甲的方差比乙的方差大.C错误;空气质I。为优的版率即第一个小矩形的面枳.

可知甲空气质心为优的频率更大.天数更多.故D正确.

12.答案BD

命题意图本题芍杳数列的概念,创新思维和逻辑推理键力.

解析对于A.若“，=3,则%=13.仆=1113,“，=3ll3g=l32U3,从可开始出现数字2,故A错谟；对于R.

若加=A财%的外观描述最后一句必然是““，个*”.所以%的最后一个数字均为匕故B正确；对于C.取

%=22.可知a.=22（nwN，）.此时5.是一个常数列.可是等差数列也是等比数列，故C错误；对于D,由聒

意知产生数字4有网种情况，一种是某一项包含数字4.则后而的项都包含数字4.另一种情况是某一项有4

个连续的相同数字,因为描述数字外观时要将连续的相同数字合并起来.所以除「首项以外都不可能出现4

个连续的相同数字.乂因为％=1”,所以后面的项均不包含4.

三、填空融：本题共4小强，每小题5分，共20分.

13.答案4

命题意图本题号杳函数的定义域.

解析由2'-aN0得/U）的定义域为［1%*+8）,所以|%a=2.a=4.

14.答案112

命题意图本题号杳二项式定理的应用.

解析展开式的通项公式为T,.i=W-2''•<-1）,•/丸令8苫=-I,求得r=6,可得十的系数为

—2—

6

C；-2!=112.

is.答案4-

命题意图本的与杳椭网的性质.

胡析设C的右焦点力F且l"''l=2c.根据楠解的定义，IMM+IMFI=4+IMM-IMF”.又因为IMM-

IMfl<IMI,当点尸在线段MN上叼取等号.所以IMM+”*1的最大值为4+IMl=6.所以IW*|=

+3=2.解得，•=1.所以C的离心率为

16.答案2

命建意图本西柠音导数的几何意义以及利用导数求最值.

解析由题可知/=。'邛’<，）=士.令r（x）=i褥卜=0.令『（*）=】科工=1-%两函数图象斜率为।

的切线方程分别为，=*+lT和、=*-1+，，一/，',由期愈知I-*«-I+"-//.即“-%+2.所以冬=

0

）））

♦十七--1.设」£）=/+--1.JMA'（x）=Zt-♦.当0<x<1时.1（工）<0.当X>I时”（工）>0.所以

bXx

一£）在（0.+8）上的最小值为Ml）=2,即T■的ift小值为2

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步探.

17.命题意图本的写杳等差数列的有关运算.

解析（I）54-S1-a2+«5+&=3%=3.............................................................................................（1分）

所以",=1・.............................................................................................................................................（2分）

所以”.=%♦（门-3）d=I+2（〃-3）=2"-5......................................................................................（4分）

（II）由（I）知&=1,所以5=1-2d.................................................................................................（5分）

inxQ

Sw=10a,+£12^/=|0（|-2<O.45d=25d.io,.................................................................................（7分）

由氏1<60f»l25J+101<60,

所以-60<254+10<60.解得一^vd<2.

门，，’的取『1也因打-9」|............................................................，in“，

18.命题意图本即考着斛三物形.

解析（I）由余弦定理可得J=J+y-2aiC.........................................................................（2分）

即（（1+2）2=/+联-8%解得“=5.....................................................................................................（4分）

所以c=。+2=7...................................................................................................................................（5分）

（II）在△ACQ中.由余弦定局可得40：=4不+0^_2K.M：*CQxc0sC.........................................（6分）

即7：=8?+CP3-8C".耕得0）=3或5.............................................................................................（8分）

当CD=5时。与/?电合，不符R■题您.故6=3..................................................................................（9分）

由11.弦定理可得..所以『加4c4。=丝丝=唔.............................（I：分，

KinZGM）MinCM）14

i9命地意图本题与台空间位置关系的推理与证明,利用空间向n计算空间用.

解析（I）因为平面，4〃1平面\BCi）,且平面，4〃。平面〃“：〃=4〃,

—3—

7

根据条件可知A8L4".所以A8J.平面内".所以ABJ.PA......................................................................（2分）

所以PR=，相+力'=2.同理可得PC=2.............................................................................................（3分）

XHC=.40=2,所以△PBC是等边三角形.

因为HM1.PC.所以M是收的中点........................................................（4分）

如图.连接4c.与如交于点连接MO,则。是4c的中点，所以PA//MO,......................................（5分）

因为P4C平面MD8.M0U平面MD8,所以/M〃平面MDB..................................................................（6分）

（II）以〃为坐标原点.以“AJM：所在在线为r.y轴建立如图所示的空间点角坐标系.

则"（0.0.0）.8（2.1,0）/（1。.反）.。（01.01.”（右.；.亨）...............................（7分）

由（I）知反=（0.1。）是平面7M"的一个法向此..........................................（8分）

设"=（#加）为平面M08的法向比因为加=（2.1.0）jH/=[郭

n,DB-2x♦y=0，

所以就I1nn.......................................................（9分）

n*DM=-yx+-yv♦-yz=0,

令x=l,可得M=(1.-2.4)（10分）

设平面与'K-rtiw/w/的夹角为e.

充•“____2_______2/n

BillCOSe=■I:（12分）

l/>CIn।一:二F-H

IX^,1+4+—

20.命题意图本题考布她物线的性质.微物线与仃线的位置关系.

解析（I）由巳知得画”的硼心为M（-2.0）.半径为2......................................................................（I分）

所以点F到同心M的距离为。（2万户+2,=4,.....................................................................................（2分）

因为P>0,所以F在工轴正半轴上，于是F（2.0）..................................................................................（3分）

所以P=4....................................................................................................................................................（4分）

故C的方程为,'=8*................................................................................................................................（5分）

（II）设线段AH的中点为。.出题意可知”为你的中垂线,且在直角中.由1/川=^-nKi.epiP4i=

万MQI.可得I仪I=.,2MQL....................................................................................................................(65r)

设/的方程为工=mi+2,4(14，［4)巧2.),

rx=mv+2,

由］、得1-8my-16=0,............................................................................................................(7分)

=8*

8

则Ft=8rn.x4=nr(>।)+4=8/n'.4,

所以。(4r>J♦2.4/n)...........................................................................................................................(8分)

:

所以宜线出的方程为.丫=-m(x-4m-2)+4W.

令x=-2.可得y=4m'+8”，.即P(-2.4m'+8«»)..............................................................................(9分)

所以I=\/(4r;r*+4):+(4w'+4m)*=(4"+4)/1+“/.

乂1,4川:p+x,=4+九=8疝+8.1.4QI=.4....................................................(10分)

所以(4〃J+4)J\+m'=&(4〃J+4).解得r〃=±1.......................................................................(11分)

所以/的方程为.T+y-2=0或a-y-2=0.....................................................................................(12分)

21.命题意图本眄号介慨率的i|算以及应用.

解析（1）记第•层障碍物之间的缝隙从左到右分别为,小球落人缝BM,为小件4（lw，V4）.

第二层障碍物之间的缝瞅从左到右分别为4.民.…•昆•小球常人爆隙四为界件8JIW/W5）.第三所障珥物

之间的缝隙从左到仃分别为G.G.….G.小球落入缝隙G为小件GUWAW6）.

由题意得次儿）=P（&）=P（4）=。（4）.................................................................................（I分）

则"（",）=P（G>=（/『&4）=。.......................................................（3分）

P（D2）=P（C2）xyP（B,）+yP（fl,）=（+JP（4）++[+p（4）+9（，L）]=春.........（6v'

（II）设三等奖奖品成本为。元.玩家玩一次游戏获得的奖品成本为随机变ht'.则、的所有可能取值为«.

2。，3。，

P（\=3“）=P（〃）+玖优）-2P（O,>—J-,........................................................................................（7分）

O

P（A1=2«）=P（%）+Pg=2户（"力=春...................................................（8分）

O

P（X="）=|-P（x=2«）-P（X=3a）=-y.........................................................................................（9分）

所以X的分布列为:

Xa2a3a

p131

288

所以'的数学胡型为E'=；"+[-x2a+W-x3"=粤....................................（10分）

Zooo

由胭度,£W2-0.7=1.3,解得。£