误差理论与测量平差基础第九章 附有条件的条件平差

第九章附有条件的条件平差一、问题的提出在附有参数的条件平差中，参数的个数u<t，且u个参数彼此独立。当参数的个数u<t，但彼此不独立时，参数之间一定存在函数关系。如图，当选时，参数之间存在：于是，该平差问题的全部条件方程为：

分析以上条件方程知，前三个方程是观测值和参数所应满足的条件方程，第四个方程是参数之间应满足的条件方程。以这样的既有观测值和参数所应满足的条件方程，又有参数之间应满足的条件方程一起平差，称为附有条件的条件平差。其一般形式为

（1）式中：c=r+u-s二、基础方程及其求解

1、基础方程(1)式中方程的个数为r+u个，未知数的个数为n+u个。由于n>r，所以（1）式有无穷组解。在这无穷组解中，我们选取能使的一组解作为最优解。为此，组成新函数：将上式对V和求偏导数，并令其为零，得转置后得：于是，基础方程为：2、基础方程的解

由基础方程的第三式得：（2）将（2）式代入基础方程，消去改正数V，得法方程：（3）用左乘（3）式的第一式，得：（4）再以左乘（3）式的第一式并减去第二式，得：令则(5)将(5)式代入(1)式的第二式，得因为为满秩方阵，所以（6）将（6）式代入（5）式，得（7）按（7）式求出参数估值后，将（4）式代入（2）式，得三、精度评定应用协因数传播律，得因为所以令则即同理令：则即同理可得其具体表达式请同学自己推导。四、平差方法总结

（1）（1）式为附有条件的条件平差。1、当参数个数u=0时，有B=0，C=0。（1）式变为条件平差，即2、当参数个数u=t，且彼此独立时，有C=0，A=-E，W=-l。（1）式变为间接平差，即3、当参数个数u<t，且彼此独立时，有C=0。（1）式变为附有参数的条件平差，即4、当参数个数u>t时，有A=-E，W=-l。（1）式变为附有条件的间接平差，即五、平差结果的统计性质1、无偏性将真值代入（1）式得：（2）将（2）式取数学期望，得：因为所以因为所以上式表明参数估值是其真值的无偏估计。为了证明观测值的平差值是其真值的无偏估计，先证明改正数V的期望为零。对取期望，得于是：上式表明观测值的平差值是其真值的无偏估计。

再来证明单位权方差的估值是其真值的无偏估计。引理:设Y为随机向量，其方差阵为，数学期望为。则随机向量Y的任一二次型的数学期望为：（3）根据（3）式，有：（4）因为

所以（4）变为：（5）将代入（5）式，得：因为：所以于是有:上式表明单位权方差的估值是其真值的无偏估计。2、最优性

所谓最优性，就是指估计值的方差最小。下面就来证明参数估值和观测值的估值具有最小方差，即或

或证明思路：构造参数的一个最优线性无偏估计：（6）然后证明。为此，下面根据无偏条件和最优条件来确定系数和由无偏条件:知:（7）再来推导最优条件，（6）式应用协方差传播律，得：

为了求得既能使，又能满足无偏条件（7）式的待定系数和，组成如下新函数：（8）（8）式分别对和求偏导数，并令其为零，得：（9）由（9）式解得：（10）将（10）式代入（7）式，得：于是可解得：（11）将（11）式代入（9）式的第二式，得：故有：将其代入（11）式，得：